2013B班 数学分析(1) 第三章 函数极限(1)

总可以找到以x0为中心，宽为2 竖带，
使得对应的函数图像完全落在此区域内(x0点可例外).
y
A y f (x)
给定
这样的 也能用,看来有一 个 符合要求,就会有无穷
多个 符合要求!
0
A
A
Hi, 找到了!
O
x0
x0 x0
x
注4. 等价形式
0 | x x0 | x0 x x0 , 但x x0 x U 0 ( x0 , )
得 sinx
x
tanx
(0
x
);
2
又当x
时，也有x
2
2
>1> sin x,
于是，当x 0时，有 sin x x.
当x 0时，有 sin(x) x ( x 0), 即 sinx x.
故x R都有 |sin x || x | .
（P46例4）
例4
证明
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
x
lim f ( x) A 0, M 0, 当x M 时, 有 f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
0, M 0, 当 x M 时, 有 f ( x) A
比较：数列极限的" N"定义
lim
n
an
a
0,
N N ,
n N ,
有 an a
lim f ( x) A的几何意义
0,
取M 1, ε
则当 x M时，
有 sin x 0 1 1 ,
x
xM
故 lim sin x 0. x x
要证: 0, M 0, 当x M 时, 有 f ( x) A
例2 证明 lim e x 0. x
证 由于 e x 0 e x
y ex
y ex
0, 要使 | e x 0 | ,只要e x ,
（只要保证可以任意小即可）
(2)若 c时可以找到相应的，使得 f x A ，
则对于 c，自然也可以找到，故有时可在证明 过程中附加限制 1， 1 等条件.
2
注2. 的存在性
（1）取定才可找到，故 依赖于， 越小 也越小，
但是不唯一，可以取较小的，重要的是存在性.
（2）有时 f x A 不易推出，可用放缩法.
证 作单位圆 O, 设圆心角AOB x, (0 x )
B
2
过A作单位圆的切线，得DAOC, 于是有面积
SD AOB S扇形AOB SDAOC
o
x
D
A
1 OA BD 2
1 sin x 2
1x 2
1x 2
1 OA AC 2
1 tan x, 2
sin x= BD =BD BO
tan x= AC =AC AO
1 | ，只要 |x 2|
4
12
,
即 | x 2 | 12 2, 取 min{1, 12 }．
于是， 0， min{1, 12 }， 当0 | x 2 | 时，
有|
x2 x2 4
1 4
|
.
由定义， lim x2
x2 x2 4
1. 4
C 证明： | sin x || x | x R
即作
f
x
A
g
x
x0
（必要时限制
x
x0
）
1
由g x x0 ，推得 x x0 2，则取 min{1,2 }.
注3. 几何意义
0 | x x0 | x0 x x0 , x x0
0, 0,
| f (x) A | A f (x) A
任取以直线y A为中心,宽为2的带形区域，
注：三角恒等式
cos A cos B 2sin A B sin A B
2
2
sin A sin B 2cos A B sin A B
x x0
f (x)
A 0
0,
0,
x1 : 0
x1 x0
，
但 f ( x1 ) A 0
lim f ( x)不存在 A R，lim f ( x) A
x x0
x x0
lim
x x0
f (x)
A
0,
0,当0
x x0
时，
有 f (x) A .
要证: 0, 0, 当0 x 2 时, 有 f ( x) A
例3
证明： lim x2
x2 x2 4
1. 4
注：|x 2| 1 1 x 3 x23
证
由于 | xx2
2 4
1 4
|
|x 2| 4|x 2|
,
限制
|x 2| 1=1,
则有 |x 2| 3, 从而有
|
x2 x2 4
1| 4
|x 2| , 12
wenku.baidu.com
0,
要使 |
x2 x2 4
x
y
A A
A
①任意给定
0
④有 A f (x) A
Oa
M
②存在 M a
x
x
③ 使当 x M 时
要证: 0, M 0, 当 x M 时, 有 f ( x) A
例1 证明 lim sin x 0.
x x
y sin x x
证
由 sin x 0 x
sin x x
1 x
即要 x ln (不妨设 1) 1，则ln 0
取M | ln | 0, 则当x M ln时,
有e x ,
即 lim e x 0.
x
注：同理可证 lim ax 0 (a 1)
x
二 x趋于x0时函数的极限 1.定义 " "定义
lim
x x0
f (x)
A
0,
0,当0
| f ( x) A | A f ( x) A f ( x) U ( A, )
故 lim x x0
f (x)
A
0,
0, x U 0( x0, ),
有f ( x) U( A, )
0, 0, f (U 0( x0, )) U ( A, )
注5. 否定叙述
lim
x x0
时，
有 f (x) A .
比较：x 时的" M "定义
lim f ( x) A 0, M 0, 当 x M 时,
x
有 f (x) A .
注1.ε的任意性
（1）的任意性是用来刻画f x与A的充分接近程度的，
所以 f ( x) A 中的可以用2，2或 2，3 代替.
第三章 函 数 极 限
§1 函数极限概念
一 x趋于∞时函数的极限 二 x趋于x0时函数的极限
函
数
1. x 自
变
2. x - 量 的
3. x
６ 种
4.
x x0
连 续
变
5. xx0+ 化 过
6. xx0- 程
一 x趋于∞时函数的极限 " M"定义
lim f ( x) A 0, M 0, 当 x M 时, 有 f ( x) A