第九讲 MATLAB在信号处理中的应用(二)

级联型结构的仿真建模
x(n) y(n)
3.并联型结构
0k 1k z 1 H ( z ) A0 1 1 2 1 z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k
N1
Ak
N2
A0
其实现结构为：
A1 a1 AN
1
z-1
x(n)
. . .
y(n)
一般用直接II型（典范型）表示
a2k
用多个二阶节级联表示滤波器系统
x(n) a11 z-1 β11 a12 z-1 β12 …... a1Mz-1 β1M
y(n)
-1 z β21 a21
-1 z β22 a22
-1 z a2M β2M

ห้องสมุดไป่ตู้
例9-2用级联型结构实现以下系统函数 4( z 1)( z 2 1.4 z 1) H ( z) ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.8)
直接型 FIR滤波器 仿真模型
x(n)
y(n)
2.级联型结构
级联型结构是把系统函数H(z)分解为二阶因式，然后将各阶 因式以级联链接方式实现。 例如采用级联结构实现例3-10 将系统函数进行分解，分解成：
H ( z) 1 ai z i
i 0 i 0 N

本章只考虑无反馈情况（没有输出到输入的反馈）即 ai=0。（若结构为频率抽样则包含反馈即有递归部分 N 1 ）其差分方程为
y ( n ) h ( n ) x ( n m)
m0
1.直接型（卷积型、横截型结构）
信号流图
转置定理


如果将线性时（移）不变网络中所有支路方向 倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则 其系统函数H(z)不改变。 1）将全部路径箭头方向颠倒过来。

2）将全部支路节点用加法器替换，将全部加
法器节点替换成支路节点。

3）将输入和输出节点交换。
所得的结构称为转置直接型结构，即直接II型
FIR的系统函数及差分方程

设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列， 0<=n<=N-1，则滤波器的系统函数为：
H ( z ) h(n) z n
n 0

N 1
即它有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限 z平面 M i 的任何位置。其中H(z)为： b z i

将差分方程化简为：
1 1 y (n) y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) x(n 2) 3 4





a=[1 -1/3 -1/4]; b=[1 1 1]; impz(b,a,[0:10]) title('单位脉冲响应') xlabel('Time(s)') axis([0,10,-3,3])
x(n)
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1
h(0) h(1) h(2) h(N-1) h(N)
y(n) x(n)
转置定理 h(0)
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1
h(1)
h(N-1)
h(N)
y(n)
FIR滤波器的直接型结构 FIR滤波器的直接型结构
举例

例9-5一FIR滤波器由下面的系统函数给出（要求画出 信号流图、方框图与仿真模型）： H ( z) 1 16z 4 z 8
aN a11 a21 a1N
2
1
z-1 β01
z-1 z-1 z-1 z-1
β11
β0N2
a2N
2
β1N2

例9-3用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤 波器。 6 z 3 1.6 z 2 4.8z 1.3
H ( z) ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.8)
法二：解：自定义函数文件dir2par(b,a).m >>b=[6 1.6 4.8 -1.3];a1=[1 -0.5];a2=[1 0.9 0.8]; a=conv(a1,a2) >> [C,B,A]=dir2par(b,a) 1 3 0.25 2.5250 z C = 3.2500 H ( z ) 3.25 1 1 0.5z 1 0.9 z 1 0.8z 2 B = -0.2500 -2.5250 3.0000 0 A = 1.0000 0.9000 0.8000 1.0000 -0.5000 0
z-1
x(n-1)
a
x(n)
a
ax(n) x1(n)+x2(n)
x1(n)

加法器 这些单元有两种表示法： 1）方框图 2）信号流图
x2(n)
方框图与信号流图

若二阶数字滤波器表示为：y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
1 2
5

3
方框图
信号流图
x(n)
h( n)
y(n)
)( ) hj( n y(n) x(ny )( n h n)x(nY (e )) X (e j ) H (e j )
常系数线性差分方程与系统函数
假设常系数线性差分方程的一般形式为：
y (n) bk x(n k ) ak y (n k )


例9-1二阶数字滤波器的系统差分方程为： 1 1 y (n) y (n 1) y(n 2) x(n) x(n 1) x(n 2) 3 4 试构造它的直接型I型和直接II型方框图，并观测它们 的单位冲激响应。
x(n) y(n)

H(Z)
直接I型仿真模型对应的信号流图
k 0 k 1 M N

若系统起始状态为零，直接两边取z变换，利用移位 特性 x[n n0 ] z n0 X ( z) 得：
Y ( z ) bk z k X ( z ) ak z kY ( z )
k 0 k 1
M
N
Y ( z) H ( z) X ( z)
H ( z)
k b z k M k 0 N
1 ak z k
k 1
Y ( z) X ( z)
其中ak和bk都是常量，当ak不等于0时，有反馈环路是 递归型结构。若ak=0则没有反馈，称为非递归结构。
补充知识


实现数字滤波器的基本运算单元
x(n)
单位延时 常数乘法器
z-1
1
2
5
3
4
y(n) w2 (n) w1 (n)
w2 (n) y (n) w3 (n) w2 (n 1) y (n 1) w4 (n) w3 (n 1) y (n 2) w5 (n) a1w3 (n) a2 w4 (n) a1 y (n 1) a2 y (n 2)
4
其中1,2,3,4,5称为网络节点，x(n)为输入节点（源节点），y(n) 处为输出节点（阱节点）节点之间用有向支路相连接，任一节点 的节点值等于它的所有输入支路的信号之和。而输入支路的信号 值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果 支路上不标注传输系数值，则认为其传输系数为1。 分支节点：只有一个输入，一个输出或多个输出。如2,3,4。 相加器：有两个或两个以上的输入。如1,5。

法一：分解为： 1 z 1 1 1.4 z 1 z 2 H ( z) 4 1 1 0.5 z 1 0.9 z 1 0.8 z 2
并联型结构仿真模型
x(n) y(n)

例9-4用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤 波器。 6 z 3 1.6 z 2 4.8z 1.3 H ( z) ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.8)
并联型结构仿真模型
x(n) y(n)
9.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波 器的结构



特点： 1）系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值时不为零； 2）系统函数H(z)在有限z平面中只有零点，全部的极 点都位于z=0处； 3）结构上不存在由输出到输入的反馈，仅在某些实 现结构（例如频率抽样型）中含有反馈的递归部分。 有限长单位冲激响应滤波器的主要实现结构有直接型 、级联型、线性相位型等。
k b z k k a z k k 0 k 0 N
M

k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
9.1 数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器实现的方法： （1）利用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。 数字滤波器的系统函数可以表示为：
X ( z ) x(n) z
n 0

n

滤波器：所谓的滤波器是指对输入信号起滤波的作用 的装置。为了处理信号，必须设计和实现称之为滤波 器（在某些领域或称为频谱分析仪）的各种系统。滤 波器设计受到它的类型（IIR或FIR）和实现结构等因 素的影响。所以有必要了解滤波器是如何实现的。当 输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽 样响应 h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（ Digital Filter，DF ）。DF是由差分方程来描述的一 种特殊的离散时间系统。
b M+1
bM
z-1 b0
aN x(n) 合并
x(n)
a1 a2 z-1 z-1 z-1
y(n)
b1
z-1 z-1
b2
b M+1
a N-1
aN z-1
bM
a N-1
aN
直接II型
直接II型仿真模型对应的信号流图
MATLAB提供了专门求离散系统单位响应，并绘 制其时域波形的函数impz()（数字滤波器冲激响应 ），该函数有以下几种调用格式： impz(b,a) %以默认格式绘制向量a和b定义的离 散系统的单位响应 impz(b,a,n) %绘制0~n时间范围内的单位响应波形 impz(b,a,n1:n2) %绘制n1~n2时间范围内的单位 响应波形 y=impz(b,a,[n1:n2]) %并不绘制波形，而是求出单 位响应的数值解
2.级联型结构

级联型结构是把系统函数H（z）进行因式分解为较低 的二阶节，然后将系统函数表示成二阶节的乘积，其 中每个二阶节用直接II型结构实现。 1 1k z 1 2k z 2 H ( z) 1 1k z 1 2k z 2
x(n) a1k z-1 z-1 β1k β2k y(n)
x(n)
b0
y(n) x(n)
b0 a1 a2 a N-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b1 b2 b M+1 z-1 b0 a1 a2 z-1 b 1 z-1 b2 b M+1 z-1 b M z-1 bM
y(n)
z-1
z-1 z-1
b1
b2
a1
a2 a N-1 aN
z-1 z-1 对调
y(n) w2 (n) w1 (n)
w1 (n) b0 x(n) w5 (n) b0 x(n) a1 y (n 1) a2 y (n 2)
y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
9.2无限长单位冲激响应滤波器
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点： 1）系统的单位冲激响应h(n)无限长； 2）系统函数H(z)在有限z平面内有极点存在； 3）从输出到输入存在反馈环路（回路），即存 在递归型结构。 1.直接型 直接型结构是按照给出的系统差分方程或者系 统函数直接实现的。
第九讲 MATLAB在信号处理中的 应用（二）
1
主要内容

9.1 数字滤波器结构的表示方法 9.2 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 9.3 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器
2
Z变换
信号与系统的变换域分析 连续时间信号与系统：拉普拉斯变换和傅里叶 变换 离散时间信号与系统：z变换和离散时间傅里 叶变换 Z变换的作用和数字滤波器的功能类似：将输 入信号通过一定的运算变化成输出序列，它把 描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方 程。
Z变换定义

若序列为x(n),则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z

n
称为序列x(n)的z变换，其中z为变量,它表示z平面，用极 坐标表示为：z re j 。 收敛域： n
n

| x ( n) z
| M

即只要满足绝对可和的条件该级数收敛。 本章我们只讲右边序列即无限长序列左边为0.