自动控制系统的数学模型
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• 求: 系统动态方程。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 【解】： • ⑴ 对液位系统来讲，当 Q≠Q时，容器的液位就会发生变化，确定系统的输入变量为Q ，输出
变量为H ； • ⑵ 根据物质守衡定律，可列出流体流动的方程 •
• 即AdHQiQodt
• ⑶ 中d间H变量与Qi其他Q因o素的关系
• 与出口dt阀的阻力A和液箱液位有关。一般情况下， 和 是非线性关系。假设液位变化不大时，
越复杂(工程实用性变差) • 4.需正确处理好模型准确性与实用性(简化性)的矛盾,应紧紧围绕建模的目的做文章。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进行预测,并加以控制。控制精度与模型精度有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
零)； • ②在任一瞬间,系统状态可用几个独立变量完全确定； • ③被控量几个独立变量原始平衡状态下工作点确定后,当给定变化或有扰动时,它们在工作点
附近只产生微小偏差(增量)。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。 • 系统微分方程式的建立的基本步骤如下: • ⑴ 明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量； • ⑵ 对问题进行适当的简化，抓住能代表系统运动规律的主要特征，舍去一些次要因素，必要
• •
P根据F 牛顿t定 律kxtf dxt
dt
• ⑷ 消去中间变量，写成规范形式为
• P m d 2 xt
dt
m d2 d x t2 tfdx dttkxtFt
第二章 自动控制系统的数学模型 • [例2.2]液位系统的数学模型。下图是一个液位系统。
• 已知：液箱的横截面积质量A（m2） ，在稳定状态下，流入液箱的液体流量为Qi（m3/s） 和 流出液箱的液体流量为Q0（m3/s）相同，此时液箱液位为H（m） ，当流入液箱的流入量有 一增量时，液位的微增量dH 。
时也可进行一些合理的假设； • ⑶ 根据系统所遵循的物理、化学定律，从输入端开始，按照信号传递顺序，依次列出组成系
统各元件的微分方程； • ⑷ 消去中间变量，最后得到描述系统输出量与输入量的微分方程。 • ⑸ 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项写在方程左边，所有与输入变量有
关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。
可近似认为满足线性关系 •
• 式中R（s/m2） 为流出阀的液阻，是常量。
Qo
H R
第二章 自动控制系统的数学模型
• ⑷ 消去中间变量 Q，写成规范形式为
•
dH
RA dt
HRQi
• 若要研究流入量变化对流出量的影响，描述二者关系的微分方程为
•ຫໍສະໝຸດ Baidu
•
dQ 这说明，对o同一个物理系统，当研究的目的不同时，所得到的数学模型是不一样的。另外， RA Q RQ 微分方程中输入变量o和输出变量i 是指系统中具有因果关系的变量，必须和实际系统中具体物 dt 质的流入量和流出量区别开来。若要考虑其他更多的因素，微分方程将变得更加复杂。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 数学模型的种类: • ①经典:微分方程,差分方程,瞬态响应函数,传递函数,频率特性。 • ②现代:状态方程,状态空间表达式。 • 本章重点以机理分析法为基础,介绍微分方程,瞬态响应函数和传递函数的建立。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.1.1 动态微分方程式的编写 • 微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本数学模型。 • 建立微分方程的前提条件: • ①给定发生变化或出现扰动瞬间之前,系统应处于平衡状态,被控量各阶段导数为零。(初始为
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也称为白箱问题。根据控制系统内部的运动规律（物
理化学规律），分析各变量间的因果关系而建立起来的系统数学模型，这种方法也称为机理 建模。用机理分析法建立对象的数学模型时，对其内部所呈现的运动机理和科学规律，要十 分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，力求使建立的模型简单。 • 2.测试法(实验法,经验法)适用于机理未知系统,也成为黑箱问题或者灰箱问题。是根据实际测 试的数据，按一定的数学方法，归纳出系统的数学模型，即人为地在系统上加上某种测试信 号，如阶跃、脉冲或正弦等信号，用实验所得的输入和输出数据来辩识系统的结构、阶次和 参数，这种方法也称为系统辩识。 • 3.综合法:专门有一门课“系统辨识与参数估计”详细对此研究。
自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
• 关于数学模型，有如下几点说明: • 1.模型是系统内部本质信息的反映,这说明他不是实际过程的重现,并未考虑过程所有因素,而
只是抓住主要的本质的因素。 • 2.系统的本质特征与建模的目的密切相关。建模目的不同,系统的输入输出及结构 • 就不同,本质信息也不同,模型自然也不同。 • 3.模型的的精度与所考虑影响系统的因素有关,一般来说考虑的因素越多,模型越精确,当然也
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.1.2 非线性系统(数模)的线性化 • 对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很
小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一 邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们 称这一过称为非线性系统(数模)的线性化。 • 设系统的输入为X(t),输出为Y（t），且满足Y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。设t=t0时， x=x0,y=y0为系统的稳定工作点（x0,y0）,在该点处将f(x)泰勒展开为：
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模举例 • [例2.1]机械运动系统的数学模型。图是一个由弹簧、质量块和阻尼器构成的运动系统。
• 由弹簧、质量块和阻尼器构成的运动系统图 • 已知：弹簧系数 、质量 、外力 （N）、阻尼系数 。 • 求: 系统动态方程。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 【解】： • ⑴ 建立质量块在外力 作用下位移 变化的方程，确定系统 • 图2.1机械运动系统 的输入变量为 ，输出变量为 ； • ⑵ 为了使问题简化，我们忽略质量块重力的影响； • ⑶ 作用于质量块的合力为 •
第二章 自动控制系统的数学模型
• 【解】： • ⑴ 对液位系统来讲，当 Q≠Q时，容器的液位就会发生变化，确定系统的输入变量为Q ，输出
变量为H ； • ⑵ 根据物质守衡定律，可列出流体流动的方程 •
• 即AdHQiQodt
• ⑶ 中d间H变量与Qi其他Q因o素的关系
• 与出口dt阀的阻力A和液箱液位有关。一般情况下， 和 是非线性关系。假设液位变化不大时，
越复杂(工程实用性变差) • 4.需正确处理好模型准确性与实用性(简化性)的矛盾,应紧紧围绕建模的目的做文章。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进行预测,并加以控制。控制精度与模型精度有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
零)； • ②在任一瞬间,系统状态可用几个独立变量完全确定； • ③被控量几个独立变量原始平衡状态下工作点确定后,当给定变化或有扰动时,它们在工作点
附近只产生微小偏差(增量)。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 编写微分方程是描述系统动态特性最基本的方法。 • 系统微分方程式的建立的基本步骤如下: • ⑴ 明确要解决问题的目的和要求，确定系统的输入变量和输出变量； • ⑵ 对问题进行适当的简化，抓住能代表系统运动规律的主要特征，舍去一些次要因素，必要
• •
P根据F 牛顿t定 律kxtf dxt
dt
• ⑷ 消去中间变量，写成规范形式为
• P m d 2 xt
dt
m d2 d x t2 tfdx dttkxtFt
第二章 自动控制系统的数学模型 • [例2.2]液位系统的数学模型。下图是一个液位系统。
• 已知：液箱的横截面积质量A（m2） ，在稳定状态下，流入液箱的液体流量为Qi（m3/s） 和 流出液箱的液体流量为Q0（m3/s）相同，此时液箱液位为H（m） ，当流入液箱的流入量有 一增量时，液位的微增量dH 。
时也可进行一些合理的假设； • ⑶ 根据系统所遵循的物理、化学定律，从输入端开始，按照信号传递顺序，依次列出组成系
统各元件的微分方程； • ⑷ 消去中间变量，最后得到描述系统输出量与输入量的微分方程。 • ⑸ 写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项写在方程左边，所有与输入变量有
关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。
可近似认为满足线性关系 •
• 式中R（s/m2） 为流出阀的液阻，是常量。
Qo
H R
第二章 自动控制系统的数学模型
• ⑷ 消去中间变量 Q，写成规范形式为
•
dH
RA dt
HRQi
• 若要研究流入量变化对流出量的影响，描述二者关系的微分方程为
•ຫໍສະໝຸດ Baidu
•
dQ 这说明，对o同一个物理系统，当研究的目的不同时，所得到的数学模型是不一样的。另外， RA Q RQ 微分方程中输入变量o和输出变量i 是指系统中具有因果关系的变量，必须和实际系统中具体物 dt 质的流入量和流出量区别开来。若要考虑其他更多的因素，微分方程将变得更加复杂。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 数学模型的种类: • ①经典:微分方程,差分方程,瞬态响应函数,传递函数,频率特性。 • ②现代:状态方程,状态空间表达式。 • 本章重点以机理分析法为基础,介绍微分方程,瞬态响应函数和传递函数的建立。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.1.1 动态微分方程式的编写 • 微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本数学模型。 • 建立微分方程的前提条件: • ①给定发生变化或出现扰动瞬间之前,系统应处于平衡状态,被控量各阶段导数为零。(初始为
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也称为白箱问题。根据控制系统内部的运动规律（物
理化学规律），分析各变量间的因果关系而建立起来的系统数学模型，这种方法也称为机理 建模。用机理分析法建立对象的数学模型时，对其内部所呈现的运动机理和科学规律，要十 分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，力求使建立的模型简单。 • 2.测试法(实验法,经验法)适用于机理未知系统,也成为黑箱问题或者灰箱问题。是根据实际测 试的数据，按一定的数学方法，归纳出系统的数学模型，即人为地在系统上加上某种测试信 号，如阶跃、脉冲或正弦等信号，用实验所得的输入和输出数据来辩识系统的结构、阶次和 参数，这种方法也称为系统辩识。 • 3.综合法:专门有一门课“系统辨识与参数估计”详细对此研究。
自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
• 关于数学模型，有如下几点说明: • 1.模型是系统内部本质信息的反映,这说明他不是实际过程的重现,并未考虑过程所有因素,而
只是抓住主要的本质的因素。 • 2.系统的本质特征与建模的目的密切相关。建模目的不同,系统的输入输出及结构 • 就不同,本质信息也不同,模型自然也不同。 • 3.模型的的精度与所考虑影响系统的因素有关,一般来说考虑的因素越多,模型越精确,当然也
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.1.2 非线性系统(数模)的线性化 • 对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很
小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一 邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们 称这一过称为非线性系统(数模)的线性化。 • 设系统的输入为X(t),输出为Y（t），且满足Y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。设t=t0时， x=x0,y=y0为系统的稳定工作点（x0,y0）,在该点处将f(x)泰勒展开为：
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模举例 • [例2.1]机械运动系统的数学模型。图是一个由弹簧、质量块和阻尼器构成的运动系统。
• 由弹簧、质量块和阻尼器构成的运动系统图 • 已知：弹簧系数 、质量 、外力 （N）、阻尼系数 。 • 求: 系统动态方程。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 【解】： • ⑴ 建立质量块在外力 作用下位移 变化的方程，确定系统 • 图2.1机械运动系统 的输入变量为 ，输出变量为 ； • ⑵ 为了使问题简化，我们忽略质量块重力的影响； • ⑶ 作用于质量块的合力为 •