《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)

又 9x＋ax2≥6a，当且仅当 9x＝ax2， 即 x＝a3时，等号成立． 故必有 6a≥a＋1，解得 a≥15. 所以 a 的取值范围为 a≥15.
(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值． [注]f(x)表示有关 x 的代数值
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
已知不等式(x＋y)wk.baidu.comx＋ay≥16 对任意正实数 x，
y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )
A．1
B．2
C．4
D．6
解析：选 C.(x＋y)(4x＋ay)＝4＋a＋4xy＋ayx，因为 x＞0，y＞0， a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 a，b，c＞0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 证明：因为 a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得ab2＋b≥2a， bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，所以ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 所以 2a＋b≥2 2ab＝4，当且仅当 a＝1，b＝2 时，等号成立． 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9. 即(1＋2a)(1＋b)≥9.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
基本不等式的综合问题 若不等式 9x＋ax2≥a＋1(常数 a＞0)对一切正实数 x 成 立，求 a 的取值范围． 【解】 常数 a＞0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a＋1≤9x＋ax2的最小值，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
则 y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋90x0＋10 809 ≥2 9x·90x0＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时，等号成立． 故该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式的思路 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式 的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数 式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形 式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另 外，解题时要时刻注意等号能否取到．
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解实际应用题
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨， 每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管费及其他费用为平均 每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多少 天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？ 【解】 设该厂每 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨． 由题意可知，面粉的保管费等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)． 设平均每天所支付的总费用为 y 元，
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1.求证：1a－1 1b－11c－1≥8.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为 x m、宽为 y m， 则 2(x＋y)＝36，x＋y＝18， 矩形菜园的面积为 xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9， 可得 xy≤81， 当且仅当 x＝y， 即 x＝y＝9 时，等号成立． 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大 面积为 81 m2.