2018年全国高考数学理科卷及解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．12i 12i +=-

A ．43i 55--

B ．43i 55-+

C ．34i 55--

D ．34i 55

-+

2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

3．函数2

e e ()x x

f x x --=的图象大致为

4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．双曲线

2

2

22

1(0,0)x y a b a b -=>>

A ．y =

B ．y =

C ．y =

D ．y =

6．在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB =

A ．

B

C

D ．

7．为计算111

11

123499100

S =-+-+

+-

，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A ．1i i =+

B ．2i i =+

C ．3i i =+

D ．4i i =+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A ．

112 B ．114 C ．115 D ．118

9．在长方体1111

ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1

DB 所成角

的余弦值为

A ．1

5

B

C

D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是

A ．

π4 B ．π2 C ．3π4

D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，

则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50- B ．0 C ．2 D ．50

12．已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>

>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在

过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．

23 B ．12 C ．13

D ．

14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．

14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪

-+⎨⎪-⎩

≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为

7

8

，SA 与圆锥底面所成角为45°，

若SAB △的面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,

,17）建立模型①：

ˆ30.413.5y

t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模

型②：ˆ9917.5y

t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．

（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）