北师大版指数运算的性质

1 1 1 2 4 8
1 2
1 2
a
7 8
【变式练习】
计算 （1） ( 2 3 2 )
4
（2） 18 3 2
4 1 (2 2 1 23 )4
解： （1 ） ( 2 3 2 )

1 3
1 4 2 2
1 4 3 2

1 1 2 3 1 6
4 22 2 3
1 2
2 1 1 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
b
1 1 5 2 3 6
4ab 0 4a
化简
2.( xy · x · y
2
1 2
1 2
) · ( xy )
1 3
1 2
【提升总结】 含字母的幂的运算是高中数学中的基本运算之一,
可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，
(a a )(a a a a a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3

Байду номын сангаас
3 2
a 1 )
1 2
=a+a-1+1
(a a ) 2 1 5 1 24.
2
1 2

1 2 2
1.分数指数幂的运算性质.
2.有理数指数幂的运算法则.

4 y

4x


y y 4 xy 4 x ．
【变式练习】
化简 1. (2a b )( 6a b ) ( 3a b ) ,其中 a 0, b 0
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
解：( 2a b )( 6a b ) （ 3a b ） 2 6 3 a
整数幂的运算法则是否可以扩充到实数指数幂呢？
当 a 0, b 0 时，对任意实数 m, n 都满足 上述性质，可以归纳如下：
a m a n a mn (a ) a
m n mn
(ab) n a n b n
巩固练习
1 3 ( ) 3
1 1 1 1 27 ( )3 ______________________ 3 27
2
例 4.化简下列根式(其中各式字母均为正数) （ 1） 3 a 4 a （ 2）
a a a
先化为分
7 12
解： （1） a a ＝ a a a
3 4
1 3
1 4
1 1 3 4
a
1 2
数指数幂
1 2 1 4 1 8
（2） ＝a
a a a ＝[a· （a·a ） ] ＝a ·a ·a
1 2
2 ___________ 2
1 1 3.计算: 4 6 6
2

1 3
3 2 6 4 2 3 2
3 2 1 3 1 2 1 2 2
3
解析:原式 2
1 2

2 2
3 1 2 6 3 2 4 6 8
1 2 2
1 2

1 2
（x ）

1 2 2
开方后有正 负两种情况
x x
所以 x
1 2
-
1 2
5
1 2
又由x+x-1=3得x＞0
1 2
x
5
(2) x x
1 2
3 2

3 2 1 2
（x ） （x ）
1 2 3

1 2 3
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 （x x ） （ （x ） x ）x x 1 （x x ）（ x x ） - 1 5 （ 3 1） =2 5 1 2 1 2
2
1 3
3

1 2
1 23 2 3
1 3
83 2
（2） 18 3 2 （ 32 2） 2 3 2 2 3 2 3 2 36 2
（练习）已知 x x =3,求下列各式的值：
1
(1) x x , (2) x x .
分析: 对 x x 而x x
3 2 3 2
1 2

1 2 .
3 2

3 2
1 2

1 2
平方即可应用题目给的已知条件,
1 2 1 2
用立方差公式展开后即可使用所求 x x
1
与已知条件 x x =3.
解: ( 1) （x x ） （x ） 2 x x =x1+x-1+2=3+2=5
1 2

1 2 2
n
可以归入性质 (ab) a b ．
n n n
例 2.化简（式中字母均为正实数） ： （１） 3x 2 (2x
2
2
； （２） （x y ） 4y ． yz)
1


解： （１） 3x (2x
1
2
yz) (3 2) x
1
2 2
yz 6 yz ；
（２） ( x y)

（2）注意对立方和等公式的灵活运用以及开方时
正负的取舍.
1.下列说法错误的是( C ) A.根式都可以用分数指数幂来表示 B.分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂 2. 2
1 2
3
1 2
2 ( 3) 0 3
3 2 3 2
( x x ) ( x 1 x ） 3 6 18
18 3 1 47 2 3
1 2

1 2
1
而（x+x-1）2=x2+2+x-2=49，可得x2+x-2=47 ∴原式=
【提升总结】 （1）要注重已知条件与所求之间的内在联系,看透 问题实质方可彻底解决.
5



1 5
1 3 ； 9
2
4 ．
1 5
【变式练习】
求下列各式的值： （1） 10000
0.75
125 3 ) （2 ） ( 27
0.75
2
解：(1) 10000
2
(10 ) 10
2
3 4 4
3 4( ) 4
103 1000
2
125 3 53 3 5 3 3 5 3( 3 ) 5 2 9 ) ( 3 ) [( ) ] ( ) ( ) (2) ( 27 3 3 3 25 3
2.2
指数运算的性质
凡运算都要有法则！
1.掌握分数指数幂的运算性质.(重点） 2.能运用性质进行化简或求值.（难点） 3.感受指数扩充对运算性质的影响.
思考：初中，我们学习了哪些正整数指数幂的运
算性质？
(1)a a a
m n
m n
m n
n
(2)(a )
m n n
a
(3)(ab)
a b
n
m-n 当m > n 时 a , am (4) 当a≠0时 ，有 n = 1 , 当 m = n 时 a a -(n-m) , 当 m < n 时
a n an (5)( ) n (b 0) b b （其中m,n均为正整数）
思考：上节指数已经由正整数扩充到实数，那么正
1 1 5 5 5 (2 x ) 32 x (2 x) ___________________
5
化为同底的指 数运算
3 5 2 5 2 1 3 27 3 (3 ) 3 3 3 ( ) _______________________________________ 9
然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号．
例 3.已知 10 3,10 4 ．求 10

， 10

，
102 ， 10 5 ．

解： 10

10 10 3 4 12 ；
10 3 ； 10 4

10

10
2
10
2

10 10
解题总结：
解决此类问题的思路步骤如下：
寻找与已知的
巩固练习
已知 x x
1 2 1 2
3 2
关系
3 2
x x 3 3 ，求 2 的值. 2 x x 2
1 2 （ x x ） x 2 x 3 解：
1 2

1 2 2
x x 1 7 x x
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的 青春，学习无穷的智慧。
a n a 例 1.在实数范围中，对比 (ab) a b 和 ( ) n b b
n n n
n
（其中 a 0, b 0 ） ，说明后者可以归入前者．
n a a a n a n 1 n n n 解： ( ) (ab ) a b n ，因此，性质 ( ) n b b b b
1 2
24 6 5 2 6 3 6 =21
1 2
4.已知 a a
1 2
1 2
a a 求 5， 1 a2 a
3 2
3 2

3 2 1 2
的值.
1 2 3
解析：因为 a a 所以 a a
a a
1 2 3 2
3 2
(a ) (a ) ,