第17章 多目标决策分析方法3
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(4) 确定实施方案: 依据各目标的属性值和决 策规则比较各可行方案，按优劣次序将方案排序， 确定出最佳的实施方案．
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
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一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素
多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则．
•决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
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4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
DxRX [ f1(x), X {x R
f2
N
( |
x),, f gi (x)
n (x)] 0,i
1,2,,
m}
(2)
其中 DR（decision rule）表示决策规则。
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1, f2 ,, fn 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题
opt{ f1( x), f2 (x),, fn ( x)} (3)
x X
的解．
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4、多目标决策问题的数学模型
设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的
比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元
资金用于下一年度 N 个预选项目的投资，对任何一
个投资项目都是风险与收益并存，而且风险随着收益 的增加而增大.
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一、多目标决策问题及模型
问题的非劣解集 X * 既可能是单元素集，也可是多
元素集． 如果是多元素集，则非劣解不唯一，决策人根据偏
好选择最佳的方案．
选择方案的方法：依据决策人的“偏好结构”，一般偏好
结构可用效用函数 u( f1( x), f2 ( x),, fn ( x)) 来表示非劣方
案的效用，即可转化为求解
maxu(
xX *
f1 ( x),
f2
( x),,
fn
(x))
(4)
的问题．
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二、多属性的效用函数
1、确定型的多属性效用函数
设 Y1,Y2 ,,Yn 分 别 表 示 n 个 属 性 所 有 可 能 值 的 集 合 ， Y Y1 Y2 Yn 为属性集。
某 一 个 确 定 的 x (x1, x2 ,, xN ) X ， 对 应 的 属 性
实际中，方案集 X 可以是有限的，或无限的．不妨设 x 的所
有约束都能用不等式表示出来，即
gi (x) 0,i 1,2,, m
（1）
方案集 X （又称决策空间中的可行域）可以表示为
X {x R N | gi ( x) 0,i 1,2,, m}
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一、多目标决策问题及模型
2. 多目标决策问题的解决过程
(1)问题的构成: 分析问题，明确主要因素、界 限和所处的环境等，确定问题的目标集．
(2)建立模型: 上一步的结果，建立问题的适 宜模型．
(3) 模型的分析与评价：对各可行方案进行分 析比较，为每一个目标标定属性（目标函数），其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量．
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4、多目标决策问题的数学模型
例如，设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题：
属性集：{ f1, f2 ,, fn}， 目标集：{ f1( x), f2 ( x),, fn ( x)} ，
方案集： X {x R N | gi ( x) 0,i 1,2,, m} ， 决策规则：若有某方案能使 f1, f2 ,, fn 都能达到最优，则
y ( y1, y2 ,, yn ) Y ，其中 yi Yi 表示对应于方案 x 的第 i
个属性 fi (x)(i 1,2,, n) 的取值．
为了简便，也称 y ( y1, y2 ,, yn ) 为方案，并用 vi 表示第 i (i 1,2,, n) 个属性的价值函数．
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一、多目标决策问题及模型
4、多目标决策问题的数学模型
设 X 为方案集，决策变量 x (x1, x2, , xN ) X 为方案，
属 性 f1(x), f2 (x),, fn (x) 表 示 目 标 函 数 ． 对 于 给 定 的 x X ，由目标函数可以确定每一个属性 f1, f2 ,, fn 的值．
第17章 多目标决策分析方法
多目标决策问题及模型； 多属性效用函数的理论； 多目标决策问题的非劣解； 多目标群决策问题的解； 案例分析：股份制公司的综合投资。
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一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
公司要确定下一年度的投资组合方案问题,在可供选 择的多个候选方案中，往往都是收益与风险并存．如何选 择合适的投资组合方案，使收益最高，风险最小呢?
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1、 确定型的多属性效用函数
如果一个偏好结构的价值函数 v( y) 能用加性表示时，则
v( y) k1v1( y1) k2v2 ( y2 ) knvn ( yn )
(5)
n
其中 ki (i 1,2,, n) 为标度常数，且 ki 1．
1.问题的引入---综合投资问题
每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有关(即可视为随机变量)，其期望值分别为
pi , ri (i 1,2,, N ) ．董事会规定，如果确定投资某 一个项目，则该项目至少投资 m 万元．
问题：董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案．
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一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素
多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则．
•决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
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4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
DxRX [ f1(x), X {x R
f2
N
( |
x),, f gi (x)
n (x)] 0,i
1,2,,
m}
(2)
其中 DR（decision rule）表示决策规则。
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1, f2 ,, fn 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题
opt{ f1( x), f2 (x),, fn ( x)} (3)
x X
的解．
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4、多目标决策问题的数学模型
设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的
比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元
资金用于下一年度 N 个预选项目的投资，对任何一
个投资项目都是风险与收益并存，而且风险随着收益 的增加而增大.
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一、多目标决策问题及模型
问题的非劣解集 X * 既可能是单元素集，也可是多
元素集． 如果是多元素集，则非劣解不唯一，决策人根据偏
好选择最佳的方案．
选择方案的方法：依据决策人的“偏好结构”，一般偏好
结构可用效用函数 u( f1( x), f2 ( x),, fn ( x)) 来表示非劣方
案的效用，即可转化为求解
maxu(
xX *
f1 ( x),
f2
( x),,
fn
(x))
(4)
的问题．
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二、多属性的效用函数
1、确定型的多属性效用函数
设 Y1,Y2 ,,Yn 分 别 表 示 n 个 属 性 所 有 可 能 值 的 集 合 ， Y Y1 Y2 Yn 为属性集。
某 一 个 确 定 的 x (x1, x2 ,, xN ) X ， 对 应 的 属 性
实际中，方案集 X 可以是有限的，或无限的．不妨设 x 的所
有约束都能用不等式表示出来，即
gi (x) 0,i 1,2,, m
（1）
方案集 X （又称决策空间中的可行域）可以表示为
X {x R N | gi ( x) 0,i 1,2,, m}
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2. 多目标决策问题的解决过程
(1)问题的构成: 分析问题，明确主要因素、界 限和所处的环境等，确定问题的目标集．
(2)建立模型: 上一步的结果，建立问题的适 宜模型．
(3) 模型的分析与评价：对各可行方案进行分 析比较，为每一个目标标定属性（目标函数），其 属性的值用作采用某方案时各个目标的一种度量．
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4、多目标决策问题的数学模型
例如，设有一个确定的无限个方案的多目标决策问题：
属性集：{ f1, f2 ,, fn}， 目标集：{ f1( x), f2 ( x),, fn ( x)} ，
方案集： X {x R N | gi ( x) 0,i 1,2,, m} ， 决策规则：若有某方案能使 f1, f2 ,, fn 都能达到最优，则
y ( y1, y2 ,, yn ) Y ，其中 yi Yi 表示对应于方案 x 的第 i
个属性 fi (x)(i 1,2,, n) 的取值．
为了简便，也称 y ( y1, y2 ,, yn ) 为方案，并用 vi 表示第 i (i 1,2,, n) 个属性的价值函数．
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一、多目标决策问题及模型
4、多目标决策问题的数学模型
设 X 为方案集，决策变量 x (x1, x2, , xN ) X 为方案，
属 性 f1(x), f2 (x),, fn (x) 表 示 目 标 函 数 ． 对 于 给 定 的 x X ，由目标函数可以确定每一个属性 f1, f2 ,, fn 的值．
第17章 多目标决策分析方法
多目标决策问题及模型； 多属性效用函数的理论； 多目标决策问题的非劣解； 多目标群决策问题的解； 案例分析：股份制公司的综合投资。
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一、多目标决策问题及模型
1.问题的引入---综合投资问题
公司要确定下一年度的投资组合方案问题,在可供选 择的多个候选方案中，往往都是收益与风险并存．如何选 择合适的投资组合方案，使收益最高，风险最小呢?
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1、 确定型的多属性效用函数
如果一个偏好结构的价值函数 v( y) 能用加性表示时，则
v( y) k1v1( y1) k2v2 ( y2 ) knvn ( yn )
(5)
n
其中 ki (i 1,2,, n) 为标度常数，且 ki 1．
1.问题的引入---综合投资问题
每个项目的收益和风险都与一些不确定的因素 有关(即可视为随机变量)，其期望值分别为
pi , ri (i 1,2,, N ) ．董事会规定，如果确定投资某 一个项目，则该项目至少投资 m 万元．
问题：董事会如何充分考虑公司的利益和综合各 股东的意见做出最后的投资决策方案．