《运筹学》胡运权清华版-5-01整数规划的数学模型及解的特点

分析：
A3与A4不可兼
＝>y1+y2=1
＝>y2=1－y1
因此：二选一时候也常常只引入一个0－1
变量y即可
a
23
综上：A3与A4中选一处建厂可表示成 x31＋x32 ＋ x33 ＋ x34＝200y x41＋x42 ＋ x43 ＋ x44＝200（1－y）
这里y＝1表示选A3，y＝0表示选A4
y
1
用0－1变量表示选择： 1——选；0——不选
a
8
解：设决策变量
1 对项目j投资 x j 0 对项目j不投资 j 1,2,...n
a
9
约束： 1、若选项目1，就必须选项目2；反之则不一定；
x1 1x2 1 x21 时 ， x10 或 1均 可
满足此约束的项目1、2全部选择组合
x1 x2
11
x1 x2
01
00
a
10
约束： 2、项目3和4中至少选一个；
项目3、4的全部选择组合
x3 x4 00 01 10 11
x3 x4 1
a
11
约束： 3、项目5、6、7中恰好选两个；
x5x6x7 2
a
12
约束： 4、总金额限制——总金额为B
a x 项目 j 的实际投资额 =
aj
0
xj 1
jx j j 0
0
若建厂A3 若建厂A4
a
24
目标：min （运费＋生产费）
运费
cij
A1 A2 A3 A4 需求
B1
B2
2x11
8x21 7x31
9x12 3x22 6x32
4x41 5x42
350 400
B3
3x13 5x23 1x33 2x43 300
B4 生产 能力
4x14 400 7x24 600 2x34 200 5x44 200 150
第一节 整 数 规 划的数学模 型及解的特点
整数规划
Integer Programming,简称IP
• 整数规划数学模型的一般形式 • 整数规划的例子 • 解的特点
a
1
一、 整数规划数学模型的一般形式
我们只研究整数线性规划 (integer linear programming)。
一般形式：
n
m a x (m in ) z c j x j
a
25
1200 y A3生产费＝ 1 2 0 0 0
y 1 y0
1500(1y) 0
A4生产费＝
1500
y 1 y0
a
26
44
m a x z c ij x ij 1 2 0 0 y 1 5 0 0 (1 y )
i1 j1
模型
x11
x 21
x 31
x 41
350
x12 x 22 x32 x 42 4 0 0
（1） （2）
a
21
难点——“不可兼或”
分析：
若若在不A在4xA建414工＋建厂x工42，厂＋则，x则43 ＋ x44＝200 （3）与x4（1＋4x）42可＋统x一43 表＋示x4成4＝0
其中y2是x410＋－x14变2 ＋量x43 ＋ x44＝200y2
（3） （4）
a
22
难点——“不可兼或”
j 1
n
ai jx j
(, )bi
i 1, 2 ...m
s
.t
.
j1
xj
0
j 1, 2,...n
x
中
j
部
分
或
者
全
部
取
整
数
a
2
整数线性规划分类
•纯整数线性规划（PIP） •混合整数线性规划（MIP） •0-1（二进制）整数线性规划（BIP）
a
3
二、 整数规划的例子
例1、某服务部门各时段（每2h为一时段）需 要的人员数如下：
x13
x 23
x 33
x 43
300
x14 x 24 x34 x 44 1 5 0
s
.t
.
x11 x 21
x12 x 22
x 1 3 M IxP1 4问题4 0 0
x 23 x 24 6 0 0
x 31 x 41
x32 x 42
x33 x 43
x 34 x 44
x
j
0或
1( j
1, 2 ,..., n )
a
15
总结： 1、n中至n中至少选k个
n
xj k
j1
3、n中恰好选k个
n
xj k
j1
4、选 i ＝> 选j
xi x j
a
16
现B下1、希表例B望所32、、在 示（B：A33选、或址B者4问。A题4生处）产再工量建厂、一A需家1和求工A量厂2生及。产单需某位求种运地物价有资c四ij如，个：
a
=
∑
B4
x14= x24=
x34 x44 150
生产 能力 400
600
200
200
供需平衡
20
难点——“不可兼或”
分析：
若若在不A在3xA建313工＋建厂x工32，厂＋则，x则33 ＋ x34＝200 x31＋x32 ＋ x33 ＋ x34＝0
（1）与（2）可统一表示成
x31＋x32 ＋ x33 ＋ x34＝200y1 其中y1是0－1变量
时段 1 2 3 4 5 6 7 8 需求数 10 8 9 11 13 8 5 3 按规定，服务员连续工作8h（4时段）为一班。现要 求安排服务员的工作时间，使服务员总数最少。
a
4
解：设在第 j 时段开始时上班的服务员人数为xj。
上班
下班
x1 第 1 时段初 x2 第 2 时段初
x3 第 3 时段初
x3 +x4 +x5 x4 +x5
≥8 ≥5
x5
≥3
a
6
目标： 约束：
m in z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
x1
10
x1 x2 8
x1
x2
x3
9
x1 x2 x3 x4 1 1
s
.t
.
x2
x3
x4
x5
13
x3
x4
x5
8
PIP问题
x4 x5
x5 3
5
x
j
0
一维背包问题
(1)、Xi为i 物品携带数量 ai为i 物品单位重量 ci为i 物品重要性估价 b为最大负重
a
30
m ax z x1 4 x2 整数规划问题的求解难度 2 x1 3 x 2 3 整数规划问题是NP（non-polysno.tm. ialx）1困难2的x. 2 8 • 为 最接什近么的不整先数求？解LP松弛问题，然 后x1将, 得x 2到的解0 且四舍取五入整到数
a
28
解：Xi为是否带第 i 种物品
maxZ=20X1 + 30X2 +10X3+18X4 +15X5
5X1+3X2 +X3 +2X4 +4X5 8 2X1+X2 +4X3 +3X4 +5X5 10
Xi为0, 1
a
29
推广——背包问题一般形式：
n
max Z
C iX i
i1
n
aiX i b i1 X i 0 ,整数
cij
B1
B2
B3
B4 生产
能力
A1
2
9
3
4 400
A2
8
3
5
7 600
A3
7
6
1
2 200
A4
4
5
2
5 200
需求 350 400 300 150
a
17
工厂A3或A4开工后，每年生产费估计 A3——1200万元/年， A4——1500万元/年。
问：应建在哪里，才能使总费用最低？
a
18
解：设 xij ——Ai 运往Bj的数量
x4 第 4 时段初
x5 第 5 时段初
第 4 时段末 第 5 时段末 第 6 时段末 第 7 时段末
第 8 时段末
a
5
各时段服务员数供求情况：
时段
1 2 3 4 5 6 7 8
服务员总数 需求数
x1
≥ 10
x1+x2
≥8
x1+x2 +x3 ≥ 9
x1+x2 +x3 +x4 ≥ 11
x2 +x3 +x4 +x5 ≥ 13
200 y 2 0 0 (1
y)
x i j
0, y
0或 a
1
27
练习：背包问题
背包可再装入8单位重量，10单位体积物品
物品 名称 重量 体积 价值
1
书
5
2 摄像机 3
3 枕头
1
4 休闲食品 2
5 衣服
4
2 20 1 30 4 10 3 18 5 15
假设如果装，每件只能装1件。如何装，使总
价值最大？
n
ajxj B
j1
a
13
c x 项目 j 的实际收益 =
c j xj 1
0 j x j j 0
n
目标 maxz cjxj j1
a
14
模型：
n
m a x z c j x j j1
n
a jx j
B
j1
x 1 BIxP2 问题或 x 30－ x14规 划1 问题
x
5
x6
x7
2
j 1, 2,...5且 均 取 整 数
a
7
例2、现有资金总额为B。可供投资的项目有 n 个， 项有目三个j 所附需加投条资件额：和预期收益分别为aj和cj。此外，
1、若选项目1，就必须选项目2；反之则不一定； 2、项目3和4中至少选一个； 3、项目5、6、7中恰好选两个。 应如何投资，使总预期收益最大？
4
LP最优解(18/7,19/7)
3
最优值 94/7
2
IP1最优解(4,2)
最优值 12
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
常常既非最优，甚至非可行。
a
31
• 为什么不采用枚举法？
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
可行解过多，单纯枚举计算量太大。
a
32
第一节 整 数 规 划的数学模 型及解的特点
a
33
cij
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
x13
x14
A2
x21
x22
x23
x24
A3
x31
x32
x33
x34
A4
x41
x42
x43
x44
a
19
供应平衡
cij
B1
B2
B3
∑
∑
∑
需
A1 ∑ x11
x12
x13
求 A2 ∑ x21
x22
x23
？ 平
衡
A3
x31
x32
x33
A4
x41
x42
x43
=
=
=
需求 350 400 300