高二新授课153定积分的概念

1.5.3定积分的概念
一、【教学目标】
重点: 定积分的概念、定积分的几何意义及简单的应用． 难点：对定积分的概念的理解、求和取极限．
知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景. 用定积分的定义来求解简单函数定积分的求解步骤．
能力点：能用定积分的定义求简单的定积分. 教育点：使学生进一步提高对定积分的理解和应用． 自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系. 考试点：了解定积分的几何意义.
易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系. 拓展点：函数定积分的性质及其应用．
二、【引入新课】
从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.
x 0n 111
lim ()lim ()n
n
i i i i f x f n ξξ→→∞==∆=⋅∑∑ S=：曲边梯形的面积；
x 0
n 1
1
1
lim ()lim ()n
n
i i i i v t v n
ξξ→→∞
==∆=⋅
∑∑ S=变速运动的路程：． 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限.
【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，起到承上启下的作用.
三、【探究新知】
1．定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,
,i i n ξ=，作和式：1
1
()()n n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数
()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b
a
S f x dx =
⎰
，即()
1
()lim
n
b
i
a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限.
说明：⑴定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数.
⑵用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；
③求和：1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1
()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰.
⑶曲边图形面积：()b
a
S f x dx =⎰；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰
；变力做功()b
a W F r dr =⎰.
2．定积分的几何意义
如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a
f x dx ⎰
表示由直线,x a x b
==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
()b
a
A f x dx =⎰ =-⎰()b
a
A f x dx 21[()()]b a
A f x f x dx =-⎰
2121=-=-⎰⎰⎰()()[()()]b
b
a
a
b
a
A f x dx f x dx f x f x dx
如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()b
a
f x dx -⎰
表示由直线,x a x b
==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
说明：一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b
==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．
3．定积分的性质
性质1 ⎰⎰
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰ （定积分的线性性质）
性质3 ()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中
推广：
如图
（1）1212[()()()]()()()b
b b
b
m m a a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±
±=±±
±⎰⎰⎰⎰
（2）
()b
a
f x dx ⎰
=1()c a
f x dx ⎰+2
1
()c c f x dx ⎰+…+()k
b
c f x dx ⎰
【设计意图】通过学生自主探究，进一步理解和掌握定积分概念的内涵和外延, 培养学生归纳、概括、拓展、提出问题和解决问题的能力，使学生对知识的掌握上升一个更高的层次．
四、【理解新知】
定积分的几何意义是：
a x x f y
b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即
轴下方轴上方－x x b
a
S S
dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本
定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
五、【运用新知】
例1．（课本例题）利用定积分定义，计算1
30
x dx ⎰
的值
解：令3
()f x x =，如图 ⑴．分割
在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
每个小区间的长度为11i i x n n n
-∆=
-= ⑵．近似代替、作和
取(1,2,
,)i i
i n n
ζ==，则3
2
3
3
4
1
111
11n
n
n
n i i i i i x dx S f x i
n n n
n ===⎛⎫⎛⎫≈=∆== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰
22
24
1111(1)(1)44n n n n
=
+=+ ⑶．取极限
1
3
20111lim
lim (1)44
n n n x dx S n →∞→∞==+=⎰
【设计意图】由学生通过具体的问题进行自学、探究，分组讨论、交流，进一步让学生感受这种以直代曲、
化曲为直的极限法求定积分.
例2．计算下列定积分
（1）
2
1
(1)x dx +⎰
（2）0
⎰
（3）(枣庄市调研题)0
⎰
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积
即：
2
1
1
2 0
12 0
5
(1)(1)
2
(2)1
4
3
(3)4
122
x dx
x dx
x dx
π
π
+=
-=
-=+
⎰
⎰
⎰
思考：(1)若改为计算定积分
2
2
(1)
x dx
-
+
⎰呢？
改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]
-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
【设计意图】让学生理解定积分的几何意义,会用数形结合求定积分.
六、【课堂小结】
1.利用定积分的定义求简单函数的定积分；
2.利用定积分的几何意义求曲边图形面积(数形结合)；
3.定积分性质的总结和简单应用.
学习本节的目的就是增强学生对定积分概念相关知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
[设计意图] 增强学生对定积分概念相关知识的理解，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
七、【布置作业】
必做题：Ｐ５０Ａ第1、3、4、5题．
选做题：
计算下列定积分
1．
5
(24)
x dx
-
⎰；解：50(24)945
x dx
-=-=
⎰.
2．
1
1
x dx -⎰
. 解：1111
1111122
x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰.
【设计意图】引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.在牢固抓住基础的前提下，让学有余
力的同学得到更长远的发展.
八、【教后反思】
1. 本节课内容主要是定积分的概念、几何意义、性质，让学生逐步理解和接受i ξ在区间[]1,i i x x -选取的任意性。

2．在教学中，鼓励学生独立思考探究，发现问题，寻求解决问题的方案．渗透了数形结合的数学思想．
3.不足之处是用定义法求定积分时，给学生留得时间不充分。

九、【板书设计】
1.5.3定积分的概念
复习回顾 探究新知
1、定积分的定义
2、定积分的几何意义
3、定积分的性质 应用新知 例1 练习
例2 （1） （2） （3） 练习 课堂小结
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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