(完整版)矩形截面偏心受压构件正截面的承载力计算

矩形截面偏心受压构件正截面的承载力计算
一、矩形截面大偏心受压构件正截面的受压承载力计算公式 （一）大偏心受压构件正截面受压承载力计算
（1）计算公式
由力的平衡条件及各力对受拉钢筋合力点取矩的力矩平衡条件，可以得到下面两个基本计算公式：
s y s y c A f A f bx f N -+=''1α （7-23）
()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=α （7-24）
式中： N —轴向力设计值；
α1 —混凝土强度调整系数；
e —轴向力作用点至受拉钢筋A S 合力点之间的距离；
a h
e e i -+
=2
η （7-25） a i e e e +=0 （7-26）
η—考虑二阶弯矩影响的轴向力偏心距增大系数，按式（7-22）计算；
e i —初始偏心距；
e 0 —轴向力对截面重心的偏心距，e 0 =M/N ；
e a —附加偏心距，其值取偏心方向截面尺寸的1/30和20㎜中的较大者； x —受压区计算高度。

（2）适用条件
1) 为了保证构件破坏时受拉区钢筋应力先达到屈服强度，要求
b x x ≤ (7-27)
式中 x b — 界限破坏时，受压区计算高度，o b b h x ξ= ，ξb 的计算见与受弯构件相同。

2) 为了保证构件破坏时，受压钢筋应力能达到屈服强度，和双筋受弯构件相同，要求满足：
'
2a x ≥ (7-28) 式中 a ′ — 纵向受压钢筋合力点至受压区边缘的距离。

（二）小偏心受压构件正截面受压承载力计算
（1）计算公式
根据力的平衡条件及力矩平衡条件可得
s s s y c A A f bx f N σα-+=''1 （7-29）
⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'
'012α （7-30） ()
'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=σα （7-31）
式中 x — 受压区计算高度，当x ＞h ，在计算时，取x ＝h ；
σs — 钢筋As 的应力值，可根据截面应变保持平面的假定计算，亦可近似取：
y b s f 1
1
βξβξσ--=
(7-32)
要求满足：y s y f f ≤≤σ'
x b — 界限破坏时受压区计算高度，0h x b b ξ=；
b ξξ、 — 分别为相对受压区计算高度 x/h 0和相对界限受压区计算高度
x b /h 0 ；
'e e 、′— 分别为轴向力作用点至受拉钢筋A s 合力点和受压钢筋A s ′合力点之
间的距离 a h
e e i -+=2
η (7-33) ''
2
a e h
e i --=
η (7-34) （2）对于小偏心受压构件当bh f N c >时，除按上述式（7-30）和式（7-31）或式（7-32）计算外，还应满足下列条件：
()()
s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+⎪⎭⎫
⎝
⎛-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'
0'
'
00'
22 (7-35 )
式中 '0h — 钢筋'
s A 合力点至离纵向较远一侧边缘的距离，即s a h h -='0。

二、不对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面受压承载力的计算 （一） 截面设计
1．大偏心受压构件的计算 第一种情况：
已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下A s 及A s ′
取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比l 0/h 。

求：钢筋截面面积s A 及'
s A 解：
1． 判断大小偏心受压 （1）计算偏心距
N
M
e =
0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。

则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数
计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i
截面修正系数1ζ的取值：N
A
f c 5.01=
ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。

构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：
h
l h l h l 0
202001.015.130~150
.1,15-==<＝时，时ζζ （3）判断大小偏心受压
若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； （4）计算钢筋截面面积s A 及'
s A a h e e i -+=2η
()()'
0'2
01'5.01a h f bh f Ne A y b b c s
---=ξξα0'
min bh ρ≥ y
y s
y
b c s f f A
f N
bh f A ''01+-=
ξα
第二种情况：
已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下A s 及A s ′
取同一种钢筋），受压钢筋'
s A 的数量，轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比l 0/h 。

求：钢筋截面面积s A 解：
1．判断大小偏心受压 （1）计算偏心距
N
M
e =
0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。

则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数
计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i
截面修正系数1ζ的取值：N
A
f c 5.01=
ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。

构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：
h
l h l h l 0
202001.015.130~150
.1,15-==<＝时，时ζζ
（3）判断大小偏心受压
若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； （4）计算受压区高度x 由 a h e e i -+=2η
()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=α 解x 的二次方程计算出x
（5）0h x b ξ>，应加大构件截面尺寸，或按'
s A 未知的情况来重新计算，使其满足
0h x b ξ≤的条件。

（6）0'
2h x a b ξ≤≤，计算钢筋截面面积s A
y
s y c s f N
A f bx f A -+=
''1α
（7）'
2a x <，对受压钢筋'
s A 合力点取矩，计算s A 值得：
()
'
0'2a h f a h e N A y i s -⎪
⎭⎫
⎝⎛+-=
η (7-38)
另外，再按不考虑受压钢筋's A ，即取'
s A ＝0，利用式下式计算s A 值，然后与用式（7-38）求得的A s 值作比较，取其中较小值配筋。

a h e e i -+=2η
s y s y c A f A f bx f N -+=''1α
()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=α
2．小偏心受压构件的计算
已知：在荷载作用下柱的轴向力设计值N ，弯矩M ，截面尺寸h b ⨯，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及'
s A 取同一种钢筋），钢筋的强度等级，构件计算长度0l 。

求：钢筋截面面积s A 及'
s A 。

解：
1．判断大小偏心受压 （1）计算偏心距
N
M
e =
0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。

则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数
计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i
截面修正系数1ζ的取值：N
A
f c 5.01=
ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。

构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：
h
l h l h l 0
202001.015.130~150
.1,15-==<＝时，时ζζ （3）判断大小偏心受压
若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； 2．计算钢筋截面面积s A 及'
s A （1）计算ξ和s σ
可先假定bh A s min ρ=，取8.01=β，用式（7-31）和式（7-32）求得ξ和s σ
()
'0''1'
2s s s s c a h A a x bx f Ne -+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=σα （7-31） y b s f 1
1
βξβξσ--=
(7-32)
若σs < 0，取A s =ρ΄min bh ，用式（7-31）和式（7-32）重新求ξ。

（2）计算相对受压区计算高度如下：
b cy ξβξ-=12 (7-39)
（3）若满足cy b ξξξ<< ，则按下式求得'
s A
⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'
'012α （7-30） （4）若b ξξ<，按大偏心受压计算
（5）若cy h h ξξ>>0/，此时s σ达到'y f -，计算时可取'
y s f =σ，cy ξξ=，通过下
式求得s A 和'
s A 值。

⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'
'012α （7-30） ()
'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=σα （7-31）
同时应满足：
()()
s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+⎪⎭⎫
⎝
⎛-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'
0'
'
00'
22 (7-35 )
（6）若0/h h >ξ，则取'y s f =σ，cy ξξ=，通过下式求得s A 和'
s A 值。

⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'
'012α （7-30） ()
'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=σα （7-31）
同时应满足：
()()
s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+⎪⎭⎫
⎝
⎛-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'
0'
'
00'
22 (7-35 )
（7）对于0<s σ的情况，s A 和's A 应分别满足bh A s min ρ=，bh A '
min 'min ρ=的要求，
%2.0'
min =ρ。

（二） 承载力复核
已知：截面尺寸h b ⨯，钢筋截面积s A 和'
s A ，混凝土强度等级及钢筋种类，构件长细比h l /0，轴向力设计值N ，
求：截面是否能承受该N 值，或已知N 值时，求能承受弯矩设计值M 。

解：
1．弯矩作用平面的承载力复核
第一种情况：已知轴力设计值N ，求弯矩设计值M （1）计算界限情况下的受压承载力设计值N ub 先将已知的'
s s A A h b ，，，和b ξ代入下式
s y s y c ub A f A f bx f N -+=''1α
（2）如果N ≤N ub ，则为大偏心受压 可按式（7-23）求x ：
s y s y c A f A f bx f N -+=''1α （7-23）
再将x 和由式（7-22）求得的η 代人式（7-24）求e 0 ：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i (7-22)
()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=α （7-24）
则弯矩设计值M =N e 0。

（3）如N>N ub ，为小偏心受压， 应按式（7-30）和式（7-33）求x ：
s s s y c A A f bx f N σα-+=''1 （7-29）
y b s f 11
βξβξσ--=
(7-32)
再将x 及η代入式（7-31）求e 0及M ：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i (7-22)
⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'
'012α （7-30）
第二种情况：已知偏距e 0，求轴力设计值N
（1）因截面配筋已知，故可按图7-22对N 作用点取矩求x 。

（2）当x ≤x b 时，为大偏压，将x 及已知数据代入式（7-23）可求解出轴力设计值N 即为所求。

s y s y c A f A f bx f N -+=''1α
（7-23）
（3）当x >x b 时，为小偏心受压，将已知数据代入式（7-30）、式（7-31）和式（7-33）联立求解轴力设计值N 。

⎪
⎭⎫ ⎝⎛'
-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=s s y c a h A f x h bx f Ne 0''012α
（7-30）
()
'
0''1'2s
s s s c a h A a x bx f Ne -+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=σα
（7-31） y b s f 1
1
βξβξσ--=
(7-32)
2．垂直于弯矩作用平面的承载力复核 无论是设计题或截面复核题，是大偏心受压还是小偏心受压，除了在弯矩作用平面内依照偏心受压进行计算外，都要验算垂直于弯矩作用平面的轴心受压承载力。

此时，应考虑φ值，并取b 作为截面高度。

（1）由b l 0 查表7－1得：ϕ （2）下式得：
()[]
s s y c A A f bh f N ++=''9.0ϕ
该值略小于N ，但相差小于5％，可以认为验算结果安全。

三、对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面受压承载力的计算 （一）基本公式与基本方法
1．大偏心受压构件的计算
b
f N
x c 1α=
(7-40) ()
'0'01'2a h f x h bx f Ne A A y c s s -⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--=
=α (7-41) 当a x 2≤′时，可按不对称配筋计算方法一样处理。

若b x x >，（也即b ξξ>.时），则认为受拉筋A s 达不到受拉屈服强度，而属于“受压破坏”情况，就不能用大偏心受压的计算公式进行配筋计算。

此时可有小偏心受压公式进行计算。

2．小偏心受压构件的计算 简化方法一：用迭代法求解 （1）用式（7-40）求得x 值，判别大小偏心，若x >x b (x b = ξb h 0)时，即按小偏心受压计算。

（2）令()201h x x b ξ+=，代入式（7-31），该式中的x 值用1x 代入，求解得'
s A 。

（3）以's A 代入式（7-30），并利用式（7-33）再求x 值，再代入式（7-31）求解得'
s A 。

（4）当两次求得的'
s A 相差不大，一般取相差不大于5％，认为合格，计算结束。

否则以第二次求得的'
s A 值，代入式（7-30）重求x 值，和代入式（7-31）重求'
s A 值，直到精度达到满足为止。

简化方法二：近似公式法求解
求解ξ的近似公式。

()()
b c b c c b bh f a h bh
f Ne bxh f N ξαξβααξξ++----=
1'
0120
10
143.0 (7-46)
代入式（7-41）即可求得钢筋面积 ()
()
'0'01'
2a h f x h bx f Ne A A y c s s ---=
=α
()()
'
0'2
015.01a h f bxh f Ne y c ---=ξξα （7-47）
（二）截面设计
1．大偏心受压构件的计算
已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及's A ′
取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比h l /0。

求：钢筋截面面积s A 及'
s A 解：
1． 判断大小偏心受压 （1）计算偏心距
N
M
e =
0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。

则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数
计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：
2
12
01400
1
1ζζη⎪⎭⎫
⎝⎛+=h l h e o
i
截面修正系数1ζ的取值：N
A
f c 5.01=
ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。

构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：
h
l h l h l 0
202001.015.130~150
.1,15-==<＝时，时ζζ （3）判断大小偏心受压
若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算；
b c x b
f N
x ≤=
1α 属于大偏心
（4）计算钢筋截面面积s A 及'
s A a h e e i -+=2η
()()'
0'2
01'5.01a h f bh f Ne A y b b c s
---=ξξα0'
min bh ρ≥ y
y s
y
b c s f f A
f N
bh f A ''01+-=
ξα
2．小偏心受压构件的计算
已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及'
s A 取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比h l /0。

求：钢筋截面面积s A 及's A
解：
1．判断大小偏心受压
（1）计算偏心距 N
M e =0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。

则 a i e e e +=0
（2）考虑偏心距增大系数 计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：
2
12014001
1ζζη⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h l h e o i 截面修正系数1ζ的取值：N
A f c 5.01=ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。

构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：
h
l h l h l 0202001.015.130~150
.1,15-==<＝时，时ζζ
（3）判断大小偏心受压
若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算；
若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； b c x b f N x >=1α 属于小偏心
（4）按第一种简化计算法（迭代法）进行计算
a h e e i -+=2/η
先令
()201h x x b ξ+= 代入式（7－31）得 ()
'0'1011'12a h f x h bx f Ne A y c s -⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 用此'
1s A 代入式（7－30），并利用（7－33）取β1=0.8，再求x 值。

0'101'128.018.08.01h f A bh f A f N x y s b c b s y ⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ξαξ 用此x 2值，再代入式（7－31）计算 A s 选钢筋得'
2s A ，两者相差超过5％，再重求x 和
A s ′值，反复迭代四次，直至'4s A 与'3s A 之差相差小于5％，计算结束，取'4's s s A A A ==，该值应大于bh 'm in ρ，否则取bh 'm in ρ。

（５）按第二种简化计算法（近似公式法）计算。

由β1=0.8和式（7－46）求ξ
()()b c b c c b bh f a h bh f Ne bh f N ξαξααξξ++----=0
1'02
010
18.043.0 0h x ⨯=ξ
()
0'min '0'01'2bh a h f x h bx f Ne A A y c s s ρα≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛--==
否则0'min 'bh A s ρ=
（6）对于小偏压构件，还需以轴心受压验算垂直于弯矩作用方向的承载能力。

由85.7400
30000<==b l ，查表7－1得ϕ 按式（7－4）得：
()[]
N A A f bh f N s s y c u >++=''9.0ϕ
验算结果安全。

（二）截面复核
可按不对称配筋的截面复核方法进行验算。

但取's s A A =及'y y f f =。