一道平面几何题的证明及共改进
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１ ４
中 等 数 学
一
道 平面 几何 题 的 证 明及共 改 进
谢 建 伟
（ 江 省 舟 山 中学 ，１０ ０ 浙 ３６ ０ ）
中圈 分 类 号 ： ２ ． ０１３ １
文 献标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ： ０ ５— ４ ６ ２ １ ）８—０ １ ０ １０ ６ １ （ ０ ２ ０ ０ ４— ２
同理 ， 、 ｈＡ 三线共点于 ｚ Ａ８ 。
图５
因为 Ｂ ／ Ｆ ＡＥ／Ａ ，Ｂ／ＡＦ， Ｅ／ Ｃ ， 。 ／ Ｃ Ａ ／ 。 所
以， 四边 形 Ａ 。 Ｂ Ａ Ｃ 为平行 四边 形 ， 且
Ａ Ｂ １ Ｃ Ｅ∽ △ Ｆ Ｃ Ｂ１ ．
于， 鲁 是 嚣＝
Ｃ
ＥＣｌ Ａ Ｂｌ Ａ Ｃ１一Ｆ Ｂ１
参考文献 ：
［ ］ 陶平生． 国高中数学 联赛模 拟题 （ ） Ｊ ． １ 全 ２ ［ ］ 中等数
学 ．０ ２ 增 刊 ） ２ １（ ．
又 Ａ 、。Ｇ 、 九点 圆 ∞ 上 ， 可设 Ａ 、。Ｃ 在 ， 则
ｏ０ 与ｏ ０ 交 于点 厶 ： 因为 Ｂ Ｌ为 ｏ ０。 ｏ ０ 与 的 公 共 弦 ， 所
２１ ０２年第 ８期
以，。２ 砚 ， ００ 上 即
Ｏ ｌ层 ． Ｈ＿ ￡ ＿
从 而 ，Ｌ即为直线 ｆ ８ ． 又 Ａ Ｃ 为 ｏＤ 与 圆 ９的公 共 弦 ，。 ０ 。。 ｌ Ａ Ｃ
为ｏＤ 与圆 ∞ 的公共 弦， 可结合 圆的根轴
性质 知 、。 。Ａ 三 线共 点于 ． Ａ ｃ 、。
故 Ｂ、 ０、 在 以 Ｂ 为 直 径 的 ｏ ０ Ａ、 Ｃ Ｏ 上 ， Ａ 、 Ｃ 在以 Ｂ 、 ０日、 ０ Ｈ为 直径 的ｏ ０ 上．
１
ｌ
． ｓ
ｌ
．
故 Ａ Ｅ ，三点共线． 、、
【 以上仅对图 ５给出证明 ， ６ 注】 图 情形
下 的证 明完全类 同．
《 中等数学） ０ ２年增刊 （ ） 登 的全 ） １ ２ １刊 国高中数学联赛模拟题 （ ） ２ 的加试部分第一
题是：
题 目 如 图 １２ 不 等边 △ Ａ Ｃ的外 心 、， Ｂ 为 ０， 重心 为 Ｇ Ａ 、 。ｃ 分别 是 边 Ｂ 、Ａ、 ， 。Ｂ 、 １ ＣＣ Ａ Ｂ的中点 ， 点 Ｂ、 过 ｃ分 别 作 Ｏ Ｇ的垂 线 、 ｆ， 与 Ａ ｃ 、 与 Ａ １ ｆ 。。ｚ 。 分别 交 于 点 Ｅ、 证 明 ： Ｅ、 、 Ｆ三点 共线． Ｊ ¨
ｌ
． １＾＋Ｓ△ ｓ Ｅ ＾
＝
Ｓｍ ｌｌｌ＋．△肌ｃ ＋ Ｓ Ａ Ａ＾ Ｂ ｓ ＡｒＢ
ｌ
ｌ
＝
Ｉ寺 Ｅ ｉ （・＋・ ＋・ １ｓ． ÷ ・ ÷ ）Ａ 号 。 ｃ ‘ ， 号 告 Ｊ ‘ ｔ 。 “ ｎ
③
＋Ｓ
＝
由式① 、 ③得 ②、
图７
． ｓ
则 ０、 Ｈ三点共 线 （ Ｇ、 欧拉线 ） ． 取边 Ｂ 、Ａ、Ｂ的 中点 Ａ 、 、 。 ＣＣ Ａ ｌ 。Ｃ．
线 Ｃ Ｂ 交 Ｆ、 Ａ
“＾ 的条件即可 ； ｆ ” ∥ｆ （ ） 增刊》 ２《 提供的证明中蕴含有很多精 Ｂ
图３
于 点 Ｐ， 图 如
３４ 过 Ｍ 作 、，
华部分 ： 运பைடு நூலகம்圆的根轴性质证共点 ， 借助面积
方 法证 共线 ， 这应 当是试 题原 创 的本 意所 在． 因此 ， 只能 “ 伪存 真 ”不 能简 单否定 ． 去 ，
图 ４
由 Ｚ 上 Ｏ Ｚ－ Ｏ 得 ６ Ｇ， ｌ Ｇ， ＿
留 ，Ａ 曰 ｃ
找到 一种可 以改进 的证 明． 证明 设
Ｐ
ｆ ６ ∥ｆ
。
一
Ｂ ｆＣ Ｍｆ Ｐ
ＡＭ ＡＮ
一 ＝ 一 ＝ 一
ＡＭ ＡＢ
Ａ Ａ Ｃ Ｐ ’４ Ａ ， ０ Ｐ
ｊ Ｎ Ｐ Ａ Ｆ Ｍ ｆ Ｑ Ｅ／ ．
故 、 Ｆ三 点共线 ． 、
（ ） 上 面 的 证 明 ， 在 原 题 结 论 情 形 １从 知
下 ， 以 忽 略 “ Ａ Ｃ 的 外 心 为 ０， 心 为 可 △ Ｂ 重 Ｇ ”的 条 件 （ 则 会 形 成 干 扰 支 ） 只 要 有 否 ，
直 线 Ｂ Ｃ Ｅ、 Ａ 交 于 点 ， 直
于是 ， 原题 可 以改 进为 ：
Ｍ ／Ａ Ｎ ／ Ｅ交直
线Ａ Ｂ于点 Ⅳ，
过 Ｐ作 Ｐ ／Ａ Ｑ／ Ｆ交直 线 Ａ Ｃ于点 Ｑ ．
因为 Ｂ １ １ 所 以 ，Ｅ＝ Ｍ． Ｃ ＝ＣＡ， Ｂ Ｅ
如 图 ５ ６ 不等边 △ Ａ Ｃ的重心 为 Ｇ， 、， Ｂ 垂
心 为 日，月、 Ｈ、 Ｈ分 别 交 Ｂ Ｃ 、 Ｂ 于点 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ、 Ａ Ａ
图６
记Ｂ Ｃ＝０ Ｃ ，Ａ＝ｂＡ ｃ 则 ，Ｂ＝ ．
证明
设 △ Ａ Ｃ外心 为 ０， 图 ７ Ｂ 如 ．
Ｅ１Ｂ＝ＢＡｌ寺ｃ ＣＦ１Ａ１Ｃ＝ ６ ‘ ‘ ．
注意 到 ，
①
． ｌ 寺Ａ ・Ｆｎ Ｅｌ ｓ 盯＝ ｌＡ ｓ Ａ ｌｉ Ｆ
＝
÷ｂＥ） ＋，ｉ， ② （＋ 。 ） Ｃ（ 。ｓ 号 ｎ
从 而 ，Ａ＝ Ⅳ Ｂ 以－
同理 ，Ａ＝ Ｑ Ｃ Ａ．
收稿 日期 ：０ ２— ６— ２ ２ １ ０ ０
Ａ 、 、 。过 点 Ｂ、 别作 Ｈ 。风 Ｃ ， ｃ分 Ｇ的垂 线 Ｚ ￡，
Ｚ Ａ Ｃ 、 与 Ａ 分别 交于 点 、 证 明 ： 与 。 。Ｚ 。 Ａ、 、 Ｅ Ｆ三点 共线．
中 等 数 学
一
道 平面 几何 题 的 证 明及共 改 进
谢 建 伟
（ 江 省 舟 山 中学 ，１０ ０ 浙 ３６ ０ ）
中圈 分 类 号 ： ２ ． ０１３ １
文 献标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ： ０ ５— ４ ６ ２ １ ）８—０ １ ０ １０ ６ １ （ ０ ２ ０ ０ ４— ２
同理 ， 、 ｈＡ 三线共点于 ｚ Ａ８ 。
图５
因为 Ｂ ／ Ｆ ＡＥ／Ａ ，Ｂ／ＡＦ， Ｅ／ Ｃ ， 。 ／ Ｃ Ａ ／ 。 所
以， 四边 形 Ａ 。 Ｂ Ａ Ｃ 为平行 四边 形 ， 且
Ａ Ｂ １ Ｃ Ｅ∽ △ Ｆ Ｃ Ｂ１ ．
于， 鲁 是 嚣＝
Ｃ
ＥＣｌ Ａ Ｂｌ Ａ Ｃ１一Ｆ Ｂ１
参考文献 ：
［ ］ 陶平生． 国高中数学 联赛模 拟题 （ ） Ｊ ． １ 全 ２ ［ ］ 中等数
学 ．０ ２ 增 刊 ） ２ １（ ．
又 Ａ 、。Ｇ 、 九点 圆 ∞ 上 ， 可设 Ａ 、。Ｃ 在 ， 则
ｏ０ 与ｏ ０ 交 于点 厶 ： 因为 Ｂ Ｌ为 ｏ ０。 ｏ ０ 与 的 公 共 弦 ， 所
２１ ０２年第 ８期
以，。２ 砚 ， ００ 上 即
Ｏ ｌ层 ． Ｈ＿ ￡ ＿
从 而 ，Ｌ即为直线 ｆ ８ ． 又 Ａ Ｃ 为 ｏＤ 与 圆 ９的公 共 弦 ，。 ０ 。。 ｌ Ａ Ｃ
为ｏＤ 与圆 ∞ 的公共 弦， 可结合 圆的根轴
性质 知 、。 。Ａ 三 线共 点于 ． Ａ ｃ 、。
故 Ｂ、 ０、 在 以 Ｂ 为 直 径 的 ｏ ０ Ａ、 Ｃ Ｏ 上 ， Ａ 、 Ｃ 在以 Ｂ 、 ０日、 ０ Ｈ为 直径 的ｏ ０ 上．
１
ｌ
． ｓ
ｌ
．
故 Ａ Ｅ ，三点共线． 、、
【 以上仅对图 ５给出证明 ， ６ 注】 图 情形
下 的证 明完全类 同．
《 中等数学） ０ ２年增刊 （ ） 登 的全 ） １ ２ １刊 国高中数学联赛模拟题 （ ） ２ 的加试部分第一
题是：
题 目 如 图 １２ 不 等边 △ Ａ Ｃ的外 心 、， Ｂ 为 ０， 重心 为 Ｇ Ａ 、 。ｃ 分别 是 边 Ｂ 、Ａ、 ， 。Ｂ 、 １ ＣＣ Ａ Ｂ的中点 ， 点 Ｂ、 过 ｃ分 别 作 Ｏ Ｇ的垂 线 、 ｆ， 与 Ａ ｃ 、 与 Ａ １ ｆ 。。ｚ 。 分别 交 于 点 Ｅ、 证 明 ： Ｅ、 、 Ｆ三点 共线． Ｊ ¨
ｌ
． １＾＋Ｓ△ ｓ Ｅ ＾
＝
Ｓｍ ｌｌｌ＋．△肌ｃ ＋ Ｓ Ａ Ａ＾ Ｂ ｓ ＡｒＢ
ｌ
ｌ
＝
Ｉ寺 Ｅ ｉ （・＋・ ＋・ １ｓ． ÷ ・ ÷ ）Ａ 号 。 ｃ ‘ ， 号 告 Ｊ ‘ ｔ 。 “ ｎ
③
＋Ｓ
＝
由式① 、 ③得 ②、
图７
． ｓ
则 ０、 Ｈ三点共 线 （ Ｇ、 欧拉线 ） ． 取边 Ｂ 、Ａ、Ｂ的 中点 Ａ 、 、 。 ＣＣ Ａ ｌ 。Ｃ．
线 Ｃ Ｂ 交 Ｆ、 Ａ
“＾ 的条件即可 ； ｆ ” ∥ｆ （ ） 增刊》 ２《 提供的证明中蕴含有很多精 Ｂ
图３
于 点 Ｐ， 图 如
３４ 过 Ｍ 作 、，
华部分 ： 运பைடு நூலகம்圆的根轴性质证共点 ， 借助面积
方 法证 共线 ， 这应 当是试 题原 创 的本 意所 在． 因此 ， 只能 “ 伪存 真 ”不 能简 单否定 ． 去 ，
图 ４
由 Ｚ 上 Ｏ Ｚ－ Ｏ 得 ６ Ｇ， ｌ Ｇ， ＿
留 ，Ａ 曰 ｃ
找到 一种可 以改进 的证 明． 证明 设
Ｐ
ｆ ６ ∥ｆ
。
一
Ｂ ｆＣ Ｍｆ Ｐ
ＡＭ ＡＮ
一 ＝ 一 ＝ 一
ＡＭ ＡＢ
Ａ Ａ Ｃ Ｐ ’４ Ａ ， ０ Ｐ
ｊ Ｎ Ｐ Ａ Ｆ Ｍ ｆ Ｑ Ｅ／ ．
故 、 Ｆ三 点共线 ． 、
（ ） 上 面 的 证 明 ， 在 原 题 结 论 情 形 １从 知
下 ， 以 忽 略 “ Ａ Ｃ 的 外 心 为 ０， 心 为 可 △ Ｂ 重 Ｇ ”的 条 件 （ 则 会 形 成 干 扰 支 ） 只 要 有 否 ，
直 线 Ｂ Ｃ Ｅ、 Ａ 交 于 点 ， 直
于是 ， 原题 可 以改 进为 ：
Ｍ ／Ａ Ｎ ／ Ｅ交直
线Ａ Ｂ于点 Ⅳ，
过 Ｐ作 Ｐ ／Ａ Ｑ／ Ｆ交直 线 Ａ Ｃ于点 Ｑ ．
因为 Ｂ １ １ 所 以 ，Ｅ＝ Ｍ． Ｃ ＝ＣＡ， Ｂ Ｅ
如 图 ５ ６ 不等边 △ Ａ Ｃ的重心 为 Ｇ， 、， Ｂ 垂
心 为 日，月、 Ｈ、 Ｈ分 别 交 Ｂ Ｃ 、 Ｂ 于点 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ、 Ａ Ａ
图６
记Ｂ Ｃ＝０ Ｃ ，Ａ＝ｂＡ ｃ 则 ，Ｂ＝ ．
证明
设 △ Ａ Ｃ外心 为 ０， 图 ７ Ｂ 如 ．
Ｅ１Ｂ＝ＢＡｌ寺ｃ ＣＦ１Ａ１Ｃ＝ ６ ‘ ‘ ．
注意 到 ，
①
． ｌ 寺Ａ ・Ｆｎ Ｅｌ ｓ 盯＝ ｌＡ ｓ Ａ ｌｉ Ｆ
＝
÷ｂＥ） ＋，ｉ， ② （＋ 。 ） Ｃ（ 。ｓ 号 ｎ
从 而 ，Ａ＝ Ⅳ Ｂ 以－
同理 ，Ａ＝ Ｑ Ｃ Ａ．
收稿 日期 ：０ ２— ６— ２ ２ １ ０ ０
Ａ 、 、 。过 点 Ｂ、 别作 Ｈ 。风 Ｃ ， ｃ分 Ｇ的垂 线 Ｚ ￡，
Ｚ Ａ Ｃ 、 与 Ａ 分别 交于 点 、 证 明 ： 与 。 。Ｚ 。 Ａ、 、 Ｅ Ｆ三点 共线．