模糊数学综述报告

模糊复分析的研究现状及进展

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摘 要：糊数概念的提出近30年历史, 在世界各国模糊学者的共同努力下，模糊数学理论及其应用研究取得了长足的进步。本文对模糊数和复模糊数概念的提出以及人们围绕其所开展的相关工作作了介绍，并对模糊复分析研究中存在的问题及目前的解决方案做了探讨。

关键词：模糊实数;模糊复数;复模糊数；模糊数系;研究进展

1、关于模糊数理论的研究现状

模糊数是模糊分析学中最基本最重要的概念之一。关于模糊数的概念,最早可追溯到1972年模糊学的创始人Zadeh 和ChangS.S.L 的文章“On fuzzy mapping and control”(IEEE Trans.Systems Man Cybernet,(1972)2(1);30-34)中,文中结合概率分布函数的性质,把实数域上的一族具有特殊性质的模糊集称为模糊数。之后,日本水本雅晴和田中英夫(Mizumoto M.Tanaka K. 1976年)、纳米亚斯(Nahmias,1978年)、Ｄ.杜布瓦(D.Dubois)和普哈德(H.Prade)(1978年、1982年、1987年)先后对模糊数系的各种性质深入分析,特别是考虑到建立模糊数系的微积分等,人们已越来越多地注意到将模糊数系与区间分析、集值映射理论联系起来,于是形成了模糊数系的较系统理论。下面仅介绍一下主要代表性思路。

首先是 C.V.尼格依塔(C.V .Negoita)、D.A 拉列斯库(D.A.Ralescu)1975年在他们的著作《Application of Fuzzy Set to system analysis 》中,将模糊数看成是一个区间数族[{][]}:0,1r u r ∈ (含参数的区间数),这样就有了下列模糊数的表示定理:

若u ∈1E ,则

1) 对r ∈[]0,1,[]r u 均为非空有界闭区间;

2) 若0≤1r ≤2r ≤1,则[]2r u ⊂[]2r u ;

3) 若正数n r 非降收敛于r ∈](0,1,则1n ∞= []n r u =[]

r u .

反之,若对任何r ∈[]0,1,均存在r A ⊂R ,并满足相应的1)-3),则有唯一的模糊数u ∈1E ,使[]r u =r A ,r ∈()0,1,且[]0u =

()0,1r ∈ []r u ⊂0A

接着,1986年, R .戈茨切尔(R .Goetschel),Ｗ.沃克斯曼(Ｗ.V oxman)在FSS 上发表了题为“Elementary Calculus”的文章,文中用两参考函数()({())[]},,:0,1a r b r r r ∈来刻划模糊数,

形成了下列模糊数的表示定理:

对u ∈1E ,以()u r ,()u r 记[]r u 的上、下端点,则(u r ,()u r 均为[0,1]上的函数,且满足:

1) ()u r 单调非降左连续;

2) ()u r 单调非增左连续;

3) ()u r ≥()u r ;

4) ()u r ,()u r 在ｒ=0处右连续

反过来,对任何满足上述条件1)-4)的[0,1]上的函数()(),a r b r ,存在唯一的u ∈1

E ,使 []r u =[()(),a r b r ],ｒ∈[0,1].

模糊数的表示定理在研究与模糊数有关的各类问题中有着广泛的应用.

基于区间分析的方法和集值映射理论,1981年,R.Goetschel 和W.V oxman 在JMAA 上的文章“A Pseudo metric for fuzzy sets and Certain related result”,1983年在FSS 上的文章“Topological propertics of fuzzy numbers”;1984年、1985年,Ｊ.埃伯希特(J.Albrycht)和马特沃卡(Matloka)在FSS 的文章“On fuzzy valued function”;1984年,Ｒ.巴达德(R.Bardard)在JMAA 上的文章“Fuzzy preuniform structures they induce”,在FSS 上的文章“Fixed point therorems for fuzzy numbers”、1987年在FSS 上的文章“Comparison of topplogical and uniform structures for fuzzy numbers and th e fixed point problem”;1985年,Ｏ.卡列瓦在FSS 上的文章“On converge of fuzzy sets”;1988年,欧阳合在JMAA 上的文章“Topiological properties of the space of regular fuzzy sets”等.

上述这些研究者,对模糊数空间1

E 的拓扑性质进行了广泛的研究,由一致Hausdorff 度量引出了如下拓扑结构:

若在1E 中,定义

Ｄ: 1E ×1E →[0,+∞], (),D u v =[][][]()0,1sup ,r r r d u v ∈

其中[][]

(),r r d u v 是Hausdorff 度量，则 1) ( 1E ,D )是完备度量空间;

2) ()(),,,D u v D u v R λλλλ=∈;

3) ()(),,D u v D u v ωω++=

除此之外,还引出了如下拓扑结构: S δ结构:对,u v ∈1E ,记

(){[]()},0,1:u G x t R t u x =∈⨯≤，(){[]()},0,1:v G x t R t v x =∈⨯≤

则1E 上的S δ拓扑结构由度量(),u v δ =(),u v d G G 所确定,此处d 为R ×[0,1]上的

Hausdorff 度量.MS 结构: 记()1E φ=[](){[]}10,1:r v G u r u E =∈∈,则1E 上的MS 拓扑结

构定义为()

1E φ中关于Hausdorff 收敛的商结构。 事实上,( 1E ,S δ)与(1

E ,MS)均是完备可分、可度量化的拓扑空间。

为了运用泛函分析的工具来研究取值于模糊数的函数，1983年，Ｍ.Ｌ普瑞和Ｄ.Ａ.拉列斯库在JMAA 上的文章“Differential for fuzzy function ”中，借助于紧凸集的拉斯特姆嵌