最全经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式

一、不等式

1、不等式的基本性质：

①、对称性： 传递性：_________

②、 ，a+c ＞b+c

③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ；

a ＞

b ， ，那么a

c ＜bc

④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ）

⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ）

2、基本不等式

定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。

定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么

当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2

；

（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值

小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一

定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-

几何平均不等式

二、绝对值不等式

1、绝对值三角不等式

实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：

a b b a <⇔>c a c b b a >⇒>>,R c b a ∈>,0>c 0>d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2

a b

+≥21

4

s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当时，等号成立。

即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。

任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间 的距离。

定理1 如果a, b 是实数，则

|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab ≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）

如果a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c 是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2、绝对值不等式的解法

（1）|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c 和|t|≥c 型不等式，然后再求x ，得原不等式的解 集。

②分段讨论法：

① 用绝对值不等式的几何意义 ② 零点分区间法 ③ 构造函数法

00

||(0)()ax b ax b ax b c c ax b c ax b c +≥+<⎧⎧+≤>⇔⎨⎨+≤-+≤⎩⎩或00||(0)()ax b ax b ax b c c ax b c ax b c +≥+<⎧⎧+≥>⇔⎨⎨

+≥-+≥⎩⎩或型不等式的解法

和）（c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-2

典型例题

例1 解不等式

例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

例3 解不等式|x2-3|x|-3|<1。

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|

不等式证明的基本方法

知识点一：比较法

比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。

1、作差比较法

常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.

理论依据：

①；②；③。

一般步骤：

第一步：作差；

第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；

第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，

应根据题目的要求分类讨论.

第四步：得出结论。

注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。

2、作商比较法

常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.

理论依据：

若、，则有①；②；③.

基本步骤:

第一步：判定要比较两式子的符号

第二步：作商

第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；

第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.

第五步：得出结论。

注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

知识点二：分析法

分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.

思维过程：“执果索因”.

证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。

知识点三：综合法

综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。

思维过程：“执因索果”

适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.

知识点四：反证法

反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。

适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。

注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.

知识点五：放缩法

放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。

理论依据：不等式的传递性：a>b,b>c a>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。

规律方法指导

1、不等式证明的常用方法：

比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。

2、反证法的证明步骤：

①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；

②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；

③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；

④肯定结论：原命题正确。

3、放缩法的常用技巧：

①在恒等式中舍掉或者加进一些项；

②在分式中放大或缩小分子或分母；

例如：

③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；

例如：f(x)为增函数，则f(x-1)

④应用基本不等式进行放缩。

例如：若，则有；