材料成型力学第二章

σz +
∂σ z dz ∂z
τ zθ +
∂τ zθ dz ∂z
∂τ rθ 1 ∂σ θ ∂τ zθ 2τ rθ + + + =0 ∂r r ∂θ ∂z r
∂τ rz 1 ∂τ θz ∂σ z τ rz + + + =0 ∂r r ∂θ ∂z r
τ zθ
σz
2.2 应力边界条件及接触摩擦 2.2.1 应力边界条件方程 z
z
略去四阶无穷小 量，约简后得
y x
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
x0
τ yz dxdydz = τ zy dxdydz
τ yz
dz x0 dy
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
τ yz = τ zy
τ zy
dx
∑M
y
=0
∑M
z
=0
τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz
k
m
边界种类
自由表面; 一般情况下， 在工件的自由表面上， 自由表面 ; 一般情况下 ， 在工件的自由表面上 ， 既没 有正应力，也没有剪应力作用。只是在某些特殊情况下， 有正应力，也没有剪应力作用。只是在某些特殊情况下，工 件的自由表面受到来自周围介质的强大的压缩正应力作用。 件的自由表面受到来自周围介质的强大的压缩正应力作用。 工件与工具的接触表面; 工件与工具的接触表面; 变形区与非变形区的分界面。 变形区与非变形区的分界面。
一、密赛斯屈服准则
f (σ ij ) = 0
′ 2 2 2 I 2 = −(σ ′ σ ′ + σ ′ σ ′ + σ ′σ ′ ) + τ xy + τ yz + τ zx x y y z z x
' I2 =
1 2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy + τ yz + τ zx = C 6
0 τ yx Tσ = τ xy 0 0 0
σ 1 Tσ = 0 0
0 0 0
σ 1 − σ 3 = 2k
0 0 0 0 0 σ3
σ1 −σ3 = σ s = 2k
两者 比较
k =
σ
2
s
优点：计算比较简单，有时也比较符合实际， 优点：计算比较简单，有时也比较符合实际，所 以比较常用。 以比较常用。 缺点：未反映出中间主应力的影响， 缺点：未反映出中间主应力的影响，故仍有不足 之处。
y
dz
τ yx +
τ yx
y
dy
dy
σx τ yx
dx
τ zx
σx +
σx
x
dx
∂τ zx τ = τ zx + dz ∂z
1 zx
z
τ zx +
τ zx
z x
dz
o
∑X =0
∂τ yx ∂σ x dx dydz − σ x dydz + τ yx + dy dxdz − τ yx dxdz σ x + ∂x ∂y
y
ds
x
2.2.2 金属塑性加工中的接触摩擦
τ f = fσ n
高f 区 常f 区 常摩擦力区
τf τf
f f
C
σn
影响摩擦系数的因素 接触物质的性质 温度 表面粗糙度 润滑
dv τ f =η dy
f
I vs II
f 与vs的关系 I－半干摩擦区； II－湿摩擦区
τ f = mk
τf
摩擦剪应力，MPa 摩擦剪应力， 屈服剪应力， 屈服剪应力，MPa 摩擦因子；m = 0 ~ 1.0 摩擦因子；
2.4 屈服准则 2.4.1 屈服准则的含义 2.4.2屈雷斯卡 屈雷斯卡(Tresca)屈服准则（最大剪应力理论） 屈服准则（ 屈雷斯卡 屈服准则 最大剪应力理论） 无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最 无论是简单应力状态还是复杂应力状态， 大剪应力达到极限值就发生屈服
τ max =
单向拉伸
=
( ) + ( σ ) + (σ )
2 ' 2 2 ' 3
2
' ' ' ' − v σ 1'σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1'
(
)
1+ v 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 6E
Wf =
1+ v 2 σs 3E
7)力平衡微分方程的物理意义是什么？ 7)力平衡微分方程的物理意义是什么？ 力平衡微分方程的物理意义是什么 8)写出应力边界条件方程. 8)写出应力边界条件方程. 写出应力边界条件方程
8) 某点塑性变形图如图,已知 σ s = 10 MPa,σ 3 = −30MPa 某点塑性变形图如图, 求未知主应力,并绘出应力状态图. 求未知主应力,并绘出应力状态图.
-80
-100
-100
-100
100
-100
100
-80
4)某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的 4)某材料进行单向拉伸试验， 某材料进行单向拉伸试验 p 断面积 = 100mm 2 ，载荷为 = 6000 N F （1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与 求此瞬间的应力分量、 球分量； 球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； 画出应力状态分解图，写出应力张量； 画出变形状态图； （3）画出变形状态图； 此时材料的屈服极限是多少？ （4）此时材料的屈服极限是多少？ 5)已知应力状态和对 5)已知应力状态和对 应的变形状态如图所 示，如果材料的屈服 极限为200MPa，则应 极限为 ， 是多少？ 力 σ 2 和 σ 3 是多少？
可以表示成如下的简化形式
∂ σ ij ∂x j
= 0
∑M
x
=0
∂τ zy ∂τ yz dy dz dz dy τ zy + − τ yz dxdz =0 dz dxdy + τ zy dxdy − τ yz + dy dxdz 2 ∂z ∂y 2 2 2
化简，并略去髙 化简，并略去髙阶小量
∂σ r 1 ∂τ rθ σ r − σ θ + + = 0 ∂r r ∂θ r ∂τ θr 1 ∂σ θ 2τ rθ + + =0 ∂r r ∂θ r
2.1.3 圆柱面坐标系的平衡方程
∂σ r 1 ∂τ θr ∂τ zr σ r − σ θ + + + =0 ∂r ∂z r ∂θ r
纳达依（ 纳达依（Nadai）解释 ）解释——几何意义 几何意义
τ8 =
1 3
(σ 1 − σ 2 )
2
+ (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = C
2 2
x z
x+dx z+dz
x
0
z
2.1 力平衡微分方程
2.1.1 直角坐标系的力平衡微分方程
y
dz
τ yx +
τ yx
y
dy
dy
σx τ yx
dx
τ zx
σx +
σx
x
dx
τ zx +
τ zx
z x
dz
o z
∂σ x 1 σx =σx + dx ∂x ∂τ yx 1 τ yx = τ yx + dy ∂y
ε3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱε1
9) 平面应力的主应力图为( 平面应力的主应力图为( 平面变形的主应力图为( 平面变形的主应力图为(
) )
10) 推导屈雷斯卡塑性条件,指明 k 与 σ s关系及存 推导屈雷斯卡塑性条件, 在不足. 在不足.
2.4.3 密赛斯 密赛斯(Mises)屈服准则（变形能定值理论） 屈服准则（ 屈服准则 变形能定值理论）
σ3
ε3
σ2
ε1
6)已知应力状态和对应的变形状态如图所示，如 6)已知应力状态和对应的变形状态如图所示， 已知应力状态和对应的变形状态如图所示 果材料的屈服极限为200MPa，则应力 σ 2 和 σ 3 果材料的屈服极限为 ， 是多少？ 是多少？
σ3
ε3
σ2
ε2
ε1 = ε 2
σ 1 = −50MPa
(
)
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 6k 2 = 2σ s2
两者 比较
k=
σs
3
= 0.577σ s
汉基（ 汉基（Hencky）解释 ）解释——物理意义 物理意义 1 ε1 = σ 1 − v (σ 2 + σ 3 ) E 1 ε 2 = σ 2 − v (σ 1 + σ 3 ) E
N (l m n ) y
px = S x = σ xl + τ yx m + τ zx n
p y = S y = τ xy l + σ y m + τ zy n
ds o
S
p z = S z = τ xz l + τ yz m + σ z n
x z
l = m = 0 n =1
p x = τ zx p y = τ zy pz = σ z
∂τ + τ θr + θr dθ dr ⋅1 − τ θr dr ⋅1 = 0 ∂θ
o dθ
θ r
x a τ θr dr
σr τ σθ + σθ dθ θ
d
σθ
rθ
dθ 2 b
τ rθ +
σ r+
∂ τ rθ dr ∂r
σr
圆周方向力平衡微分方程
y
c
τ θr +
∂τ θr dθ ∂θ
r
dr
r
∂σ θ ∂τ θr dθ dθ dθ dr ⋅ 1 − σ θ dr ⋅ 1 + τ θr + dθ dr ⋅ + τ θr dr ⋅ σ θ + 2 2 ∂θ ∂θ
∂τ + τ rθ + rθ dr (r + dr )dθ − τ rθ rdθ = 0 ∂r
1 ε 3 = σ 3 − v (σ 2 + σ 1 ) E
1 1 2 2 σ 12 + σ 2 + σ 3 − v (σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) W = ( ε1σ 1 + ε 2σ 2 + ε 3σ 3 ) = 2 2E
1 ' Wf = σ 1 2E
例题
1）试解释轧制时， ）试解释轧制时， 为什么加前、 为什么加前、后张 力能降低轧制力？ 力能降低轧制力？ 2）拉拔时，为什么 ）拉拔时， 拉拔应力小于变形抗 力也能实现拉拔过程
σb
p p
σf
p
3)某材料屈服极限为 3)某材料屈服极限为 σ s = 180MPa ，试判断如图 所示应力状态中 （1）哪种已经进入变形状态 （2）画出变形状态图 如果已经发生了很大塑性变形， （3）如果已经发生了很大塑性变形，此时的 屈服极限是多少？ 屈服极限是多少？
σ1 −σ 3
2
=C
σ1 = σ s
σ1 = σ s
σ3 = 0
τ max = σ s 2 = C
σ1 −σ 3 = σ s
纯剪应力状态
y
σ3
τ yx
σ1 τ xy
o
x
τ xy ≠ 0
主状态
σ x = σ y = σ z = τ yz = τ zx = 0
σ 1 = −σ 3 = τ xy = k
∂τ zx + τ zx + dz dxdy − τ zx dxdy = 0 ∂z
dV = dxdydz ≠ 0 ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + =0 ∂x ∂y ∂z
∑Y = 0
∑Z = 0
∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ zy ∂z =0
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + =0 ∂x ∂y ∂z
多媒体课件
材料成形力学
主 讲
王平
材料与冶金学院
东北大学
第二章 变形力学方程
σ x Tσ = τ xy τ xz
τ yx τ zx σ y τ zy τ yz σ z
y P1 P y+dy y
σ 1 τ 1 τ 1 yx zx 1x 1 1 1 Tσ = τ xy σ y τ zy τ 1 τ 1 σ 1 yz z xz
剪应力互等定理
用极坐标表示的力平衡微分方程（平面变形） 2.1.2 用极坐标表示的力平衡微分方程（平面变形）
径向力平衡微分方程
∂σ ∂σ dθ dθ σ r + r dr (r + dr )dθ − σ r rdθ − σ θ + θ dθ dr − σ θ dr 2 ∂r ∂θ 2
1 2 2 2 I = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = C 6
' 2
[
(
)]
[
]
单向拉伸
σ x = σ1 = σ s
1 2 C = σs 3
纯剪应力状态
σ 1 = −σ 3 = τ xy = k
2 2
C=k
2
(σ
x
2 2 2 − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 τ xy + τ yz + τ zx = 6k 2 = 2σ s2 2