结构力学之11力矩分配法讲解

A. BA 0.5, BC 0.5, BD BE 0; B. BA BC 4 /15, BD 3 /15, BE 0; C. BA BC 4 /13, BD 1, BE 0; D. BA 0.5, BC 0.5, BD 1, BE 0
M
ii
ii
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7 ← 4M/7 3M/7 →
0
杆端弯矩 2M/7
4M/7 3M/7
0
M图
2M/7
4M/7 3M/7
例2
q
il
i
l
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 分配、传递 2ql2/56
← 4ql2/56
-ql2/8 3ql2/56
杆端弯矩 2ql2/56 ← 4ql2/56 -4ql2/56
(D )
A
B
E
i =1
i =2
i =1 i =1
C
D
AB：BC：BD：BE=4：4：3：0
8-2 单结点的力矩分配——基本运算
A MAB
B MBA MBC
固端弯矩带本身符号 C
MB
=
MB
MBAP
MBCP
A MABP
MBAP B MBCP
+
C
-MB
MB= MBAP+MBCP -MB
A M AB
M B A B M B C
第八章
8-1 力矩分配法的基本概念
2
1M
4
i12
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M 21 2i121 M31 i131 M 41 0
根据平衡条件
M 0
1
M12 M13 M14 M
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 0.3 -0.1 -0.2
→ -1.2
→ -0.1
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.6
M图(kNm)
200.9
237.3
87.6
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
例2
10kN
100kNm
8kN/m
EI
EI
0.75EI
10m
10m
10m
10m
分配系数 固端弯矩
分配 与
传递
杆端弯矩
1/2 1/2 4/7 3/7
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
结点 杆端
μ
m
A
E
B
C (-20) F
力矩分配法小结：
1）该方法仅适用于无侧移刚架或连续梁。 2）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 3）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 4）结点不平衡力矩要变号分配。 5）结点不平衡力矩的计算：
固端弯矩之和 （第一轮第一结点）
结点不平 衡力矩
固端弯矩之和 （第一轮第二、三……结点） 加传递弯矩
0.4
M
AB

1 3016 8

60kNm
M DA
100 2 32 52
72kNm
AB AC AD
B
0.3 0.4 0.3
D
A
60
-48
-3.6 -4.8 -3.6
→
56.4 -4.8 51.6
→
72 -1.8 70.2
C↓ -2.4
56.4
70.2
51.6
4.8
2.4
M图(kNm)
0.03 0.06 0.03 0.02
－0.01 －0.01 －0.01
M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
力偶(顺时针为正)
8-4 对称结构的计算
例1．用力矩分配法作图示对称结构的M图。已知：P = 10 kN , q = 1 kN/m , 横梁抗弯刚度为2EI ，柱抗弯刚度为 EI 。
q
Pq
6m
6m 3m 3m 6m
解：半边结构为
P 2 q
A
BD
C
注 ： BD 的 线刚度增 大一倍
分配系数 固端弯矩 分配与传递 杆端弯矩
BA 0.428 4.5 1.28 1.73
端 AC 的 分 配 系 数 AC为
：
B 2EI
A
分析：
5EI C
EI
3m
D
iAB

2EI 4
iAD

EI 3
5EI
4m
iAC 5 EI
AC

3iAC
iAB 4iAD 3iAC
18 29
注意： l 为杆的实际长度。
例．图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 分 配 系 数为：
分配 系数
0.5 0.5 0.5 0.5
固端 弯矩 -125 125 -125 125
分配
-31.2 -62.5 -62.5 -31.2
7.8 15.6 15.6 7.8
与
-2 -3.9 -3.9 -2
传递 0.5 1
1 0.5
-0.3 -0.2
杆端 弯矩 -116.7 141.6 -141.6 66.6 -66.6 -33.2
Sik 0
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
Sik Sik
i
ik 1
i
Mik ik M
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik

M ki M ik

1

2
0
远端为固定端 远端为铰支端
1 远端为滑动

例．用 力 矩 分 配 法 计 算 图 示 结 构 时 ， 杆
A
B
C
5.14

l
l
分配系数 固端弯矩 分配与传递
杆端弯矩
BA BC
0.43 0.57

3i l
B
6i l
B

1.29i l
B

1.71i l
B

4.29i l
B
4.29i l
B
CB
6i l
B

0.86i l
B
5.14i l
B
4.29 M图 (

EI l2
)B
练习
i i i
i
例4 取EI=5
2kN/m A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4i=E4I B
20 20kN20kN
4i=E4I C
4m
MB=31.25－20.83=10.42 MC=20.83－20－2.2=－1.37
2i=E2I.5 i=22E.5I
E
5m
F
5m
1m
结点 杆端
μ
m
A
E
B
C (－20) F
AB EB BE BA BC CB CF FC
4m
100kN
D
A
i=1.5
i=2
C
3m
2m
AB

23 2 3 2 4 1.5 4

0.3
AD

1.5 4 2 3 2 4 1.5 4

0.3
M AD
100 22 52

48kNm
AC

24 2 3 2 4 1.5 4
P
q
P
解：半边结构简图
8 kN.m
4m
C
BD
1m 3m
6m
3m 1m
BC BA BD
DB
分配系数
0.3 0.4 0.3
固端弯矩
-4 0
-6
-3
分配与传递
34
3
-3
杆端弯矩
-1 4
-3
-6
2
A
8
3
41
8 3
14 6
2
2
M图 （ kN.m)
例3．用力矩分配法计算图示对称结构，并作M图。EI =常 数。 计 算 二 轮 ）
1

4i12
M i13
3i14
M12

4i12
4i12 i13 3i14
M
M13

4i12
i13 i13
3i14
M
M14

4i12
3i14 i13 3i14
M
M 21

1 2
M12
M 31 M13
M 41 0 M14
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
BC 0.286 0 0.86 0.86
BD 0.286 -7.5 0.86 -6.64
DB
-7.5 -0.86 -8.36
0.43
6.64 6.64
5.76
5.76
0.86 1.60
0.86
8.36
1.60
0.43
M 图 （ kN.m)
例2．用力矩分配法作图示对称结构的M图。已知：P = 8 kN , q=2kN/m, 边梁抗弯刚度为3EI，中间横梁抗弯刚度为 9EI， 立柱抗弯刚度为4EI。
k
i
Sik=4iik
k
i
Sik=4iik
k Sik=3iik
k
Sik=0
k
Sik=4iik
i
k Sik=4iik
k
K
Sik=Kl2
l
练习 练习
4m
4m
100kNm i
i i
i
50kNm
12kN/m
4m
i
i
2Δ
l
l
4m Δ
8-3 多结点的力矩分配——渐进运算
B
C C
A MAB
B
MBA MBC
MCB
最后杆端弯矩：
C 0
MBA = MBAP+ M B A
MBC = MBCP+ M B C
M B A
M B C
MB A BA (MB ) M B C BC (M B )
MAB= MABP+ M AB
各跨分别叠加简支梁的弯矩，即得最后弯矩图。
注意：结点受集中力偶作用时的符号。 例1
10
-100
-200/3 200/3 -100
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4
-3.6 - 3.6 → -1.8 -2.7 ← -5.4
1.3 ← 2.6 1.9 → 1
-0.7 - 0.6 → -0.3 -0.5 ← -1
0.5 0.3
22.9 45.7 54.3 40.3 40.3 100 -100
-100+50 100
32 18 21 -13.4 -7.6 1.7 -1.1 -0.6
45.5 54.5
46 54
40.2 -40.2
40
100
100
例3
5m 100kN
5m
141.6
250 116.7
100kN
B
CEIBiblioteka 常数AD5m 5m
250 66.6
M图 (kNm)
33.2
结点 A
B
C
D
杆端 AB BA BC CB CD DC
固端弯矩 -36
36 -18
分配、传递 -3.6
← -7.2 -10.8 → 0
最后M -39.6
28.8 -28.8
0
39.6
28.8
M图
(kNm)
例4
i
l
分配系数
固端弯矩 分配、传递 Pl/2
杆端弯矩 Pl/2
M图 Pl/2
P 2i l
10
-Pl Pl 0
Pl -Pl
0
Pl
例5
4m
30kN/m B i=2
MCD
D
MB
MC
mBA
mBC
放松，平衡了
-MB
mCB MC’
固定
固定 放松，平衡了
-MC’
放松，平衡了
固定
例1
80kN
i=2 3m 3m
30kN/m
i=1 10m
160kN
i=1 3m 5m
分配系数 固端弯矩
分配 与
传递
杆端弯矩
0.6 0.4 90 -250
0.5 0.5 250 -187.5 112.5
Mik Sik 1
Sik 4iik
4iik 远端为固定端
Sik

3iik iik
远端为铰支端 远端为滑动
0 远端为自由端
Sik 3iik
1
Sik iik
1
Sik与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支 承有关，而与近端支承无关。
1
Sik 0
AB EB BE BA BC CB CF FC
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
45.7
40.3
100
100
22.9
54.3
C
M/2
A
分配系数 固端弯矩
分配 与
传递
杆端弯矩 23
23
M
外伸梁另一种解法：
D
100kNm
8kN/m 100kNm
EI
B
EI C
10m
10m
0.75EI
D
10m
1/2 1/2
-100
16 42 42
-6.7 3.3 3.4
-0.5 0.2 0.3
16/25 9/25
4ql2/56
M图 4ql2/56
→0 →0
步骤： ①求分配系数、固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和反号，按分配系数
分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，