应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第五章部分习题解答)

解:(1)按距离准则,当样品x=2.5时,
d12(x)(2.05. 522)2 1,d22(x)(2.5220)2 1.562, 5 d32(x)(2.5123)2 0.25,
因0.25<1<1.5625,所以样品x=2.5判归G3.
5
第五章 判别分析
(2)按Bayes准则 解一:广义平方距离判别法
(1) 1105,(2) 2205,1 11281322,2 27057.
先验概q率 1 q2,而L(2|1)10,L(1|2)75.试问样品
X(1) 2200及X(2) 1250各应判归哪?一类 (1) 按Fishe准r 则
解:取 A121128132227057358357(组)内
2
B
( (i)
2
PU a PU b
(1) 2
(2) 1
(1) 1
(2) 2
.
.
(b) (a)
4
第五章 判别分析
5-2 设三个总体的分布分别为: G1为N(2,0.52), G2为
N(0,22),G3为N(3,12).试问样品x=2.5应判归哪一类? (1) 按距离准则； (2) 按Bayes准则 q1q2q31 3,L(j|i) 1 0,,ii jj
P(2 | 1)
P{W
(X
)
0|
X
G1}
P{W
(X ) 1 1
0 1} 1
P{U 1 d 2 / d } ( 1 d ) 1 ( 1 d ).
2
2
2
其中 U W ( X ) 1 ~ N (0,1). 1
21
第五章 判别分析
当 X G 2时 ,W (X)~N 1(2,2 2)且 , 2((2))a1 2d2,2 2d2
16
第五章 判别分析
55
已知X
(t) (i)
(tBiblioteka Baidu
1,2; i
1,2...,
ni
)为来自 Gt的样本.
记d X (1) X (2) , (其中X (t) 1 nt
nt
X
(t) (i)
(t
1,2))
i 1
S
n1
1 n2
2
( A1
A2 ).
试证明 : a S 1( X (1) X (2) )使比值 (ad )2 达最大值 , aSa
特征向量时等号成立 .
又S 1B ( X (1) X (2) )( X (1) X (2) )S 1与
D 2 ( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )
有相同的特征值 .故1 D2;
18
第五章 判别分析
以下来验a就 证是D2对应的一个特征: 向量 S1BaS1(X(1) X(2))(X(1) X(2))S1(X(1) X(2))
(1, 01)0 357 358 1 10 0 113 81 613 5 8 04.7 1 006
取 ad 1A 1((1)(2))6 5 1 13 3 3 8 2 3 ,1 则 aA a 1, 且 a满:B 足 aAa(d2).
12
第五章 判别分析
判别效率 (a ) aBa 4.7067 .
0.3091
0.3091
因0.5218>0.3798>0.0984,所以样品x=2.5判归G1.
8
第五章 判别分析
53 设总G体 i的均值 (i)为 (i1,2)同 , 协差 . 阵
记1(a(1) a(2)),(其中 a1((1) (2))),
2
试证(1)明 E(aX|G1);(2)E(aX|G2).
P(1|
2)P{W(X)0|
XG2}P{W(X)22
02} 2
P{U1d2 /d}1(1d).
2
2
其中 UW(X)2 ~N(0,1). 2
22
所以 q1f1(x)0.16,1类 3 似可得 q2f2(x)0.03,0q34f3(x)0.11,74
因0.1613>0.1174>0.0304,所以样品x=2.5判归G1.
7
第五章 判别分析
解三:后验概率判别法,
计算样品x已知,属Gt的后验概率:
P(t| x)
qt ft(x)
3
(t 1,2,3)
解:E(aX|G1)a(1)
1(a(1)
2
a(2))1(a(1)
2
a(2))
1((1) (2))1((1) (2))0,(因0)
2
类似可: 证 E(aX|G2)12((1) (2))1((1) (2))0,. 即 E(aX|G1), E(aX|G2) .
9
第五章 判别分析
由此题的结论可得出判别法:
qi fi(x)
i1
当样品x=2.5时,经计算可得
P ( 1 |x 2 .5 )
0 .161 3 0 .16 0 .5 1,2 31
0 .16 0 .0 13 3 0 .1 01 4 0 .3 70 491
P(2|x2.5)0.03 004 .09,8P(4 3|x2.5)0.11704.37,9
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第五章 判别分析
1
E (W
(X
))
( (1)
)a
1 2
( (1)
(2) ) 1 ( (1)
(2) )
1 d 2 [其中 d 2 ( (1) (2) ) 1 ( (1) (2) )]
2
2 1
D (W
(X
))
D[a( X
)]
aD ( X
)a
a a
( (1) (2) ) 1 • • 1 ( (1) (2) ) d 2
7.5 exp{ 1 ( X (2) )1( X (2) )
2
1 ( X (1) )1( X (1) )}
2 15
第五章 判别分析
7.5 exp{ ( X
) 1 ( (1)
(2) )(
15 20
)
7.5 exp{
10 216
(X
)130
}.
当 X (1)
20 20
时,
h1 ( X h2 ( X
应用多元统计分析
第五章部分习题解答
第五章 判别分析
5-1 已知总体Gi (m=1)的分布为: N((i),i2) (i=1,2) ,按
距离判别准则为(不妨设μ(1)>μ(2),σ1<σ2)
xx G G21,,若 若x**或 xx**,,
其中
解:
*
1(2) 1
2(1) 2
试. 求错判概率P(2|1)和P(1|2).
2 判别准则为判X G1 , 当W(X) 0,
判X G2 , 当W(X) 0, 试求错判概率 P(2|1)和P(1| 2).
解 :记 a 1 ((1 )(2 ))W ,(X ) (X )a 是 X 的 线性 ,当 X G 函 1 时 ,W (X 数 )~ N 1 (1 ,1 2 )且 ,
且最大值为马氏距离 D2
(其中D2 ( X (1) X (2) )S 1( X (1) X (2) )).
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第五章 判别分析
解 : (a) (ad )2 (ad )(ad )
aSa
aSa
a( X
(1)
X
(2) )( X aSa
(1)
X
(2) )a
def
aBa aSa
1
其中1为S 1B的最大特征值 ,且仅当 a 1对应的
h1( X ) q2L(1 | 2) f2 ( X ), h2 ( X ) q1L(2 |1) f1( X ), 并比较大小 , 判X属损失最小者 .考虑
h1( X ) L(1| 2) f2 ( X ) 75 • f2 ( X ) h2 ( X ) L(2 |1) f1( X ) 10 f1( X )
(2)(1)
1
1
(2)(1), 21
P (2 |1 ) P { U b } P { U a }(U ~ N (0 ,1 )) (b ) (a )
3
第五章 判别分析
P(1|
2)
P{*
X
*
|
X
~
N(
(2)
,
2 2
)}
P
X
(2) 2
*
2
(2)
P
X
(2) 2
* (2)
)((i))1((1)(2))((1)(2))
i1
2
11
第五章 判别分析
或B 取 ( (1)(2))((1)(2))
1 1 0 52 25 0 1,0101 10 01 10 00 0(组 0 0 )间
类似于例5.3.1的解法, A-1B的特征根就等于
d2( (1)(2))A1( (1)(2))
32
,33
18 12
12 32
32 33
78624 89765
0.8759
2 2
a 2 a
1 89765
32
,33
20 7
7 5
32 33
11141 89765
0.1241 13
第五章 判别分析
u (1) a (1)
1 89765
(32 ,33)1105
815 2.7202 89765
u (2) a (2)
1 89765
(32
,33
)
20 25
1465 89765
4.8897
u (1) u (2)
当X
(1)
20 20
时, u( X
(1) )
1 89765
(32 ,33)
20 20
4.3390
因 u ( X (1) ) 4.3390 u * , 判 X (1) G2 .
a Aa
Fisher 线性判别函数为
u ( X ) aX
1 89765
(32 X 1 33 X 2 )
判别准则为
判X 判 X
G1 G2
当 当
u u
( (
X X
) )
u u
* *
,
阈值为 u * 2u (1) 1u (2) 4.2964 . 其中 1 2
2 1
a 1a
1 89765
aX 判XG1, aX 判XG2.
W ( X ) 0 判X G1, W ( X ) 0 判X G2 ,
其中W ( X ) a( X *)
( X * )1( (1) (2) ) ,
* 1 ( (1) (2) ).
2 10
第五章 判别分析
5-4 设有两个正态总体G1和G2,已知(m=2)
样品X到Gt的广义平方距离的计算公式为
D t2(X )dt2(X )g1(t)g2(t)(,t1 ,2,3).
其1(中 t)ln |g t2|,g2(t)0. 当样品x=2.5时,
D 1 2(x)1ln 0.5 ()2 0.38, 63
D 2 2(x)1.56l2n 22 5 2.94, 88
D 3 2(x)0.2 5ln 10.2,5
因样品到G1的广义平方距离最小,所以将样品
x=2.5 判归G1.
6
第五章 判别分析
解二:利用定理5.2.1的推论,计算 qtft(x)(,t1,2,3)
当样品x=2.5时,
f1(x) 21 12ex p2112(x(1))21.215e3x3 p1 21
1 0.606 05.4839 1.2533
当X
(1)
15 20
时, u( X
(2)
)
1 89765
(32
,33
)
15 20
3.8050
因 u ( X (2) ) 3.8050 u * 判 X (2) G1.
14
第五章 判别分析
(2 解)B :由定a 准 理 5.y 2(假 .1,只e 则 须 1 s 计 设 算 2 1 11 3 2 8 2 2 )
S1(X(1) X(2))•D2 D2a. 故当取 aS1(X(1) X(2))时,比值(a)D2达最大.值
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第五章 判别分析
56 设两个p维正态总体Np((i),)(i 1,2).设 (1) , (2) , 已知.线性判别函数 W(X) (X )1((1) (2)), 1 ((1) (2)),
P(2|1)P{X*| X~N((1),12)}
P{X*| X~N((1),12)}
PX1(1)
*(1) 1
PX1(1)
*(1) 1
2
第五章 判别分析
记
b*(1)
1
(2)2 12
(1)(1)
1
1
(2)(1), 12
a*(1) 2
(1) 1 21
(1) (1)
) )
7.5 exp{ 125 } 54
75 .9229
1
因 h1 ( X ) h2 ( X ), 故判 X (1) G2 .
当X
(2)
15 20
时,
h1 ( X (2) ) h2 ( X (2) )
7.5 exp{
0}
7.5
1
因 h1 ( X ) h2 ( X ), 故判 X (2) G2 .