函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法

摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．

关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。

引 言

极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.

函数的极限主要表现在两个方面：

一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况.

二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点

（一）“0x x →”形：

定义1：如果对0>∀ε（不论它多么小），总0>∃δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：

ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为

A

x f n =∞

→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）

注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>∃δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧

∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些.

2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.

3：几何解释：对0>∀ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.由定义，对此0,>∃δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当),(0δ∧

∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见δ不唯一！

例1证明32121lim 221=

---→x x x x . 证明：对0>∀ε，

因为,1≠a 所以

)12(313212132121.012

2+-=-++=----⇒≠-x x

x x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为110<-

即20<

因为31)12(31,112-<+-⇒>+x x x

x ，要使ε<----321212

2x x x ,只须

ε

<-31

x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释），

当δ<-<10x 时，有ε<----321212

2x x x .

定理1：（保号性）设A

x f x

x =→)(lim 0

，

（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧

∈x U x 时，0)(>x f )0)((

注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”. 在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A . 定义2：对0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为

A

x f x x =-→)(lim 0

0或

A x f =-)0(.[A

x f x x =+→)(lim 0

0或A x f =+)0(0].

定理2：（充要条件）A

x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 0

000

.

（二）“∞→x ”形：

定义3：设)(x f 当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >∃>∀ε，

当X x >时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当∞→x 时的极限， 记为A

x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.

注1：设)(x f 在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>∃>∀X ε，当

)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当)(-∞→+∞→x x 时

的极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（A

x f x =-∞→)(lim ，

或A x f →)(（当-∞→x ））. 2：（充要条件）A

x f x f A x f x x x ==⇔=-∞

→+∞

→∞→)(lim )(lim )(lim .

3：若A

x f x =∞

→)(l i m ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若

A

x f x =+∞

→)(lim 或A

x f x =-∞

→)(lim ，有类似的渐近线）.

例2 证明0

sin lim

=∞→x x

x .

证明：对0>∀ε，因为x x x x x 1sin 0sin ≤=-，所以要使得ε<-0sin x x ，

只须εε11>⇒时，有ε<-0sin x x ，

所以0

sin lim

=∞→x x

x .

（三） 无穷小与无穷大 一、无穷小

定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为

)

0)(lim (0)(lim 0

==+∞

→→x f x f x x x .

注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形.

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.

定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时： （i ） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，

即：A 为)(x f 的极限A x f -⇔)(为无穷小.

（ii ） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是