常微分方程的常见解法

的切线斜率是 。
如果我们在区域D内每一点 处，都画上一个
以
的值为斜率中心在 点的线段，我们
就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程
所确定的向量场。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方
程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走
向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的
性质来研究解的性质。
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
变量可分离方程的求解
当,
方程（2.2.1）两边同除以
得
这样对上式两边积分得到
齐次方程
齐次函数: 函数
称为m次齐次函数, 如果
齐次方程: 形如
的方程称为齐次方程。
即
(3)凑微分法 例：验证方程
是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。
解：由于
所以方程为全微分方程。 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
利用条件
得
最后得所求初值问题得解为：
四、微分方程的近似解法
• 用一些函数去近似微分方程的解 • 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法
令
则
4. 对特殊方程
令
则
例 求方程
的通解。
解：解方程组
得
令 代入原方程可得到齐次方程
令
得
变量分离后积分 还原后得原方程通解为
变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
• 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求 解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对 了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重 要的指导意义。
三、一阶常微分方程的解法
1线性方程 2 变量可分离方程 3 全微分方程 4 变量替换法
5 一阶隐式方程 6 近似解法 7 一阶微分方程的应用
初值问题
3.全微分方程的积分 当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
(1) 线积分法:
或 例：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 由公式(2.3.4)得:
故通解为 其中 为任意常数
(2)偏积分法 例：求方程
解：由于
的通解.
假设所求全微分函数为
,则有
求
而 即 从而
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在 的网格点上画出了向量场
的图形，并给出了过点
的三
条积分曲线，见下图
二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直 接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大 致图形。
• 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要 特征。
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
解法:
除方程两边 , 得
令
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
பைடு நூலகம்
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
可化为齐次方程的方程
形如 其中 1. 当 2. 当
(1)
的方程可化为齐次方程. 都是常数. 时, 此方程就是齐次方程. 时, 并且
此时二元方程组
有惟一解 引入新变量 此时, 方程可化为齐次方程:
(2) 若
则存在实数 使得:
或者有
不妨是前者, 则方程可变为
从几何上看，方程
的一个解
就是位于
它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的
每一点都与向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解
就是始终沿着向量场中的方向
行进的曲线，因此，求方程
满足初始值
的解，就是求通过点
的这样的一条曲线。
定理1.3 曲线 L为
的积分曲线的充要条件是：
在L上任一点，L的切线与 所确定的向量场在该
点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域
内画出方程
的向量场和几条积分曲线。
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
# 画向量场及积分曲线
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
dy
p( x) y
g(x)
初值问题 dx
y(x0 ) y0
的解为
x
x
s
y y0 exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
常微分方程的解法介绍
一、 向量场
设一阶微分方程
的右端函数在 平面的一个区域 中有定义,
满足解的存在唯一性定理的条件。
那么，过 中任一点
有且仅有
的一个解
，满足
从几何方面看，解
就是通过点
的一条
曲线（称为积分曲线），且
就是该曲线上
的点
处的切线斜率，特别在
切线斜率
就是
尽管我们不一定能求出方程
的
解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
能得到解析解的方程：
线性方程、变量可分离的方程、 全微分 方程以及能通过各种方法化为这些类型 的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。