3-27转化与化归思想
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2α
数学（理）
新课标· 高考二轮总复习
10 解：(1)由 tanα＋cotα＝－ ，得 3tan2α＋10tanα＋3 3 ＝0， 1 3π 即 tanα＝－3 或 tanα＝－ ，又 <α<π， 3 4 1 所以 tanα＝－ 为所求． 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 (2) π 2sin α－ 2
数学（理） 第23页
新课标· 高考二轮总复习
2 π 1 π (2)∵f(x)＝－ sin4x＋ ＋ ，令 sin4x0＋ ＝0， 2 4 2 4
π kπ π 则 4x0＋ ＝kπ(k∈Z)，∴x0＝ － (k∈Z)， 4 4 16 π kπ π π ∵x0∈[0， ]，∴0≤ － ≤ (k∈Z)，得 k＝1 或 k 2 4 16 2 3π 7π ＝2，∴x0＝ 或 x0＝ ， 16 16 故点 A
3π 1 7π 1 的坐标为 ， 或 ， . 16 2 16 2
数学（理） 第24页
新课标· 高考二轮总复习
[点评] 本题考查三角函数的周期性、对称性、值域 等， 解题的关键是将函数解析式通过三角变换化为只含有 一个三角函数的形式，即将目标简单化．一般地，目标简 单化指问题结构的简单化和处理方法的简单化， 本题中将 复杂的三角函数式化为一个角的一个三角函数就是如此， 这样可求值、求周期、求单调性、求最值等．
数学（理） 第18页
新课标· 高考二轮总复习
解析： 如图所示， 建立坐标系， 设正六边形边长为 2， 则 P1(－1，－ 3)，P2(1，－ 3)，P3(2,0)，P4(1， 3)， P5(－1， 3)，P6(－2,0)．
数学（理） 第19页
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→ P→ 2＝(2,0)，P1P3＝(3， 3)，P→ 4＝(2,2 3)，P→ 5＝ P 1 1P 1P (0,2 3)，P→ 6＝(－1, 1P 3)．
π 2sinx＋ ，t∈[－ 4
2， 2]，
1 1 2 2 而 sinxcosx＝ [(sinx＋cosx) －1]＝ (t －1)， 2 2 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx 1 ＝a2－at＋ (t2－1) 2 12 2 1 ＝ t －at＋a － 2 2
高频考点
类型一 【例 1】 解析法转化 在三角形 ABC 中，已知 AB＝AC ＝5，
BC＝6.点 M 是 AC 的中点， 试问在线段 BM 上是否存在 点 P 使得 PC⊥BM?
数学（理） 第13页
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[解]
假设在线段 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM，
以 B 为原点，BC 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系．由于 AB＝AC＝5，BC＝6，所以 B(0,0)，
数学（理） 第22页
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[解]
1 1 (1)∵f(x)＝－ (sin2ax＋cos2ax)＋ ＝ 2 2
2 π 1 － sin2ax＋ ＋ ， 2 4 2 1＋ 2 1－ 2 ∴f(x)的最大值和最小值分别为 和 ， 2 2 1＋ 2 1－ 2 ∴m＝ 或 m＝ ， 2 2 π 又依题意函数 f(x)的周期为 ，∴2a＝4，a＝2. 2
数学（理） 第16页
新课标· 高考二轮总复习
→ PP A.P1P2·→ 3 1 B.P→ 2·→ 4 1P P1P → PP C.P1P2·→ 5 1 → PP D.P1P2·→ 6 1
数学（理） 第17页
新课标· 高考二轮总复习
分析： 建立适当的坐标系， 用坐标分别表示各选项中 向量的数量积，化简求值即可． 建立直角 用坐标表 计算向量 → → → 得答案 坐标系 示向量 的数量积
第8页
数学（理）
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化归有一定的原则：①目标简单化原则，即复杂的问题 向简单的问题转化；②和谐统一性原则，即化归应朝着使待 解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于 统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；③具 体化原则，即化归方向应由抽象到具体；④低层次原则，即 将高维空间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归 就有一定的策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循， 有法可依”，通常可以从以下几个方面去考虑：
数学（理） 第21页
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类型二
目标简单化转化 (2011· 南昌模拟 )若函数 f(x)＝ sin2ax－
【例 2】
sinaxcosax(a>0)的图象与直线 y＝m 相切，并且切点的横 π 坐标依次成公差为 的等差数列． 2 (1)求 a 和 m 的值； (2)若点 A(x0，y0)是函数 y＝f(x)的图象的对称中心， π 且 x0∈[0， ]，求点 A 的坐标． 2
数学（理） 第4页
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要点串讲
化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在 解决数学问题时，常常将待解决的数学问题 A，通过某 种转化手段，归结为另一问题 B，而问题 B 是相对较容 易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题 B 的解决可以得到原问题 A 的解答．用框图可直观地表示 为：
数学（理） 第5页
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数学（理） 第6页
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其中问题 B 称为化归目标或方向，转化的手段称为 化归策略． 化归思想有着坚实的客观基础， 它着眼于揭示 联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题．
数学（理） 第7页
新课标· 高考二轮总复习
在高中数学的学习中，化归更是我们研究问题最基 本、 最重要的思想方法， 它无处不在， 比如： 解不等式时， 将分式不等式转化为整式不等式， 无理不等式转化为有理 不等式， 超越不等式转化为代数不等式； 处理立体几何问 题时， 将空间问题化归到一个平面上解决； 在解析几何中， 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题； 复数问题化 归为实数问题等等．新课程标准强调数学思想方法的教 学，高考更是明确指出加强对函数与方程、数形结合、分 类讨论、化归等思想方法的考查．
一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法
的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点．预测 2012年高考对转化与化归思想的考查重点为：(1)常量
数学（理） 第3页
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考情分析
与变量的转化：如分离变量，求范围等；(2)数与形的 互相转化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等； (3)数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析 几何等的转化；(4)出现更多的实际问题向数学模型的 转化．
sinxcosx.而 sinx＋cosx 与 sinxcosx 有联系，可设 t＝sinx ＋cosx， 则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最 值问题． 换元t＝sinx＋cosx → 关于t的二次函数 → 按a分类求出最值
第30页
数学（理）
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[解] 则 t＝
设 t＝sinx＋cosx，
2α
数学（理） 第27页
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1－cosα 1＋cosα 5· ＋4sinα＋11· －8 2 2 ＝ － 2cosα 5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16 ＝ －2 2cosα 8sinα＋6cosα ＝ －2 2cosα 8tanα＋6 5 2 ＝ ＝－ . 6 －2 2
→ PP ∴P1P2·→ 3＝6，P→ 2·→ 4＝4，P→ 2·→ 5＝0， 1 1P P1P 1P P1P P→ 2·→ 6＝－2. 1P P1P → PP ∴P1P2·→ 3＝6 最大，故选 A. 1
答案：A
数学（理） 第20页
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点评：(1)本题采用的解析法是将平面几何问题转化 为解析几何问题的方法．其一般步骤是：①建立坐标系； ②设点的坐标与曲线方程； ③运算与推理； ④返回几何结 论． (2)解决此类问题常见的思路有两种：一是由数量积 公式求解；二是转化为坐标运算．
数学（理） 第10页
新课标· 高考二轮总复习
4．在解决一个一般性问题有困难时，先解决它的特 殊情况， 然后再将结果推广到一般问题， 获得一般问题的 解答，即特殊化策略． 5．为了解决问题 A， 先解决比 A 更一般的问题 A′， 然后再将其特殊化获得解答，即一般化策略．
数学（理） 第11页
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6．数学符号表达一定的语义，采用语义转化策略，将 问题适当变形并作不同于其表面的非常规性的语义解释， 将 问题化归为另一个问题， 比如“数”的语义与“形”的语义 间的相互转化． 7．当问题的目标较复杂时，通过降维、降幂、减少变 量个数等手段，将目标简化，有利于问题的解决.
数学（理） 第12页
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数学（理） 第31页
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1 2 1 2 1 ＝ (t－a) ＋ a － . 2 2 2 1 2 1 2 1 原问题转化为求二次函数 f(t)＝ (t－a) ＋ a － 在 t 2 2 2 ∈[－ 2， 2]上的最值问题． (1)当－ 2≤a≤ 2，t＝a 时， 1 1 f(t)min＝ a2－ ； 2 2
数学（理） 第9页
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1．点集到有序实数对集合上的映射，可将平面几何 问题转化为解析几何问题，即解析法． 2． 直角坐标平面与复数集合之间的映射 Φ： y)↔x (x， ＋yi，将直角坐标平面变成复平面，实现几何问题与复数 问题的互化，即复数法． 3．通过变量替换、增量代换、等价代换等方法，将 问题化归成为变量个数少、次数低、结构简单的问题．
486 216 . 点的坐标为 ， 97 97
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数学（理）
486 9 因为 > ，所以在线段 BM 上不存在点 P 使得 PC 97 2 ⊥BM.
数学（理） 第15页
新课标· 高考二轮总复习
【探究 1】 如图所示， 已知正六边形 P1P2P3P4P5P6， 下列向量的数量积中最大的是( )
数学（理） 第28页
新课标· 高考二轮总复习
点评： 本题属于三角恒等变形求值问题， 将解题目标 向 tanα 转化，减少了变量个数，降低了次数，半角化为 了单角，即使目标简单化．
数学（理） 第29页
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类型三
换元转化
【例 3】 已知 a∈R，求函数 y＝(a－sinx)(a－cosx) 的最小值． [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋
数学（理） 第25页
Hale Waihona Puke Baidu
新课标· 高考二轮总复习
3π 10 【探究 2】 已知 <α<π，tanα＋cotα＝－ . 4 3 (1)求 tanα 的值； α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 (2)求 的值． π 2sin α－ 2 分析： (1)将已知的 tanα 与 cotα 表示的等式转化为用 tanα 表示的式子；(2)中转化为用 tanα 表示的式子． 求出tanα → 转化为用tanα表示的式子 → 得2式的值
9 A(3,4)，C(6,0)，M ，2.则 2
4 BM 所在直线的方程为 y＝ x. 9
4 又 PC⊥BM，不妨设 PC 所在直线的斜率为 k，则 · k＝－ 9 9 9 1， k＝－ .所以 PC 所在直线的方程为 y＝－ (x－6)． 即 两 4 4 方程联立即可求出 P
第14页
第三部分
高考专题讲解
数学（理） 第1页
新课标· 高考二轮总复习
第二十七讲 转化与化归思想
数学（理） 第2页
新课标· 高考二轮总复习
考情分析
转化与化归思想的核心是把陌生的问题转化为熟悉 的问题．事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解 的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，因 此每一个数学问题的解答都离不开转化与化归，它既是
数学（理） 第32页
新课标· 高考二轮总复习
(2)当 a> 2时，f(t)在[－ 2， 2]上单调递减， 1 f(t)min＝f( 2)＝a － 2a＋ ； 2
2
(3)当 a<－ 2时，f(x)在[－ 2， 2]上单调递增， 1 f(t)min＝f(－ 2)＝a ＋ 2a＋ . 2
2α
数学（理）
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10 解：(1)由 tanα＋cotα＝－ ，得 3tan2α＋10tanα＋3 3 ＝0， 1 3π 即 tanα＝－3 或 tanα＝－ ，又 <α<π， 3 4 1 所以 tanα＝－ 为所求． 3 α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 (2) π 2sin α－ 2
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2 π 1 π (2)∵f(x)＝－ sin4x＋ ＋ ，令 sin4x0＋ ＝0， 2 4 2 4
π kπ π 则 4x0＋ ＝kπ(k∈Z)，∴x0＝ － (k∈Z)， 4 4 16 π kπ π π ∵x0∈[0， ]，∴0≤ － ≤ (k∈Z)，得 k＝1 或 k 2 4 16 2 3π 7π ＝2，∴x0＝ 或 x0＝ ， 16 16 故点 A
3π 1 7π 1 的坐标为 ， 或 ， . 16 2 16 2
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[点评] 本题考查三角函数的周期性、对称性、值域 等， 解题的关键是将函数解析式通过三角变换化为只含有 一个三角函数的形式，即将目标简单化．一般地，目标简 单化指问题结构的简单化和处理方法的简单化， 本题中将 复杂的三角函数式化为一个角的一个三角函数就是如此， 这样可求值、求周期、求单调性、求最值等．
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解析： 如图所示， 建立坐标系， 设正六边形边长为 2， 则 P1(－1，－ 3)，P2(1，－ 3)，P3(2,0)，P4(1， 3)， P5(－1， 3)，P6(－2,0)．
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→ P→ 2＝(2,0)，P1P3＝(3， 3)，P→ 4＝(2,2 3)，P→ 5＝ P 1 1P 1P (0,2 3)，P→ 6＝(－1, 1P 3)．
π 2sinx＋ ，t∈[－ 4
2， 2]，
1 1 2 2 而 sinxcosx＝ [(sinx＋cosx) －1]＝ (t －1)， 2 2 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx 1 ＝a2－at＋ (t2－1) 2 12 2 1 ＝ t －at＋a － 2 2
高频考点
类型一 【例 1】 解析法转化 在三角形 ABC 中，已知 AB＝AC ＝5，
BC＝6.点 M 是 AC 的中点， 试问在线段 BM 上是否存在 点 P 使得 PC⊥BM?
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[解]
假设在线段 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM，
以 B 为原点，BC 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系．由于 AB＝AC＝5，BC＝6，所以 B(0,0)，
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[解]
1 1 (1)∵f(x)＝－ (sin2ax＋cos2ax)＋ ＝ 2 2
2 π 1 － sin2ax＋ ＋ ， 2 4 2 1＋ 2 1－ 2 ∴f(x)的最大值和最小值分别为 和 ， 2 2 1＋ 2 1－ 2 ∴m＝ 或 m＝ ， 2 2 π 又依题意函数 f(x)的周期为 ，∴2a＝4，a＝2. 2
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→ PP A.P1P2·→ 3 1 B.P→ 2·→ 4 1P P1P → PP C.P1P2·→ 5 1 → PP D.P1P2·→ 6 1
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分析： 建立适当的坐标系， 用坐标分别表示各选项中 向量的数量积，化简求值即可． 建立直角 用坐标表 计算向量 → → → 得答案 坐标系 示向量 的数量积
第8页
数学（理）
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化归有一定的原则：①目标简单化原则，即复杂的问题 向简单的问题转化；②和谐统一性原则，即化归应朝着使待 解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于 统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；③具 体化原则，即化归方向应由抽象到具体；④低层次原则，即 将高维空间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归 就有一定的策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循， 有法可依”，通常可以从以下几个方面去考虑：
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类型二
目标简单化转化 (2011· 南昌模拟 )若函数 f(x)＝ sin2ax－
【例 2】
sinaxcosax(a>0)的图象与直线 y＝m 相切，并且切点的横 π 坐标依次成公差为 的等差数列． 2 (1)求 a 和 m 的值； (2)若点 A(x0，y0)是函数 y＝f(x)的图象的对称中心， π 且 x0∈[0， ]，求点 A 的坐标． 2
数学（理） 第4页
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要点串讲
化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在 解决数学问题时，常常将待解决的数学问题 A，通过某 种转化手段，归结为另一问题 B，而问题 B 是相对较容 易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题 B 的解决可以得到原问题 A 的解答．用框图可直观地表示 为：
数学（理） 第5页
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数学（理） 第6页
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其中问题 B 称为化归目标或方向，转化的手段称为 化归策略． 化归思想有着坚实的客观基础， 它着眼于揭示 联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题．
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在高中数学的学习中，化归更是我们研究问题最基 本、 最重要的思想方法， 它无处不在， 比如： 解不等式时， 将分式不等式转化为整式不等式， 无理不等式转化为有理 不等式， 超越不等式转化为代数不等式； 处理立体几何问 题时， 将空间问题化归到一个平面上解决； 在解析几何中， 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题； 复数问题化 归为实数问题等等．新课程标准强调数学思想方法的教 学，高考更是明确指出加强对函数与方程、数形结合、分 类讨论、化归等思想方法的考查．
一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法
的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点．预测 2012年高考对转化与化归思想的考查重点为：(1)常量
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考情分析
与变量的转化：如分离变量，求范围等；(2)数与形的 互相转化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等； (3)数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析 几何等的转化；(4)出现更多的实际问题向数学模型的 转化．
sinxcosx.而 sinx＋cosx 与 sinxcosx 有联系，可设 t＝sinx ＋cosx， 则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最 值问题． 换元t＝sinx＋cosx → 关于t的二次函数 → 按a分类求出最值
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[解] 则 t＝
设 t＝sinx＋cosx，
2α
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1－cosα 1＋cosα 5· ＋4sinα＋11· －8 2 2 ＝ － 2cosα 5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16 ＝ －2 2cosα 8sinα＋6cosα ＝ －2 2cosα 8tanα＋6 5 2 ＝ ＝－ . 6 －2 2
→ PP ∴P1P2·→ 3＝6，P→ 2·→ 4＝4，P→ 2·→ 5＝0， 1 1P P1P 1P P1P P→ 2·→ 6＝－2. 1P P1P → PP ∴P1P2·→ 3＝6 最大，故选 A. 1
答案：A
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点评：(1)本题采用的解析法是将平面几何问题转化 为解析几何问题的方法．其一般步骤是：①建立坐标系； ②设点的坐标与曲线方程； ③运算与推理； ④返回几何结 论． (2)解决此类问题常见的思路有两种：一是由数量积 公式求解；二是转化为坐标运算．
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4．在解决一个一般性问题有困难时，先解决它的特 殊情况， 然后再将结果推广到一般问题， 获得一般问题的 解答，即特殊化策略． 5．为了解决问题 A， 先解决比 A 更一般的问题 A′， 然后再将其特殊化获得解答，即一般化策略．
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6．数学符号表达一定的语义，采用语义转化策略，将 问题适当变形并作不同于其表面的非常规性的语义解释， 将 问题化归为另一个问题， 比如“数”的语义与“形”的语义 间的相互转化． 7．当问题的目标较复杂时，通过降维、降幂、减少变 量个数等手段，将目标简化，有利于问题的解决.
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1 2 1 2 1 ＝ (t－a) ＋ a － . 2 2 2 1 2 1 2 1 原问题转化为求二次函数 f(t)＝ (t－a) ＋ a － 在 t 2 2 2 ∈[－ 2， 2]上的最值问题． (1)当－ 2≤a≤ 2，t＝a 时， 1 1 f(t)min＝ a2－ ； 2 2
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1．点集到有序实数对集合上的映射，可将平面几何 问题转化为解析几何问题，即解析法． 2． 直角坐标平面与复数集合之间的映射 Φ： y)↔x (x， ＋yi，将直角坐标平面变成复平面，实现几何问题与复数 问题的互化，即复数法． 3．通过变量替换、增量代换、等价代换等方法，将 问题化归成为变量个数少、次数低、结构简单的问题．
486 216 . 点的坐标为 ， 97 97
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486 9 因为 > ，所以在线段 BM 上不存在点 P 使得 PC 97 2 ⊥BM.
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【探究 1】 如图所示， 已知正六边形 P1P2P3P4P5P6， 下列向量的数量积中最大的是( )
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点评： 本题属于三角恒等变形求值问题， 将解题目标 向 tanα 转化，减少了变量个数，降低了次数，半角化为 了单角，即使目标简单化．
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类型三
换元转化
【例 3】 已知 a∈R，求函数 y＝(a－sinx)(a－cosx) 的最小值． [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋
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3π 10 【探究 2】 已知 <α<π，tanα＋cotα＝－ . 4 3 (1)求 tanα 的值； α α 2α 5sin ＋8sin cos ＋11cos －8 2 2 2 2 (2)求 的值． π 2sin α－ 2 分析： (1)将已知的 tanα 与 cotα 表示的等式转化为用 tanα 表示的式子；(2)中转化为用 tanα 表示的式子． 求出tanα → 转化为用tanα表示的式子 → 得2式的值
9 A(3,4)，C(6,0)，M ，2.则 2
4 BM 所在直线的方程为 y＝ x. 9
4 又 PC⊥BM，不妨设 PC 所在直线的斜率为 k，则 · k＝－ 9 9 9 1， k＝－ .所以 PC 所在直线的方程为 y＝－ (x－6)． 即 两 4 4 方程联立即可求出 P
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第三部分
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第二十七讲 转化与化归思想
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考情分析
转化与化归思想的核心是把陌生的问题转化为熟悉 的问题．事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解 的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，因 此每一个数学问题的解答都离不开转化与化归，它既是
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(2)当 a> 2时，f(t)在[－ 2， 2]上单调递减， 1 f(t)min＝f( 2)＝a － 2a＋ ； 2
2
(3)当 a<－ 2时，f(x)在[－ 2， 2]上单调递增， 1 f(t)min＝f(－ 2)＝a ＋ 2a＋ . 2