库存管理优化 Inventory Theory

我们建立不同的存贮模型来解决上面两个问题。 如果模型中的需求率、生产率等一些数据皆为确定的 数值时，存贮模型被称为确定性存贮摸型；如果模型 中含有随机变量则被称为随机性存贮模型。
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§1 经济订购批量存贮模型
经济订购批量存贮模型，又称不允许缺货，订购 时间很短存贮模型，是一种最基本的确定性存贮模型。 在这种模型里，需求率即单位时间从存贮中取走物资 的数量是常量或近似乎常量；当存贮降为零时，可以 立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包 括生产时间很短的情况，我们可以把生产时间近似地 看成零）。这种模型不允许缺货，并要求单位存贮费， 每次订购费，每次订货量都是常数，分别为一些确定 的、不变的数值。
TC
1 2
Qc1
D Q
c3
( Dc)
求极值得到使总费用最小的订购批量为
Q 2Dc3 c1
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这是存贮论中著名的经济订购批量公式。
单位时间内的存贮费用= (1/ 2) Q* c1 =
Dc 3 c1 2
单位时间内的订货费用 = (D /Q*) c3 =
Dc 3 c1 2
单位时间内的总费用 = 2Dc3c1
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研究这一存贮模型的目的是：求存贮量 Q 使单 位时间内的总费用最少，同时求出补充存贮物资的 间隔时间 T。
经济订购批量存贮模型的存贮状态图为:
存贮量 Q
Q/2
0
T1
T2
T3
时间 t
9
单位时间内的总费用 = 单位时间内的存贮费用 + 单位时间内的订货费用 单位时间内的存贮费用 =
单位时间内购买货物所占用资金的利息 + ( 贮存仓库的费用 + 保险费用 + 损耗费用 + 管理费用等 ) ；
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每年的生产次数为 D/Q* = 4900/99 = 49.5 50。
如果每年的工作日计 250 天，则相应的周期为 250/50 = 5天，
一年最少的总的费用： TC 1 2(1d p)Q *c1Q D *c3497 元 5 . 0
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3 允许缺货的经济订购批量模型
所谓允许缺货是指企业在存贮量降至 0 时，可不 急于补充，等一段时间，然后订货。顾客遇到缺货也 不受损失或损失很小，并假设顾客会耐心等待，直到 新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所缺的 货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。
T
时间
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这种存贮模型的特点： 1. 需求率 （单位时间的需求量）为 d； 2. 无限供货率； 3. 允许缺货，且最大缺货量为 S； 4. 单位货物单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的订货费 c3 ； 6. 单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2 ； 7. 当缺货量达到 S 时进行补充，且很快补充到最大存 贮量 Q – S。
(QS)2 D S2 TC 2Q c1Qc32Qc2
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使 TC 达最小值的最佳订购量
Q 2Dc3 (c1 c2 ) c1c2
订购量为 Q＊ 时的最大缺货量
S c1 Q c1 c2
单位时间的最低总费用
2 Dc 3c1 c2 (c1 c2 )
TC 2Dc1c2c3 c1 c2
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订购量为 Q＊ 时的最大存贮量为
间的生产准备费为 c3 D /Q ，进而，单位时间的总费用
TC 为：
TC12(1dp)Qc1Q Dc3
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使 TC 达最小值的最佳生产量 Q 2Dc3
(1
d p
)c1
单位时间的最低总费用
TC 2D3c(1dp)c1
生产量为Q＊时的最大存贮量为
2 Dc 3 (1
d p
)
c1
每个周期所需时间 T 为
库存管理优化( Inventory Theory )
§1 经济订购批量存贮模型 §2 经济生产批量模型 §3 允许缺货的 经济订购批量模型 §4 允许缺货的 经济生产批量模型 §5 经济订购批量折扣模型 §6 需求为随机的单一周期的存贮模型 §7 需求为随机变量的订货批量、再订货点模型 §8 需求为随机变量的定期检查存贮量模型 §9 物料需求计划 (MRP) 与准时化生产方式 (JIT) 简介
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经济订购批量存贮模型中的主要参数有：
需求率 ：
d (D)
单位货物单位时间的存贮费：
c1
每次订购费：
c3
每次订货量：
Q
这些量都是确定的、不变的数值。各参量之间的关系：
订货量 Q
总存贮费
总订购费
越小
存贮费用越小
订购费用越大
越大
存贮费用越大
订购费用越小
7
经济订购批量存贮模型的特征是： 1. 需求率(量) (单位时间的需求量) 为 d (D)； 2. 无限供货率（单位时间内入库的货物数量） ； 3. 不允许缺货； 4. 单位货物单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的订货费 c3 ； 6. 当存贮量为 0 时立即得到补充，补充量同时到位； 7. 每次补充量为Q 。
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如果允许缺货，对企业来说除了支付少量的缺 货费用外另无其他的损失，这样企业就可以利用 “允许缺货” 这个宽容条件，少付几次订货费用， 少付一些存贮费用，从经济观点出发这样的允许缺 货现象对企业是有利的。这种模型的存贮状态图为 ：
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存贮量
最大存贮量
Q-S
0
S
最大缺货量
不缺 货时 间 t1
缺 货时 间 t2
Dc 3 c1 2
=3420.53
单位时间内的订货费用= (D /Q*) c3 =
Dc 3 c1 =3420.53
2
单位时间内的总费用 = 2Dc3c1 = 6841.06
两次订货间隔时间
365 T0 D / Q
= 2.67
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经济订购批量存贮模型的一个特性是：一般来说， 对于存贮率（单位存贮费和单位货物成本的比）和每 次订货费的一些小的变化或者成本预测中的一些小错 误，最优方案比较稳妥。
这个问题属于存贮模型的灵敏度分析。
注：1.
2.
3.
参见 p270
再订货点
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经济生产批量模型
经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要
一定时间模型，这也是一种确定型的存贮模型。它 的存贮状态图为
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存贮量
最高存贮量
p-d
d
平均存贮量
t 生产 时间
不 生产 时间
时间
研究这一存贮模型的目的是：求生产量 Q 使
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单位时间的总费用 TC = = (单位时间的存贮费) + (单位时间的订货费)
+ (单位时间的缺货费) = (平均存贮量) × c1 + (单位时间的订货次数) × c3
+ (平均缺货量) × c2
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解：设每次订货量为 Q ，由于最大缺货量为 S，则最 高库存量为 Q - S，故不缺货时期内的平均存贮量为 (Q- S)/2，于是，周期 T 内的平均存贮量= (Q- S)t1/2T。 由于 t1 = (Q- S)/d，T = Q/d， 则周期 T 内的平均存贮 量 = (Q- S)2/2Q。又周期 T 内的平均缺货量= (S t2 ) /2T。 由于 t2 = S/d，T = Q/d，则周期 T 内的平均缺货量 = S2/2Q。故单位时间的总费用 TC 为：
3
典型的存贮问题可以用下图示意：
购（补充供应）
存贮
存贮问题的基本概念
销（需求）
• 需求
• 补充供应
• 费用（存贮费、定货费、生产费、缺货费等）
• 存贮策略
• 目标函数
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存贮论是运筹学的一个重要分支，也是运筹学最 早成功应用的领域之一。存贮论主要解决存贮策略问 题，即如下两个问题：
1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( T )来补充这些存贮物资？
两次订货间隔时间
365 T0 D / Q
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注：早在 1915 年哈里斯（Harris）对商业中的 库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解。 但是他的工作未引起人们的注意。1918 年时威尔逊 （Wilson）重新得出了 Harris 的公式。这就是上面提 到的经济订购批量 (economic ordering quantity，简写 EOQ)公式，有时，也称经济批量 (economic lot size ) 公式，或称哈里斯-威尔逊公式。
单位时间内的总费用最少，同时求出补充存贮物
资的间隔时间 T。
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经济生产批量存贮模型的特征是： 1. 需求率(量) (单位时间的需求量) 为 d (D)； 2. 供应能力 或生产率（单位时间的产量）为 p — 有 限供货率； 3. 不允许缺货； 4. 单位产品单位时间的存贮费 c1 ； 5. 每次的生产准备费 c3 ； 6. 存贮量为 0 时立即得到补充，补充量逐步到位; 7. 每次生产量为 Q 。
1
存贮问题是人们最熟悉又需要研究的问题之一。 例如 工厂存贮原材料、在制品的问题 商店存贮商品的问题 水库蓄水问题 银行的货币储备问题 医院血库储血问题 易腐保鲜食品存贮问题
2
存贮是缓解供应与需求之间出现的供不应求 或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法与 措施。但是，要存贮就需要维护和资金，为此存 贮费用在企业经营的成本中占据了非常大的部分， 它是企业流动资金中的主要部分。因此，如何合 理地、经济地解决好存贮问题就成为企业经营管 理中的大问题，存贮理论为我们解决这一问题提 供了有效的方法。
1. 当不允许缺货时，求出使一年总费用最低的 最优每次订货量 Q1*，及其相应的周期，每年的订 购次数和一年总费用。
单位时间内的订货费用 = 订货所支付的手续费 + 电话费
+ 交通费 + 采购人员的劳务费等。
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解：设每次的订货量为 Q，由于补充的货物全部同 时到位，故0 时刻的存贮量为 Q。到T 时刻存贮量 为 0，因此，0 到 T 时间内的平均存贮量为 Q/2。 又设单位时间内的总需求量为 D ，单位货物的进价 成本即货物单价为 c ，则单位时间内的总费用为
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周
需求（箱）
1
3000
2
3080
3
Baidu Nhomakorabea
2960
4
2950
5
2990
6
3000
7
3020
8
3000
9
2980
10
3030
11
3000
12
2990
总计
36000
平均每周
3000
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由哈里斯-威尔逊公式解得：
最优订购批量 Q 2Dc3 = 1140.18
c1
单位时间内的存贮费用= (1/ 2) Q* c1 =
250 D /Q
显然，p → + 时，经济生产批量模型趋于经济订购批 量模型。
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例1. 有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一 种图书馆专用书架。基于以往的销售记录和今后市 场的预测，估计今年一年的需求量为 4900 个，由于 占有资金的利息以及存贮库房以及其他人力物力的 费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元，这种书架 是该公司自己生产的，每年的生产能力为 9800 个， 而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500 元，该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产 呢？要求求出最优每次的生产量 Q*，相应的周期， 最少的每年的总费用，每年的生产次数。
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例：( P264) 益民食品批发部是中型的批发公司，它为附近
200 多家食品零售店提供货源，批发部的负责人为 了减少存贮的成本，他选择了某种品牌的方便面进 行调查研究，制定正确的存贮策略。
首先他把过去12 周的这种品牌的方便面需求数 据进行了处理，如后图所示。从而确定出这种品牌 的方便面年需求量 D = 3000×52 箱。此外，他还计 算出了方便面存贮一年的存贮费 c1 = 6 元，以及每 次的订货费 c3 = 25 元。
2 Dc 3c2 c1(c1 c2 )
每个周期 T 所需时间
T Q 2c3(c1c2) ,
d
c1c2D
t2
S, d
t1Tt2
显然，c2→+ 时，允许缺货订购模型趋于经济订 购批量模型。
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例2. 假如在例1 中的图书馆设备公司只销售书架而 不生产书架，其所销售的书架是靠订货来提供的， 所订的书架厂家能及时提供。该公司的一年需求量 仍为 4900 个，存贮一个书架一年的花费仍为 1000 元，每次的订货费是 500 元，每年工作日为 250 天。
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解：设每次生产量为 Q，由于生产率是 p，故每次的 生产时间 t 为 Q/ p ，于是最高库存量为 ( p-d ) Q / p。 由于到 T 时刻存贮量为 0，则 0 到 T 时间内的平均 存贮量为 ( p-d) Q / 2p 。故单位时间的存贮费为：
1d
(1 2
) p
Q
c1
另一方面，设 D 为产品的单位时间需求量，则单位时
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解：从题中可知 D = 4900个 / 年，
年需求率
d = D = 4900 个/ 年，
年生产率
p = 9800 个/ 年，
每年存贮一个书架要花费 c1= 1000 元 / 个年，
组织一次生产要花费
c3 = 500 元 / 次，
于是可得最优每次生产量
Q* 2Dc3 98009（ 9 个） (1dp)c1