解析几何复习PPT优秀课件
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2 1 1 0
，
因为 l PO ，所以 k kop k (1) 1k 1，
［点评］本小题考查平面几何中的垂径定理，圆的 标准方程，直线的点斜式方程等知识。
考题剖析
例 5、(2008 天津文)已知圆 C 的圆心与点 O（－2,1）关于
直线 y=x+1 对称．直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A、B 两 点，且｜AB｜＝6，则圆 C 的方程为
［点评］考查直线与圆的方程问题，经常用到平 面几何知识，如垂径定理、勾股定理等。
考题剖析
考点三： 曲线（轨迹）方程的求法 【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常
见的求轨迹方程的方法：
（1）单动点的轨迹问题——直接法＋ 待定系数法；
（2）双动点的轨迹问题——代入法；
（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。 【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现， 属中档题。
解：点 P（－2,1）关于直线 y=x＋1 对称点为
（0，－1） ，即圆心的坐标为（0，－1） ， 圆心到直线的距离为：
| 4 11 | 32 4 2
2
，
2
(4 11) 2 18 ， 由垂径定理，勾股定理，得 r 3 52
2 2 x ( y 1) 18 ． 所以，圆的方程为
2 ) 2
［点评］本题考查向量垂直，圆的判定，椭圆 的离心率等知识，属中档题。
考题剖析
2 2 2 9 y m x 1(m 0) 的 例 1０、(2008 辽宁文) 已知双曲线
2010届高三数学复习－－几何部 分
解析几何
考题剖析
考点一：点、直线、圆的位置关系问题 【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、 直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到 直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、 圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆 相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距 离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位 置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种， 一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与 两圆的半径之和或差比较。
考题剖析
例 6、 （2008 广东吴川模拟）已知点 P（－8,0）和圆 C：
x 2 y 2 2 x 10y 4 0 。
（1）求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l 的方程； （2）过 P 点向圆 C 引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。
2 2 解:（1）化圆的方程为： x 1 y 5 22 ，
3 3k 2 2k 2 于是 x1 x2 y1 y2 k 2 4 k 2 4 k 2 4 1 0 ，
化简得 4k
2
1 k 1 0 ，所以 2．
2 2 2 2 OA OB x y ( x y （Ⅲ） 1 1 2 2)
2 2 ( x12 x2 ) 4(1 x12 1 x2 )
2
( x1 x 2 ) 2 ( y1 x 2 ) 2 (1 k 2 )( x1 x 2 ) 2
2 2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 1 k
2 2 3k2 1 k
2
.
考题剖析
而原点 O 到直线 l 的距离 d＝ 1 k 2 ，
2 1 1 2 2 2 3 k2 2 2 2 3k ∴S△DEF= 2 d EF 2 1 k 2 1 k 1 k 2 1 k 2 .
2
2
考题剖析
3( x1 x2 )( x1 x2 )
6k ( x1 x2 ) k2 4 ．
因为 A 在第一象限，故 x1 0 ．由 x1 x2 从而 x1 x2 0 ．又 k 故 OA OB 0 ， 即在题设条件下，恒有 OA OB ．
2 2
3 x k2 4 知 2
消去 y 并整理得 (k 2 4) x2 2kx 3 0 ， 故 x1 x2
2k 3 ， x x 1 2 k2 4 k2 4 ．
2 若 OA OB ，即 x1 x2 y1 y2 0 ．而 y1 y2 k x1x2 k ( x1 x2 ) 1 ，
∴曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，
考题剖析
则 c＝2，2a＝2 2 ，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
x2 y2 1 ∴曲线 C 的方程为 2 . 2
(Ⅱ)依题意，可设直线 l 的方程为 y＝kx+2，代入双曲线 C 的方程并整 理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，
解： （1）以 O 为原点，AB、OD 所在直
线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A（-2，0） ，B（2，0） ，D(0,2),P（ 3,1 ） ， 依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜
2 2 2 2 ＝ (2 3 ) 1 （2 3） 1 ＝2 2 ＜｜AB｜＝4.
考题剖析
考点五：圆锥曲线的几何性质 【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称 性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐 标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、 离心率和准线方程等内容， 离心率公式一样，范围不一样，椭圆的离心率在 （0,1）之间，双曲线的离心率在（1，＋∞）之间， 抛物线的离心率为1，
考题剖析
例 1、 （2007 安徽文）若圆 x 2 y 2 2x 4 y 0 的圆心到直线
x y a 0 的距离为
2 2
,则 a 的值
2 2 解 ： 因 为 圆 x y 2x 4 y 0 的 圆 心 (1 ， 2) 到 直 线
x y a 0 的距离为
2
y P A M C x B
2
2
2
2 2 2 x 8 y ( x 1) ( y 5) 106 即：
2 2 化简得： x 7 x y 5 y 8 0
2 2 x 7 x y 5 y 8 0 在圆 C 内 故中点 M 的轨迹是圆
部的一段弧。
2
若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF 2 2 ，则有
2 2 3 k2 1 k
2
2 2 k 4 k 2 2 0, 解得 2 k 2.
③
综合②、③知，直线 l 的斜率的取值范围为
k [ 2, 2]且k 1
［点评］本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几 何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及 综合解题能力.
例 4、 (2008 重庆理)直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3) 相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1） ，则直线 l 的方程为
解：设圆心 O(1, 2) ，直线 l 的斜率为 k ， 弦 AB 的中点为 P，PO 的斜率为 kop ， kop 由点斜式得 y x 1
圆心到直线 x y 1大于 a ，
| a 1| 即： 2 ＞ a ，且 a
0，
解得：0＜ a ＜ 2 －1，
［点评］本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线 与圆的位置关系。
考题剖析
例 3、(2008 重庆理)圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和 圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系是
2 1 k 0 ∴ 2 2 (4k ) 4 6(1 k ) 0
k 1 , 3 k 3
∴k ( 3, 3)且k 1
②
4k 6 , x x x1+x2= 1 k 2 1 2 1 k ,于是
设 E（x，y） ，F(x2,y2)，则由①式得 ｜EF｜＝ ＝
考题剖析
例 7、 （2008 辽宁理）在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两
点 (0, 3),(0, 3) 的距离之和为 4, 设点 P 的轨迹为 C, 直线 y kx 1 与 C 交于 A,B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA OB ,求 k 的值; ⑶若点 A 在第一象限,证明:当 k 0 时,恒有 OA OB .
解：配方，得：圆 O1： （x－１）2＋y2＝１， 圆 O2：x2＋（y－２）2＝４， 圆心为（１，０） ， （０，２） ，半径为 r＝１，Ｒ＝２， （0 - 2）＝ 5 ， 圆心之间距离为： （1- 0） 因为２－１＜ 5 ＜２＋１， 所以，两圆相交．
2 2
［点评］两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距 离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．
［点评］合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的 关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理， 垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。
考题剖析
考点四：有关圆锥曲线的定义的问题 【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是
经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，
经常在选择题、填空题中也有出现量，椭圆的定义、标准方程 及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何 知识解决问题的能力
考题剖析
例 8、 （2008 湖北理）如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直
径的半圆 ADB 中，OD⊥AB，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°， 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的 轨迹，且曲线 C 过点 P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.若△ OEF 的面积不小于 ．．．2 ． 2 ，求直线 l 斜率的取值范围.
考题剖析
考点二：直线、圆的方程问题 【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、 两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点， 根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆
的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，
经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与 直线平行、垂直等问题。
考题剖析
∴
|1 2 a | 2 2 ，∴ 2
2 2
，
a=2 或 0
［点评］本题考查圆的方程，点到直线的距离公式， 属容易题。
考题剖析
2 2 x y 2ay 0(a 0) 例 2（ 、 2006 安徽卷） 直线 x y 1与圆
没有公共点，则 a 的取值范围是
2 2 x y 2ay 0(a 0) 的圆心 (0, a) ，半径为 a ， 解：由圆
解： （Ⅰ）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以
(0， 3)，， (0 3) 为 焦 点 ， 长 半 轴 为 2 的 椭 圆 ． 它 的 短 半 轴
b 22 ( 3) 2 1 ，
y2 故曲线 C 的方程为 x 4 1
2
考题剖析
2 y2 1， x 4 （Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，其坐标满足 y kx 1.
圆心坐标： C (1, 5) 由题意可得直线 l 经过圆 C 的圆心，由两点式方程得：
y 0 x8 5 0 1 8 ，化简得： 5 x 9 y 40 0 ，
所以，所求直线 l 的方程是： 5x 9 y 40 0
考题剖析
（2）解：设中点 M x, y ， ∵CM⊥PM ∴ PCM 是直角三角形， 有： PM MC PC
考题剖析
例９、 (2008 江西文、 理) 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点． 满
足 MF1 · MF2 ＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值 范围是
解： 由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆 ,
2 2 2 2 2 c b c b a c e 则
1 2
又 e (0,1) ,所以 e (0,
，
因为 l PO ，所以 k kop k (1) 1k 1，
［点评］本小题考查平面几何中的垂径定理，圆的 标准方程，直线的点斜式方程等知识。
考题剖析
例 5、(2008 天津文)已知圆 C 的圆心与点 O（－2,1）关于
直线 y=x+1 对称．直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A、B 两 点，且｜AB｜＝6，则圆 C 的方程为
［点评］考查直线与圆的方程问题，经常用到平 面几何知识，如垂径定理、勾股定理等。
考题剖析
考点三： 曲线（轨迹）方程的求法 【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常
见的求轨迹方程的方法：
（1）单动点的轨迹问题——直接法＋ 待定系数法；
（2）双动点的轨迹问题——代入法；
（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。 【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现， 属中档题。
解：点 P（－2,1）关于直线 y=x＋1 对称点为
（0，－1） ，即圆心的坐标为（0，－1） ， 圆心到直线的距离为：
| 4 11 | 32 4 2
2
，
2
(4 11) 2 18 ， 由垂径定理，勾股定理，得 r 3 52
2 2 x ( y 1) 18 ． 所以，圆的方程为
2 ) 2
［点评］本题考查向量垂直，圆的判定，椭圆 的离心率等知识，属中档题。
考题剖析
2 2 2 9 y m x 1(m 0) 的 例 1０、(2008 辽宁文) 已知双曲线
2010届高三数学复习－－几何部 分
解析几何
考题剖析
考点一：点、直线、圆的位置关系问题 【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、 直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到 直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、 圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆 相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距 离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位 置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种， 一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与 两圆的半径之和或差比较。
考题剖析
例 6、 （2008 广东吴川模拟）已知点 P（－8,0）和圆 C：
x 2 y 2 2 x 10y 4 0 。
（1）求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l 的方程； （2）过 P 点向圆 C 引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。
2 2 解:（1）化圆的方程为： x 1 y 5 22 ，
3 3k 2 2k 2 于是 x1 x2 y1 y2 k 2 4 k 2 4 k 2 4 1 0 ，
化简得 4k
2
1 k 1 0 ，所以 2．
2 2 2 2 OA OB x y ( x y （Ⅲ） 1 1 2 2)
2 2 ( x12 x2 ) 4(1 x12 1 x2 )
2
( x1 x 2 ) 2 ( y1 x 2 ) 2 (1 k 2 )( x1 x 2 ) 2
2 2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 1 k
2 2 3k2 1 k
2
.
考题剖析
而原点 O 到直线 l 的距离 d＝ 1 k 2 ，
2 1 1 2 2 2 3 k2 2 2 2 3k ∴S△DEF= 2 d EF 2 1 k 2 1 k 1 k 2 1 k 2 .
2
2
考题剖析
3( x1 x2 )( x1 x2 )
6k ( x1 x2 ) k2 4 ．
因为 A 在第一象限，故 x1 0 ．由 x1 x2 从而 x1 x2 0 ．又 k 故 OA OB 0 ， 即在题设条件下，恒有 OA OB ．
2 2
3 x k2 4 知 2
消去 y 并整理得 (k 2 4) x2 2kx 3 0 ， 故 x1 x2
2k 3 ， x x 1 2 k2 4 k2 4 ．
2 若 OA OB ，即 x1 x2 y1 y2 0 ．而 y1 y2 k x1x2 k ( x1 x2 ) 1 ，
∴曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，
考题剖析
则 c＝2，2a＝2 2 ，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
x2 y2 1 ∴曲线 C 的方程为 2 . 2
(Ⅱ)依题意，可设直线 l 的方程为 y＝kx+2，代入双曲线 C 的方程并整 理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，
解： （1）以 O 为原点，AB、OD 所在直
线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A（-2，0） ，B（2，0） ，D(0,2),P（ 3,1 ） ， 依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜
2 2 2 2 ＝ (2 3 ) 1 （2 3） 1 ＝2 2 ＜｜AB｜＝4.
考题剖析
考点五：圆锥曲线的几何性质 【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称 性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐 标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、 离心率和准线方程等内容， 离心率公式一样，范围不一样，椭圆的离心率在 （0,1）之间，双曲线的离心率在（1，＋∞）之间， 抛物线的离心率为1，
考题剖析
例 1、 （2007 安徽文）若圆 x 2 y 2 2x 4 y 0 的圆心到直线
x y a 0 的距离为
2 2
,则 a 的值
2 2 解 ： 因 为 圆 x y 2x 4 y 0 的 圆 心 (1 ， 2) 到 直 线
x y a 0 的距离为
2
y P A M C x B
2
2
2
2 2 2 x 8 y ( x 1) ( y 5) 106 即：
2 2 化简得： x 7 x y 5 y 8 0
2 2 x 7 x y 5 y 8 0 在圆 C 内 故中点 M 的轨迹是圆
部的一段弧。
2
若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF 2 2 ，则有
2 2 3 k2 1 k
2
2 2 k 4 k 2 2 0, 解得 2 k 2.
③
综合②、③知，直线 l 的斜率的取值范围为
k [ 2, 2]且k 1
［点评］本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几 何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及 综合解题能力.
例 4、 (2008 重庆理)直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3) 相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1） ，则直线 l 的方程为
解：设圆心 O(1, 2) ，直线 l 的斜率为 k ， 弦 AB 的中点为 P，PO 的斜率为 kop ， kop 由点斜式得 y x 1
圆心到直线 x y 1大于 a ，
| a 1| 即： 2 ＞ a ，且 a
0，
解得：0＜ a ＜ 2 －1，
［点评］本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线 与圆的位置关系。
考题剖析
例 3、(2008 重庆理)圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和 圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系是
2 1 k 0 ∴ 2 2 (4k ) 4 6(1 k ) 0
k 1 , 3 k 3
∴k ( 3, 3)且k 1
②
4k 6 , x x x1+x2= 1 k 2 1 2 1 k ,于是
设 E（x，y） ，F(x2,y2)，则由①式得 ｜EF｜＝ ＝
考题剖析
例 7、 （2008 辽宁理）在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两
点 (0, 3),(0, 3) 的距离之和为 4, 设点 P 的轨迹为 C, 直线 y kx 1 与 C 交于 A,B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA OB ,求 k 的值; ⑶若点 A 在第一象限,证明:当 k 0 时,恒有 OA OB .
解：配方，得：圆 O1： （x－１）2＋y2＝１， 圆 O2：x2＋（y－２）2＝４， 圆心为（１，０） ， （０，２） ，半径为 r＝１，Ｒ＝２， （0 - 2）＝ 5 ， 圆心之间距离为： （1- 0） 因为２－１＜ 5 ＜２＋１， 所以，两圆相交．
2 2
［点评］两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距 离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．
［点评］合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的 关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理， 垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。
考题剖析
考点四：有关圆锥曲线的定义的问题 【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是
经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，
经常在选择题、填空题中也有出现量，椭圆的定义、标准方程 及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何 知识解决问题的能力
考题剖析
例 8、 （2008 湖北理）如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直
径的半圆 ADB 中，OD⊥AB，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°， 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的 轨迹，且曲线 C 过点 P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.若△ OEF 的面积不小于 ．．．2 ． 2 ，求直线 l 斜率的取值范围.
考题剖析
考点二：直线、圆的方程问题 【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、 两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点， 根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆
的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，
经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与 直线平行、垂直等问题。
考题剖析
∴
|1 2 a | 2 2 ，∴ 2
2 2
，
a=2 或 0
［点评］本题考查圆的方程，点到直线的距离公式， 属容易题。
考题剖析
2 2 x y 2ay 0(a 0) 例 2（ 、 2006 安徽卷） 直线 x y 1与圆
没有公共点，则 a 的取值范围是
2 2 x y 2ay 0(a 0) 的圆心 (0, a) ，半径为 a ， 解：由圆
解： （Ⅰ）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以
(0， 3)，， (0 3) 为 焦 点 ， 长 半 轴 为 2 的 椭 圆 ． 它 的 短 半 轴
b 22 ( 3) 2 1 ，
y2 故曲线 C 的方程为 x 4 1
2
考题剖析
2 y2 1， x 4 （Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，其坐标满足 y kx 1.
圆心坐标： C (1, 5) 由题意可得直线 l 经过圆 C 的圆心，由两点式方程得：
y 0 x8 5 0 1 8 ，化简得： 5 x 9 y 40 0 ，
所以，所求直线 l 的方程是： 5x 9 y 40 0
考题剖析
（2）解：设中点 M x, y ， ∵CM⊥PM ∴ PCM 是直角三角形， 有： PM MC PC
考题剖析
例９、 (2008 江西文、 理) 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点． 满
足 MF1 · MF2 ＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值 范围是
解： 由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆 ,
2 2 2 2 2 c b c b a c e 则
1 2
又 e (0,1) ,所以 e (0,