利用导数探究函数的零点问题专题讲座 PPT

当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所 以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞， 0)和(1，＋∞)上单调， 所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点. 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3， －1). 探究提高 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条 件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如 本题第(2)问中的切线过点(1，t).
一：复习旧知
函数零点
函数与方程
函数与图像
使函数 ffxx00 的 实数 x
方程 ffxx00 的实
数解
函数 y f f xx 的图像
与 xx 轴交点的横坐
标
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标。
等价关系：
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点的存在性定理
f ( x)在 a, b 上连续 f ( x)在 a, b 上单调
f(a)f(b)0
f ( x)在 a有,b 唯一 零点
除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？ 等价关系
函数 y F(x) f (x) g(x) 有零点
方程 F(x) f (x) g(x) 0 有实数根
1、三次函数的图象四种类型
2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，因此 只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1 ＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
一、三次函数的零点问题
x (,0) 0 (0,2) 2 (2,)
f (x)
0－
0
f (x)
↗
a ↘ a4 ↗
因此函数 f (x) 的极大值是 f (0) a,
极小值是 f (2) a 4.
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.
巩固练习1
已 知 函 数 f(x)=x3-x2-x+a 的 图 象 与 x 轴 仅有一个交点，求实数a的取值范围.
故函数 f (x) 的极大值是 f ( 1) 5 a, 极小值是 f (1) a 3 27
要使函数 f (x) x3 x 2 x a 的图象与 x 轴仅有一个交点
f (x)
↗
5 a ↘ a 1 ↗
27
故函数 f (x) 的极大值是 f ( 1) 5 a, 极小值是 f (1) a 1. 3 27
(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值
范围.
解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.
令
f′(x)＝0，得
x＝－
22或
x＝
2 2.
因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，f
22＝－
2，f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
要使函数 f (x) x3 x 2 x a 的图象与 x 轴仅有一个交点，
则需
f
( x) 极大
5 27
a
0或
f
( x) 极小
a 1
0，
解得 a 5 或 a 1.故实数 a 的取值范围为 , 5 1, .
27
27
已知函数 f(x)＝2x3－3x.
巩固练习2
(1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值. 当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和[1，＋∞)上分别至多有1 个零点，所以g(x)至多有2个零点. 当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1 个零点，所以g(x)至多有2个零点.
方程组
y1 y2
f( g(
x) x)
有实数根
函数 y1 f (x) 与 y2 g(x) 的图象有交点
导数在函数零点问题上的应用
零数
零位
导数的 应用
参数范 围
数形 结合
函数零点
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
研究两条曲线的交点个数的基本方法
(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.
－
22＝
2.
(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)， 则 y0＝2x30－3x0，且切线斜率为 k＝6x20－3， 所以切线方程为 y－y0＝(6x20－3)(x－x0)， 因此 t－y0＝(6x20－3)(1－x0). 整理得 4x30－6x20＋t＋3＝0， 设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3， 则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切”等价于“g(x) 有 3 个不同零点”. g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
利用导数探究 函数的零点问题专题讲座
全国卷高考数学题展示
a x x 0 (2014年全国卷）已知函数 f xax33x21，若 f
且
，则 的取值范围？
x
存在唯一的零点
0，
0
高考地位
函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年 全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它 可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中 与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了高 考新的热点和亮点.
解： f (x) 3x2 2x 1 (3x 1)( x 1)
由 f (x) 0 得， x 1 或 x 1 3
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x (, 1) 1 ( 1 ,1) 1 (1,)
3
3
3
f (x)
0
Байду номын сангаас
－
0
f (x)
↗
5 a ↘ a 1 ↗
27
例1：
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.
解：易知该函数的定义域是 R，
f (x) 3x 2 6x 3x(x 2)
由 f (x) 0 得， x 0或 x 2
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：