数学思想方法

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一、数学思想方法的运用
数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、方程与函数的思想、转化的思想。

常用数学方法包括：换元法、消元法（整体消元、加减消元、降幂消元）、递推归纳、构造（建模）、特殊值、排除法、等量代换等等。

举例∶一瓶汽水1.5元,三个空瓶可以换一瓶汽水,问30元钱可以换几瓶汽水。

（ 一 ）方程与函数的思想应用举例∶
1、ABC ∆中，AC AB =，O BAD 20=∠，且AD AE =，则=∠CDE
2、矩形()CB AB ABCG <与矩形CDEF 全等，点D C B ,,在同一直线上，APE ∠
的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数为（ ）个。

3、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如
果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ） (A) 14元 (B) 15元 (C) 16元 (D) 18元 4、如图，点C 线段A B 上的一个动点，1A B =，分别以A C 和C B
为一边作正方形，用S 表
示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）
A ．当C 是A
B 的中点时，S 最小 B ．当
C 是A B 的中点时，
S
最大
C ．当
C 为A
B 的三等分点时，
S 最小D ．当
C 为
A B 的三等分点时，S
最大
5、直角三角形ABC
中，∠ABC=90O
，AB=AD ，CB=CF ，求∠DBF 的值。

6、甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍。

7、在3×3字和都等于S ，先填在图中三格中的数字如图所示，若要填成，则 A 24 B 30 C 31 D 39 8、 如图，矩形ABCD ，AD=a ，AB=b ，要使BC 边上至少存在一点P ，使△ABP 、△APD 、△CDP 两两相似，则a,b 间的关系一定满足（ ） A.a ≥
2
1 b ．a ≥b C. a ≥
2
3b D ．a ≥2b
9、每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将与
他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是多少？
10、 如图是生活中常用的一种卫生纸，从这种卫生纸的包装纸上得到资料：“两层300格，每
格11.4×11cm(长×宽)。

” 如果用尺子量出整筒卫生纸的内外直径分别为4.6cm 和11.6cm ，你能求出每层卫生纸的厚度吗？（精确到0.001cm,π取3.142）
（ 二）分类讨论的思想应用举例∶
1、设a 是实数，则a a -的值（ ）
A 可能是负数
B 不可能是负数
C 必是正数
D 可能是正数，也可能是负数 2、已知O 为坐标原点，A （ 1，2），P 为坐标轴上一动点，求满足OAP ∆为等腰三角形P 点
的个数。

3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，求顶角。

4、有一等腰三角形的菜地，腰长为40米，一腰的垂直平分线在菜地的部分长15米，求菜地的面积。

5、如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是 （A ）16个 （B ）32个 （C ）48个 （D ）64个
6、某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连起来，经过测算，网线费用如图所示（单位：万元），每个数字表示对应网线的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为______万元。

B P
C D
E B D C
A A C
B P
9题图 10题图
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（ 三）数形结合的思想应用举例∶ 1、 已知x
k y -=
1，当210x x <<时，21y y <，求ｋ的范围。

2、 已知不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-≤--m x m x x x
2324413〈
①解集为31<≤x ，求ｍ的值。

②解集中包括5个整数，求ｍ的取值范围。

③无解，求ｍ的取值范围。

3、已知二次函数y=x 2-x+a(a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论
中正确的是
(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0
(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定 4、 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四
个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )
A. 当x>0时，函数值y 随x 的增大而增大
B. 当x>0时，函数值y 随x 的增大而减小
C. 存在一个负数x 0，使得当x<x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x> x 0时，函数值y 随x 的增大而增大
D. 存在一个正数x 0，使得当x<x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x>x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 6. 已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax
y 的图象如图所示，有下列5
个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
（ 四）转化的思想应用举例∶
1、如果一条直线l 经过不同的三点A(a ，b)，B(b ，a)，
C(a-b ，b-a)，那么直线l 经过（ ）
(A) 第二、四象限 (B) 第一、二、三象限 (C) 第一、三象限 (D) 第二、三、四象限 2、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，
由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去．则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有（ ）种
5、 方程02
=++c bx ax
的解是函数c bx ax
y ++=2
与X 轴交点的横坐标；
不等式02
>++c bx ax
的解集是函数c bx ax
y ++=2
在X 轴上方的图象对应
点的横坐标的取值范围；方程组的解是两函数图象交点的坐标。

（ 五）消元法（整体消元、加减消元、降幂消元）应用举例∶ 1、已知012=--x x ，求173223-+--x x x 的值。

2、已知
211=-
y
x ，求
xy
y x y xy x +++-252的值。

3、如果2=b
a ，求
2
2
2
2
b
a
b ab a
++-的值。

练习：1、如果
22=++a
b b a ，求
2
2
2
2
b
a
b ab a
++-的值。

2、
5
4
3
c b a =
=
，求
2
2
2
22c
b
a
c ab a +++-的值
6、 已知：m ，n 是两个连续自然数（m<n ）且mn q =，设m q n q p -+
+=
，
则p 为（ ）
A 总是奇数
B 总是偶数
C 有时是奇数，有时是偶数
D 有时是有理数，有时是无理数
（ 六）递推归纳应用举例∶
1．如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正 方形沿着正方形ABCD 的边AB→BC→CD→DA→AB 连续地翻 转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是
2、用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是______ cm （用含n 的代数式表示）．
0 3 4 2 1 蜜蜂
第1次 第2次 第3次 第4次 ···
···
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3、小卫搭积木块，开始用2块积木搭拼（第一步）然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第二步），下图反映的是前3步的图案，当第10步结束后组成图案的积木总块数为 （ ） A 306 B 361 C 380 D 420
4、在平面直角坐标系中,已知点P 0的坐标为(1,0).将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转30°得到点P 1,延长OP 1到点P 2,使OP 2=2OP 1;再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转30°得到点P 3,延长OP 3到点P 4,使OP 4=2OP 3……如此继续下去,得到点P 2004的坐标是 .
5、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
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的半圆后得到图
形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形
34,,,,n P P P
，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ；3S = ；并猜想
6、如图,把一个面积为1的的正方形分成两个面积为的矩形,再把面积
的
矩形分成两个面积为
的矩形,如此继续下去,试利用图形计算:①
②猜想:
的值： ___。

8、
7、观察下面一列有规律的数：，根据规律可知：①第七个数是_______，
第n 个数是______（n 为正整数）；②是第_______个数。

（ 七）换元法应用举例∶ 1、（2007山东淄博）若方程组 2313,3530.9
a b a b -=⎧⎨
+=⎩ 的解是 8.3,1.2,
a b =⎧⎨
=⎩ 则方程组
2(2)3(1)13,
3(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨
++-=⎩
的解是（ ）A （A ） 6.3,2.2
x y =⎧⎨
=⎩ （B ）8.3,1.2
x y =⎧⎨
=⎩ （C ）10.3,2.2
x y =⎧⎨
=⎩ （D ）10.3,0.2
x y =⎧⎨
=⎩
2、（2007浙江舟山）三个同学对问题“若方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩的解是34
x y =⎧⎨
=⎩，求方程组
111
222
325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
3.若方程组 2313,
3530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩
的解是 8.3,1.2,a b =⎧⎨=⎩ 则方程组
2(2)3(1)13,
3(2)5(1)30.9
x y x y +--=⎧⎨
++-=⎩的解是（ ） （A ） 6.3,2.2
x y =⎧⎨
=⎩ （B ）8.3,1.2
x y =⎧⎨
=⎩ （C ）10.3,2.2
x y =⎧⎨
=⎩ （D ）10.3,0.2
x y =⎧⎨
=⎩
（第5题）。