2018年学习全称量词和存在量词教材课件PPT
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些”“有一个”“有的”“某些”等．
课堂互动讲练
考点突破
量词的数学符号表示
全称量词用数学符号“∀”表示，特称量词用数学 符号“∃”表示．
例1 指出下列两个含有量词的命题中使用了什
么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数 学符号取代，并判断真假． (1)对任意实数x，都有x2＋3>0； (2)至少有一个自然数小于1.
1．2.2 全称量词和存在量词
学习目标
课前自主学案 1.2.2 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的意义，会判断含有一 个量词的命题的真假． 2．能正确对含有一个量词的命题进行否定，理解 全称命题与特称命题之间的关系．
课前自主学案
温故夯基
1．对于 p∧ q：若命题 p 与 q 全真，则 p∧q 为真命 题；若 p 与 q 有一个是假命题，则 p∧ q 为假命题； 对于 p∨ q：若命题 p 与 q 全假，则 p∨q 为假命题； 若 p 与 q 至少有一个为真，则 p∨ q 为真命题． 2． 将原命题的条件和结论分别否定后， 作为命题的 否命题 ；而命题的 条件和结论，构成原命题的 __________ 结论的否定 ． 否定是对命题的 _____________
綈 p( x) ____________ ”；命题 “∃ x∈ I， p(x)”的否定是
∀ x∈ I，綈 p(x) “_____________________ ”．
思考感悟 你能举几个全称量词和存在量词吗？
提示：常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任何一个”“任给”等．
常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命 题为真，所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：“∀ x， y∈ Z，都有 2x＋ y≠ 3.” ∵当 x＝ 0， y＝ 3 时， 2x＋ y＝ 3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题．
【名师点评】 (1)写命题的否定时，关键是确定命题的类型． (2)判断命题的否定的真假时，可直接判断该命题，也可判断原命题的真 假，利用原命题和命题的否定的真假性相反下结论． 自我挑战2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (4)p：∀x∈R,3x>0.
2
含有一个量词的命题的否定
“∀ x∈ I， p(x)”的否定是“∃ x∈ I，綈 p(x)”；
wk.baidu.com
“∃ x∈ I， p(x)”的否定是“∀ x∈ I，綈 p(x)”．
例3 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行． (2)非负数的平方是正数． (3)有的四边形没有外接圆． (4)∃ x0， y0∈ Z，使得 2x0＋ y0＝ 3.
【思路点拨】 判断含有的量词类型
→ 相应数学符号表示 → 判断真假
【解】 (1)命题中含有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范 围是实数集．用数学符号表示可写成 “∀x∈R，x2＋3>0”． ∵对∀x∈R，都有x2≥0，∴x2＋3>0. ∴命题是真命题． (2) 命题中含有量词“至少有一个”，这是一个存在量词，它的作用范围 是自然数集，用数学符号表示可写成“∃x∈N，x<1”． ∵0∈N且0<1， ∴命题为真命题．
【名师点评】
熟知常见的量词是解决此类问题的关键，有些命题不
含有量词，这时我们需要根据命题的具体意义去判断．
含有量词的命题真假的判断
(1)要判定含“存在”量词的命题为真，只要在给 定集合内，找到一个元素 x0 ，使命题 p(x0) 为真， 否则，命题为假． (2)要判定一个含全称量词的命题为真，必须对给 定的集合内的每一个元素 x，p(x)都为真，但要判 定其为假，只要在给定集合内找一个 x0 ，使 p(x0) 为假即可．
【思路点拨】 确定命题类型
→ 改变量词，否定性质 → 写出原命题的否定 → 判断真假
【解】 (1)命题的否定： “存在一个平行四边形的对边不都平行．” 由平行四边形的定义知，这是假命题． (2)命题的否定： 2 “存在一个非负数的平方不是正数．”因为 0 ＝ 0， 不是正数，所以该命题是真命题． (3)命题的否定： “所有四边形都有外接圆．”
自我挑战 1 (2011 年松原模拟 )判断下列命题的真 假： (1)∀ x∈ R， x2＋ 2x＋ 1>0； (2)∃ x0∈ N， |x0 |≤ 0； (3)∀ x∈ R， log2 x>0； π (4)∃ x0∈ R， cos x0＝ . 2
解： (1)∵当 x＝－ 1 时， x ＋ 2x＋ 1＝ 0， ∴原命题是假命题． (2)∵当 x＝ 0 时， |x|≤0 成立， ∴原命题是真命题． (3)∵当 x＝ 1 时， log2 x＝ 0， ∴原命题是假命题． (4)∵当 x∈ R 时， π cos x∈[－ 1,1]，而 >1， 2 π ∴不存在 x0∈ R，使 cos x0＝ ， 2 ∴原命题是假命题．
知新益能 1．全称量词和存在量词
全称 (1)“任意”、“所有”、“每一个”等叫作_______
量词，数学上用符号“∀”表示．
(2)“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作
存在 ________ 量词，数学上用符号“∃”表示．
2．含有一个量词的命题的否定 ∃x∈I， 一般地，命题 “∀ x∈ I， p(x)”的否定是 “________
【思路点拨】 行判断． 根据命题中所含量词的含义进
x
【解】 (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，
∴命题(2)是假命题． (3)y＝sin x是周期函数，2π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．
例2 判断下列命题的真假，并给出证明．
(1)若 a>0，且 a≠ 1，则对任意实数 x， a >0； (2)对任意实数 x1， x2，若 x1 <x2，则 tan x1 <tan x2； (3)存在常数 T0，使 sin (x＋ T0)＝ sinx； 2 (4)有 x0∈ R，使 x0 ＋ 1<0.
课堂互动讲练
考点突破
量词的数学符号表示
全称量词用数学符号“∀”表示，特称量词用数学 符号“∃”表示．
例1 指出下列两个含有量词的命题中使用了什
么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数 学符号取代，并判断真假． (1)对任意实数x，都有x2＋3>0； (2)至少有一个自然数小于1.
1．2.2 全称量词和存在量词
学习目标
课前自主学案 1.2.2 课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的意义，会判断含有一 个量词的命题的真假． 2．能正确对含有一个量词的命题进行否定，理解 全称命题与特称命题之间的关系．
课前自主学案
温故夯基
1．对于 p∧ q：若命题 p 与 q 全真，则 p∧q 为真命 题；若 p 与 q 有一个是假命题，则 p∧ q 为假命题； 对于 p∨ q：若命题 p 与 q 全假，则 p∨q 为假命题； 若 p 与 q 至少有一个为真，则 p∨ q 为真命题． 2． 将原命题的条件和结论分别否定后， 作为命题的 否命题 ；而命题的 条件和结论，构成原命题的 __________ 结论的否定 ． 否定是对命题的 _____________
綈 p( x) ____________ ”；命题 “∃ x∈ I， p(x)”的否定是
∀ x∈ I，綈 p(x) “_____________________ ”．
思考感悟 你能举几个全称量词和存在量词吗？
提示：常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任何一个”“任给”等．
常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命 题为真，所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：“∀ x， y∈ Z，都有 2x＋ y≠ 3.” ∵当 x＝ 0， y＝ 3 时， 2x＋ y＝ 3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题．
【名师点评】 (1)写命题的否定时，关键是确定命题的类型． (2)判断命题的否定的真假时，可直接判断该命题，也可判断原命题的真 假，利用原命题和命题的否定的真假性相反下结论． 自我挑战2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (4)p：∀x∈R,3x>0.
2
含有一个量词的命题的否定
“∀ x∈ I， p(x)”的否定是“∃ x∈ I，綈 p(x)”；
wk.baidu.com
“∃ x∈ I， p(x)”的否定是“∀ x∈ I，綈 p(x)”．
例3 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行． (2)非负数的平方是正数． (3)有的四边形没有外接圆． (4)∃ x0， y0∈ Z，使得 2x0＋ y0＝ 3.
【思路点拨】 判断含有的量词类型
→ 相应数学符号表示 → 判断真假
【解】 (1)命题中含有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范 围是实数集．用数学符号表示可写成 “∀x∈R，x2＋3>0”． ∵对∀x∈R，都有x2≥0，∴x2＋3>0. ∴命题是真命题． (2) 命题中含有量词“至少有一个”，这是一个存在量词，它的作用范围 是自然数集，用数学符号表示可写成“∃x∈N，x<1”． ∵0∈N且0<1， ∴命题为真命题．
【名师点评】
熟知常见的量词是解决此类问题的关键，有些命题不
含有量词，这时我们需要根据命题的具体意义去判断．
含有量词的命题真假的判断
(1)要判定含“存在”量词的命题为真，只要在给 定集合内，找到一个元素 x0 ，使命题 p(x0) 为真， 否则，命题为假． (2)要判定一个含全称量词的命题为真，必须对给 定的集合内的每一个元素 x，p(x)都为真，但要判 定其为假，只要在给定集合内找一个 x0 ，使 p(x0) 为假即可．
【思路点拨】 确定命题类型
→ 改变量词，否定性质 → 写出原命题的否定 → 判断真假
【解】 (1)命题的否定： “存在一个平行四边形的对边不都平行．” 由平行四边形的定义知，这是假命题． (2)命题的否定： 2 “存在一个非负数的平方不是正数．”因为 0 ＝ 0， 不是正数，所以该命题是真命题． (3)命题的否定： “所有四边形都有外接圆．”
自我挑战 1 (2011 年松原模拟 )判断下列命题的真 假： (1)∀ x∈ R， x2＋ 2x＋ 1>0； (2)∃ x0∈ N， |x0 |≤ 0； (3)∀ x∈ R， log2 x>0； π (4)∃ x0∈ R， cos x0＝ . 2
解： (1)∵当 x＝－ 1 时， x ＋ 2x＋ 1＝ 0， ∴原命题是假命题． (2)∵当 x＝ 0 时， |x|≤0 成立， ∴原命题是真命题． (3)∵当 x＝ 1 时， log2 x＝ 0， ∴原命题是假命题． (4)∵当 x∈ R 时， π cos x∈[－ 1,1]，而 >1， 2 π ∴不存在 x0∈ R，使 cos x0＝ ， 2 ∴原命题是假命题．
知新益能 1．全称量词和存在量词
全称 (1)“任意”、“所有”、“每一个”等叫作_______
量词，数学上用符号“∀”表示．
(2)“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作
存在 ________ 量词，数学上用符号“∃”表示．
2．含有一个量词的命题的否定 ∃x∈I， 一般地，命题 “∀ x∈ I， p(x)”的否定是 “________
【思路点拨】 行判断． 根据命题中所含量词的含义进
x
【解】 (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，
∴命题(2)是假命题． (3)y＝sin x是周期函数，2π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．
例2 判断下列命题的真假，并给出证明．
(1)若 a>0，且 a≠ 1，则对任意实数 x， a >0； (2)对任意实数 x1， x2，若 x1 <x2，则 tan x1 <tan x2； (3)存在常数 T0，使 sin (x＋ T0)＝ sinx； 2 (4)有 x0∈ R，使 x0 ＋ 1<0.