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解 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本 事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中 的基本事件总数)为5！。
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
6码问题 在7位数的电话号码中,求各位
数字互不相同的概率. (答案 : p P170 107 )
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
概率.
(答案 : p 3 63 )
6
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限
2 2
27
8
(2) 每个杯子只能放一个球 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
p
p44 p4
10
4321 10 9 8 7
1. 210
9
课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
(1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无
放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白
球,n个黑球的概率?
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球
样本点总数为
M m
N n
,
A 所包含的样本点个数为
故
M N
P( A)
m
n
M N
m
n
M m
N n
,
(答案 : 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. (答案 : p 2010 36520 )
10 10
10
5. 古典概型的概率的性质
(1)对于任意事件A , 0 P(A) 1
(2) P() 1, P() 0; (3) 对于两两互斥的有 (1) 限多个事件A1, A2, , Am , P( A1 A2 Am ) P(A1) P(A2 ) P( Am )
11
二、 例题选讲
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为"恰有一 次出现正面",求 P( A1). (2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面",求 P( A2 ). 解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
则 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
1)某指定n 间房中各有一人 ; 2)恰有 n间房，其中各有一人； 3) 某指定一间房中恰有m(m n) 人。
解 先求样本空间中所含样本点的个数。
首先，把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法，其 次，求每种情形下事件所含的样本点个数。
4
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A {前2次摸到黑球,第三次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
5
样本点总数为 101010 103,
A 所包含样本点的个数为 6 6 4,
14
❖ 注：计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列 有时用组合，那么，何时用排列何时用组合？一般 来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序” 时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及 所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都 要用排列，反之亦然
15
例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取
而 A1 {HTT , THT , TTH }. 得 P( A1 ) 3 8,
(2) A2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P( A2 ) 7 8.
12
nA 5
例2 设有编号为1,2,…,10的十个相同的球，一学生任 意取一球，求此球的号码是偶数的概率．
解 记i＝｛所取球的号码为i｝i=1,2,…10．显然，学 生抽到任一球的可能性是一样的，这是一个古典概型， 基本事件总数n=10，令A＝{所取球的号码为偶数} 则A所含的基本事件数nA=5，故所求概率为
P(A) nA 5 1 n 10 2
13
例3 一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1 卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成 12345的概率？
问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
7
4种 2
2种 2
2个 2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 4 2 34 2 .
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
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例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
6码问题 在7位数的电话号码中,求各位
数字互不相同的概率. (答案 : p P170 107 )
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
概率.
(答案 : p 3 63 )
6
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限
2 2
27
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(2) 每个杯子只能放一个球 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
p
p44 p4
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4321 10 9 8 7
1. 210
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课堂练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
(1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无
放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白
球,n个黑球的概率?
解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球
样本点总数为
M m
N n
,
A 所包含的样本点个数为
故
M N
P( A)
m
n
M N
m
n
M m
N n
,
(答案 : 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. (答案 : p 2010 36520 )
10 10
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5. 古典概型的概率的性质
(1)对于任意事件A , 0 P(A) 1
(2) P() 1, P() 0; (3) 对于两两互斥的有 (1) 限多个事件A1, A2, , Am , P( A1 A2 Am ) P(A1) P(A2 ) P( Am )
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二、 例题选讲
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为"恰有一 次出现正面",求 P( A1). (2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面",求 P( A2 ). 解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
则 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
1)某指定n 间房中各有一人 ; 2)恰有 n间房，其中各有一人； 3) 某指定一间房中恰有m(m n) 人。
解 先求样本空间中所含样本点的个数。
首先，把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法，其 次，求每种情形下事件所含的样本点个数。
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(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A {前2次摸到黑球,第三次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
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样本点总数为 101010 103,
A 所包含样本点的个数为 6 6 4,
14
❖ 注：计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列 有时用组合，那么，何时用排列何时用组合？一般 来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序” 时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及 所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都 要用排列，反之亦然
15
例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取
而 A1 {HTT , THT , TTH }. 得 P( A1 ) 3 8,
(2) A2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P( A2 ) 7 8.
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nA 5
例2 设有编号为1,2,…,10的十个相同的球，一学生任 意取一球，求此球的号码是偶数的概率．
解 记i＝｛所取球的号码为i｝i=1,2,…10．显然，学 生抽到任一球的可能性是一样的，这是一个古典概型， 基本事件总数n=10，令A＝{所取球的号码为偶数} 则A所含的基本事件数nA=5，故所求概率为
P(A) nA 5 1 n 10 2
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例3 一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1 卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成 12345的概率？
问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
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4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
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4种 2
2种 2
2个 2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 4 2 34 2 .