【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修1-2

(2)已知在梯形ABCD中(如图所示),
AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,
求证:CA平分∠BCD,BD平分∠CBA. 证明:①等腰三角形的两底角相等,„„„„„„„大前提 △DAC是等腰三角形,DC=DA,„„„„„„„„„„小前提 ∠1=∠2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 ②两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,„„大前提 ∠1和∠3是平行线AD,BC被AC所截的内错角,„„„小前提 ∠1=∠3.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论
所以四边形AFDE为平行四边形.„„„„„„„„„„结论
因为平行四边形的对边相等,„„„„„„„„„„大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边,„„„„„„„„小前提
所以ED=AF.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论
【补偿训练】已知在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的 中点,如图所示,求证:EF∥平面BCD(指出大前提,小前提及结 论).
③等于同一个量的两个量相等,„„„„„„„„„大前提 ∠2,∠3都等于∠1,„„„„„„„„„„„„„„小前提 ∠2和∠3相等.„„„„„„„„„„„„„„„„结论 即CA平分∠BCD. ④同理BD平分∠CBA.
【方法技巧】
1.用三段论证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路.
(2)找出每一个结论得出的原因.
a x2 x 2 2 x1 x1 2 a x2 1 x1 1 x 2 2 x1 2 x 2 1 x1 1
a x 2 a x1 a
x1
a
x 2 x1
a x1 a x 2 x1
x1 1 x 2 2 x1 2 x 2 1 1 x 2 1 x1 1 3 x 2 x1 1 . x 2 1 x1 1
2.1.2 演绎推理
问题 引航
1.什么是演绎推理?它有什么特点? 2.什么是三段论?一般模式是什么?
3.合情推理与演绎推理有什么区别与联系?
1.演绎推理 特殊情况 下的结论, (1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_________ 我们把这种推理称为演绎推理. 一般 到_____ 特殊 的推理. (2)特点:演绎推理是由_____
2.三段论 一般模式
大前提 已知的一般原理 _______________ 所研究的特殊情况 _________________ 特殊情况 做出的判断 根据一般原理,对_________
常用格式
M 是P
小前提
结论
S 是M
S 是P
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理. ( ( ) ) ( )
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.对“三段论”的三点说明 (1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提指出了一 种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般性原理与特殊情况 的内在联系,从而得到了第三个命题——结论. (2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子集,那么S 中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有性质P,则S中的元 素也不具有性质P. (3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,取决于 两个前提是否正确,推理形式(即S与M的包含关系)是否正确.
应用
结论超过了前提所断 结论不超过前提所断定 定的范围,其结论具 的范围,前提和结论的联 有或然性 系是必然的
不能作为数学证明的 工具,但它具有创造 性思维,对于数学发 现很有意义
可以作为数学证明的工 具,较少具有创造性,但 它严密的论证有助于数 学的理论化和系统化
合情推理
两者紧密联系,互为依赖,互为补充.
3
x 1 x 1
x 1
2
.
3
因为x>-1,所以(x+1)2>0,所以 又因为a>1,所以lna>0,ax>0, 所以axlna>0.所以f′(x)>0.
x 1
2
>0.
于是得f(x)=ax+ x 2 在(-1,+∞)上是增函数.
x 1
【方法技巧】代数问题中的常见的利用三段论证明的命题 (1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 等. (2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值 和最值,证明与函数有关的不等式等. (3)三角函数的图象与性质. (4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质. (5)不等式的证明.
(2)演绎推理的结论是一定正确的.
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.
【解析】(1)错误.“三段论”是演绎推理的一般模式,却不是 演绎推理. (2)错误.在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形 式都正确的情况下,其结论才是正确的. (3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
2.三段论中的三个判断 三段论是由三个判断组成的,其中的两个为前提,另一个为结论. 第一个判断是提供性质的一般判断,叫做大前提,通常是已知的 公理、定理、定义等; 第二个判断是和大前提有联系的特殊情况 ,叫做小前提,通常是 已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断 ; 第三个判断为结论. 在推理论证的过程中,一个稍复杂一点的证明题经常要由几个 三段论才能完成,而大前提通常省略不写,或者写在结论后面的
【要点探究】 知识点 演绎推理
1.演绎推理的三个特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵
于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.
(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提
是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因
而演绎推理是数学中严格证明的工具.
【证明】因为三角形中位线与第三边平行,„„„„大前提 点E,F分别是AB,AD的中点,EF是△ABD的中位线, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 所以EF∥BD.„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 因为平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平 面平行,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD,„„„„„„„小前提 所以EF∥平面BCD.„„„„„„„„„„„„„„结论
【知识拓展】合情推理与演绎推理的区别与联系 合情推理 常用形式 归纳、类比 归纳推理是从部分到 整体,从个别到一般 的推理;类比推理是 从特殊到特殊的推理 演绎推理 三段论 从一般性的知识的前提 推出一个特殊性的知识 的结论,即从一般到特殊 的推理
思维运动 过程的方 向 区 前提与结 别 论联系的 性质
百度文库
演绎推理
(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理
从具体的经验中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳
联
系
推理就没有演绎推理. (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任 务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般 性理论知识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推 理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这
类型二
演绎推理在代数证明中的应用
【典例2】 (1)(2014·温州高二检测)由“(a2+a+1)x>3,得x> 的推理过程中,其大前提是 (2)已知函数f(x)=ax+ 上为增函数. .
3 ” 2 a a 1
x2 (a>1),证明:函数f(x)在(-1,+∞) x 1
【解题探究】1.题(1)中的大前提怎样找? 2.题(2)中证明的方法是什么? 【探究提示】1.将推理过程写成三段论的形式. 2.利用增函数的定义或利用f′(x)>0证明.
因为x2-x1>0,且a>1,所以 a x 而-1<x1<x2, 所以x1+1>0,x2+1>0, 所以f(x2)-f(x1)>0,
2 x1
>1.
所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
方法二:(导数法)f(x)= a x x 1 3 a x 1 3 . 所以f′(x)=axlna+
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用演绎推理证明“y=sinx是周期函数”时的大前提 是 ,小前提是 .
(2)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的 是错误的. (3)推理某一“三段论”,其前提之一为肯定判断,结论为否定 判断,且推理形式正确,由此可以推断,该三段论的另一前提必 为 判断(选填“肯定”或“否定”)
个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理
【微思考】 合情推理与演绎推理的作用分别是什么? 提示:合情推理的作用是探索方法,寻求思路,发现规律,得到猜 想,而演绎推理的作用在于对由合情推理得到的结论,进行严格 的证明.
【即时练】 1.(2014·厦门高二检测)已知幂函数f(x)=xα 是增函数,而 y=x-1是幂函数,所以y=x-1是增函数,上面推理错误是( A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理的方式错误导致错 D.大前提与小前提都错误导致错 【解析】选A.大前提为:f(x)=xα是增函数,在f(x)=xα中当 α>0时f(x)为增函数,显然大前提是错误的. )
2.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提 小前提 结论 . . .
【解析】根据三段论模式分析题意可知: 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,„大前提 y=2x+5是一次函数,„小前提 函数y=2x+5的图象是一条直线.„结论 答案:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线 y=2x+5是一次函数 函数y=2x+5的图象是一条直线
括号内,小前提有时也可以省去,而采取某种简明的推理格式.
【变式训练】如图,△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB上的
点,∠BFD=∠A,DE∥BA.求证ED=AF,写出“三段论”形式的演绎
推理.
【解题指南】只需证明四边形AEDF为平行四边形即可.
【证明】因为同位角相等,两直线平行,„„„„„„大前提 ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,„„„„„„„小前提 所以FD∥AE.„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 , „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 DE∥BA,且FD∥AE,„„„„„„„„„„„„„„„小前提
【解析】2.(1)y=sinx是三角函数,而三角函数是周期函数,因 此大前提为三角函数为周期函数、小前提应该为y=sinx是三角 函数. 答案:三角函数是周期函数 y=sinx是三角函数 (2)小前提错误.因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数. 答案:小前提 (3)演绎推理在大、小前提和推理形式都正确的前提下,得到结 论一定正确. 答案:否定
【自主解答】(1)该推理过程写成三段论形式:
不等式两边同除以一个正数,不等号的方向不变,„大前提
(a2+a+1)x>3,a2+a+1大于0,„„„„„„„„„„小前提
x>
3 .„„„„„„„„„„„„„„„„结论 2 a a 1
答案:不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变
(2)方法一:(定义法)任取x1,x2∈(-1,+∞), 且x1<x2,f(x2)-f(x1)
【题型示范】 类型一 用三段论证明几何问题
【典例1】 (1)(2014·湛江高二检测)推理:“①矩形是平行四边形;
②正方形是矩形;③所以正方形是平行四边形”中的小前提
是 .
(2)证明:如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分
另一底上的两个角.
【解题探究】1.题(1)中的推理是什么形式? 2.题(2)中证明的方法和步骤是什么? 【探究提示】1.题中的推理是三段论的形式.
2.先将文字语言转化为几何语言,利用平行线的性质去寻求角
的关系.
【自主解答】(1)推理:“①矩形是平行四边形,②正方形是矩 形,③所以正方形是平行四边形”中: 矩形是平行四边形,„„„„„„„„„„„„„„„大前提 正方形是矩形,„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 所以正方形是平行四边形.„„„„„„„„„„„„结论 答案:②