光学信息处理 第九章 光学小波变换

中 心 频 率 1
2
3
Gabor变换基元函数
a= 1
0.5
0.33
Morlet小波变换基元函数
9.3 小波变换的定义和性质 定义
母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为
式中b称为小波变换的位移因子，a>0称为伸缩因子。 当a增大时小波变换的宽度加大，而当a减小时，小波 的宽度变小。即表明基本小波是母函数经平移和缩放 的结果，基本的小波又简称小波。
的傅里叶变换
Gabor变换空间-频率窗
Байду номын сангаас
小波变换空间-频率窗
Gabor变换频域中的表达式
可见Gabor变换在频域和空域中的表达式具有相似 的形式
Gabor变换的特点 （1）给出了一个中心位于b,宽度为
的空间窗，
从而实现空域处理的局部化；与之响应，它又给出
了一个中心为 ,宽度为
的频率窗，从而
实现频率处理的局部化。用Gabor变换来处理信号时，
将g(x)在x=0的邻域进行泰勒展开代入上式，则有
其中Mn是小波函数h的n阶矩 M0=H(0)=0, 设Mp=0 (p=1,2,…n), 则在0的邻域内
随着a->0, W->0的速率为
即对于一个足够平滑的函数g(x)，Wa,0(g)以an+1/2的速率随 着a趋近于零，称它为n阶小波函数。 相容性条件保证Wa,0随a趋近于零的速度的下限为a1/2。
该种定义中频率变量和坐标变量(x0)同时出现在变换 函数里面——短时傅里叶变换和常规傅里叶变换的重
要区别；窗口宽度隐含在
中，正是x0和窗
口宽度使其具有局部化处理的能力，通过改变x0,窗口
发生移动，处理空间发生改变。
频域：
频率窗中心
宽度
当空域宽度和频率宽度同时有限时，称函数在空域和 频域同时局部化。
其次，许多情况下，在∆t或者∆x以外的信息是未知的，可 能是零，也可能是背景噪音； 此外，如果不加选择采用（-∞， ∞）内全部信号进行傅 里叶处理，还可能产生较大误差 甚至错误。
在一些课题中，我们往往不满足了解信号在全部区间内的 综合分析，而希望了解某一区间或某些区间信号对应的频 谱。如地震勘探等。近年来，发展的小波分析恰恰克服了 傅里叶分析的以上缺点，适用于处理局部或暂态信号。
信号函数g(x)的小波变换定义为小波ha,b(x)和g(x)的内积
h(x)的选择，h(x)必须在x趋于无穷时衰减到零。 实际使用的小波变换母函数h(x)，当x趋于无穷时迅速 衰减，使其不显著为0的分量只存在于一个很小的区间。
小波变换在频域中的表达式
由小波变换定义和Parseval定理得到。 该式子表明 信号g(x)的小波变换可以通过4f系统实现。首先用 第一个透镜形成输入信号g的傅里叶谱G，然后在 频谱面上对G进行滤波，滤波器的表达式为小波函 数h经缩放后的傅里叶谱的共轭，然后在经过第二 个透镜得到傅里叶逆变换，得到g的小波变换。
小波变换的空间-频率窗和处理过程的局部化
基元函数ha,b是由中心位于xc的母函数经过平移(b)和缩放 (a)后形成的。 空间窗宽度
处理过程限制在空-频窗内进行，窗的面积为
（2）
可以看出变换是参数a、b和变量 的函数，积分是
一个包络,载波
的频率v与参数 无关，
不会随 的变化而变化，正是所有短时傅里叶变换
共同缺点。
Morlet 小波变换 为了克服Gabor变换中窗口尺寸不能改变的缺点，
我们可以对它略加改进，则Gabor基元函数可以写为
9.2 从短时傅里叶变换到小波变换
短时傅里叶变换
g(x) , 局部化：(1)被分析的区间有一定宽度∆x,仅 对∆x及其周围信息进行处理；(2)被分析的区间有 一个中心坐标xc，当中心坐标改变时，就可以提 取不同的信息。 实现局部化，傅里叶变换加窗函数
局部化： 窗函数中心
宽度
短时傅里叶变换（short-time Fourier transform, 简称 STFT）——由前述带窗口函数的公式定义（窗函数 带有局部处理功能）
9.1引言
傅里叶变换已称为信息处理中一个极为重要的工具，在 科学和技术领域中获得广泛应用。信号g(x)的傅里叶变换 为
逆变换
积分区域（-∞， ∞）
如果g(x)是一个时域或空域中分布在（-∞， ∞）中的稳 恒过程或稳定分布，则傅里叶分析给出近乎完美的结果。 然而，在自然界和科学技术中还有大量信号，它们具有 局部的或定域的特性。例如语言信号、声纳新号、各种 电脉冲等，这些信号只出现在一个短暂的时间间隔内， 此后很快衰减到零，称快速过程或暂态过程。
逆变换和相容性条件
逆变换
相容性条件
正则性
（1）从理论上讲，任何满足相容性条件的函数都可以作为 小波变换的母函数，然而在实际应用中，为了使变换具有 局部化的功能，h和H在空域和频域都是迅速衰减，它们 显著不为零的分量分别分布于空域和时域原点附近。
（2）变换的空间窗和频率窗的宽度随着参数a的增大分别 增大和缩小，所以要求Wa,b(g)作为a的函数，应当充分光滑 的，当a->0, W->0,即Wa,b在a=0附近是正则的。设b=0，则有
变换母函数,引入参数a，b，生成子函数
定义信号g(x)的Morlet小波变换
同Gabor变换的差别：小波变换的中心频率 随着
参数a的增大而减小；小波变换的空间窗宽度
频率窗宽度
；当中心频率增大时，空间
窗变小，而频率窗变大，可以处理更多高频信息；
当中心频率变小时，空间窗变大，而频率窗变小，
可以容纳足够多空间周期，以保证处理精度。
“小波”信号（如地震波或声纳）
许多光学信号具有同样的特征，例如远处空中的目标、 显微镜下的小物体、被鉴别的指纹等，显著为零的区 域只分布在有限的区域内，上述信号为局部信号或暂 态信号。对于局部信号或暂态信号，傅里叶分析就不 完全适用。首先，我们仅对∆t时间信号感兴趣，没有 必要在过去、现在及未来的无限长时间范围内对信号 进行分析，类似的，在处理定域于∆x内的空间图像时， 也没必要对全平面内的信号进行全面的分析。
测不准关系 短时傅里叶变换特征在于处理过程限制在空间-频率窗 进行，且窗的位置可变，但宽度不变，在处理一些奇 异信号时显得无力；而小波变换具备更强功能。
Gabor变换 1946年，Gabor提出了下面变换
正是高斯型函数，所以Gabor变换就是高斯窗短时 傅里叶变换。窗函数中心坐标
xc=0，窗的宽度