《微积分基本定理念》PPT课件

b
s in
a
xdx
c
o
s
x
b a
5（. l n x ） 1
x
b1 ax
dx
ln
x
b a
6（. e x） e x
b e xd x
a
e
xb a
7（. a x） a x l n a
b a xd x a x b
a
ln a a
课下讨论：
1）bl a
nxdx； 2）b a
lo
gaxdx
参考：
1）b a
lnxdx
（xlnx
-
x） ab；
2）b a
loga xdx
（xloga x
-
1 lna
x） ab。
书
【 例 1】 计 算 下 列 定 积 分
1121xdx;
1 2（ 132xx12dx;
22
3013x2x1dx;
4202sinx2cosxdx;
【点拨】 求定积分首先根据导数公式找到一个 F(x)，使F′(x)＝f(x)，然后根据微积分基本定理
x（ 2 -2x0） 分析：作图知f（x） =x （0x 1）f（x） =
x（ 2 1x2）
0x2dx+
1
xdx
2x2dx=11
-2
0
1
2
练习：1.
1（ 2 x2+x12） dx；2.
2
0
sinxdx。
参答：1） 25；2） 4 8
1.关于定积分的含义的说明：
在求曲边梯形的面积与变速直线运动的物体的路程的方法步骤 中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不 同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都可以 概括地描述为“分割一代替一求和一取极限”．抛开问题的 具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质 特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样 就得到了定积分的含义．
＝b 及 a>b 时，不难验证，af(x)dx＝0，bf(x)dx＝－af(x)dx.
a
a
b
这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为
(2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了 被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计 算提供了一个简单有效的方法——转化为计算其原函数 在积分区间上的增量．
(3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝ f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导 运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导 公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)．
a
a
【例3】计算定积分
（1）2(42x)(4x2)dx （2）2 x2 2x3dx
0
１
x
（3）3( x 1 )2dx
2
x
【点拨】 (1)利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分，关键是
求使F′(x)＝f(x)的F(x)，其求法是反方向运用求导公式；
(2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式，再利用定
【例 练 4：】计算下列定积分：
1 若f
x
x2 cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
x x
0 0
,
求 2 1
f
x dx;
2 3 x2 4 dx; 0
课堂课堂练
3
2
0
x 1
x 3 dx;
简答：
1 ) 4 ; 2 ) 23 ;3 ) 5
32 3
思 考 提 高 ： 求 2m axx ， x 2d x 。 -2
积分的性质化简，（即当有的定积分不易寻找被积函数的原函数 时应先变形后再计算）最后再用牛顿——莱布尼兹公式求定积
分的值．
你
例例 24 求定积分：
例4
(1)2|x2－1|dx； 0
例4
例4
【点拨】 (1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段的积
分的和的形式；,(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确 定，即是按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的 连续函数,并且F＇ (x)f(x),
那么：b f(x)dxF(b)F(a) a
【关于微积分基本定理的说明】
理解微积分基本定理需注意以下几个方面：
(1)在微积分基本定理中，F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上 连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数．
1.6
1. 定积分的概念及其几何意义; 2. 曲边梯形面积的求法;
教材分析： 了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义， 能够正确地运用微积分基本定理计算简单的定积分． 重点：微积分基本定理及其应用。 难点：对微积分基本定理的理解.
教材 P51 问题探究:（了解过程）
1)位移 S 是从哪几个角度研究的?
2)每个角度获得的结论是什么?
b
b
3)SaV(t)dtay'(t)dty(b)y(a)
你 又 如 何 理 解 的 ?
4)想一想 3)的作用是什么?
研读教材 P53 （1）微积分基本原理是什么? （2）这一原理的作用又是什么? （3）利用这一原理的关键是什么? （4）请你归纳一下定积分的研究方法.
【微积分基本原理】
定 积 分 公 式 ： 记下
1 . （ c x ） = c
b
cdx = cx
a
b a
2（. x n ） n x n 1
b x nd x
a
n
1
1
x n1b a
3（. s i n x ） c o s x
b
cos xdx
a
s in
x
b a
4（. c o s x ） s i n x
求值，对于复杂的被积函数求定积分问题，可
以运用定积分性质化简为简单函数的定积分， 再求解．
书
【例2】计算下列定积分：
2
2
0 sinxdx, sinxdx,0 sinxdx
由计算结果你能发现什么结论?试利 用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
阅书P54
【定积分和曲边梯形面积的关系】
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 则 下．
2．关于定积分应注意的几点
(1)定积分bf(x)dx 是“和式”的极限值，它的值取决于 a
被积函数 f(x)的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母
表示无关，即bf(x)dx＝bf(u)du＝bf(t)dt＝…(称为积分形式的
a
a
a
不变性)．
(2)在定积分bf(x)dx 的定义中，总是假设 a<b，而当 a a
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx＝ S上 a
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则bf(x)dx＝ S下 a
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则
bf(x)dx＝ S上 S下 ，若 S 上＝S 下，则bf(x)dx＝0.