风险测度

1.风险测度的缘起
Markowzti时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。

1952年，Marko初zt提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各单个资产的收益相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产之间的协方差决定该组合风险水平，即Cov[X，Y]二E[X，Y]一E[X]E[Y]，其中X和Y为随机收益。

Marko诚zt的主要创新在于他通过所有单个资产的联合分布来测度投资组合
的风险。

多元分布由所有成分随机变量的边缘统计特性以及它们的相关结构来刻画。

Mkarowizt用单变量分布的乘积来描述前者，通过每对随机收益之间的相关系数来描述后者，即P(x，Y)一ocvlx，Y]/(弓时尹，其中丐和几分别表示独立
随机变量X和Y的标准差。

我们注意到，Markowizt模型与恰当的效用函数密切相关。

效用函数允许投
资者在对资产和资产组合进行排序时有个人主观选择。

当相关的分布不是正态分布时，尽管是对称的分布，效用函数就必须为二次函数。

而在实际中，这样的限制阻碍了Makrowizt模型在投资组合上的应用。

使得模型的应用仅限于由收益的联合正态分布所描述的投资组合，在这种情形下，所有资产的收益以及它们之间的相关结构均是正态的。

1%3年，Mkarowizt的学生sh哪e根据Mkarowizt的模型建立了一个计算相
对简化的模型—单一指数模型，即刀模型。

这一模型假设资产收益只与市场总
体收益相关，从而大大降低了计算量。

各种证券的收益与市场收益之间的线性依赖关系的测度刀，引出了主要的定价理论，如cAPM和APT。

这些模型都在“正态世界”中发展，而当他们被用于日常生活中的情况时，则有可能导致错误的结果。

比如说，非市场的贷款是完全非对称的，甚至是有尖峰的，并且，某些发展中国家的公债的收益分布可能包含极值。

不幸的是，Markowizt模型已经被视为问题的解决方案，而且被不恰当地用
于很多风险不能用方差描述、依赖性不能用线性相关系数来测度的实际案例中了，而且有时所用的效用函数根本不是二次函数。

因此，很可能会得出非理性的结果，影响风险监管效果。

2.新的研究进展
多元正态分布模型之所以非常吸引人，是因为任意两个随机变量之间的相关
性都可以由它们的边缘分布和线性相关系数完全描述。

很明显，这些模型离实际应用的要求还有较大的差距。

实际中，单个资产的投资回报的积累分布是偏斜的(非对称的)、有峰值的或是胖尾的。

更有甚者，资产的投资回报是非连续分布的。

由于缺乏恰当的理论框架，先进模型的引入受到了阻碍。

于是有学者考察了单变量收益的统计模型，进而利用连接函数技术将其推广
到了多元变量的情形。

连接函数的概念从1970年代中期开始发展，研究多元分布。

但连接函数的使用仍然不能解决小概率事件的处理问题，如分布的尾部问题等。

近几年，关于新的风险测度的研究主要集中在以下5个不同但关系密切的方面:
1.风险测度的定义以及一致(ocheerni)风险测度的结构
2.保险溢价(premia)理论的合理性
3.最佳交易(gooddeals)理论
4.广义双曲型Leyv过程
5.多元分布的相关性研究一连接函数(cPuolaunfctino)
进行第一个方向研究的代表人物有:PhihppeArtZner，FerddyDelbaen’
Jena一MaerEber和DvaidHehat。

几乎是在同时，ShunaWnag，VirginiaYoung，
和H印汀yPnajer在研究保险溢价问题时得到了与投资问题相似的结论。

与此同时，setwartHodges提出了最佳交易(gooddeals)理论。

1995年Eberiein和Keller将双
曲型分布引入到金融中，给出了一个对每日资产价值分布的非常精确的拟合。

这
一研究与广义Lvey运动的研究有关。

最后一个方向就着重研究连接函数(cPuola
九nctoin)在相关尾事件，即非正常事件同时发生的可能性的调查中的应用。

这类
事件之所以值得研究是因为在此情况下，可能发生的损失程度将非常惊人。

不论
是线性相关还是其它的相关测度都不能完全描述这类事件。

出于这样的原因，许
多研究者将连接函数技术应用到广义的随机变量的相关结构的分析中。

可见，有
关的研究正在从多个方面试图解决随机变量分布对风险测度的影响问题。

有关新
的风险测度的研究可能是被金融机构所制定的规则的新趋势和学术界对应用不
正确甚至是误导的风险测度的反应所带动的。

毕竟，金融机构要求有非常成熟的
控制模型。

1994年，在险价值(Valueat形ks，下文简称vaR)的概念，在一片赞扬声中
诞生。

这种方法的明确的任务就是回答下面这样一个问题:在确定的概率下，投
资者如何预期将会在某年某月某天损失多少钱?他的资产有多少处于风险之
中?目前，VRa方法正日益成为各金融机构所青睐的风险监控手段。

但它究竟是
不是一种正确成熟的风险测度方法呢?我们的回答是否定的。

由于VRa方法在
理论上存在缺陷，所以，使用这种方法难免会导致很严重的后果。

正因如此，探
索新的风险测度的进程还在不断进行着。

1.3本文工作与文章结构
本文的研究是沿着上述第一个方向进行的。

首先介绍了一致风险测度理论，
以此为基础进一步研究了凸性风险测度;鉴于VRa方法的流行，和它所存在的
理论缺陷，本文对这一方法也作了深入分析，并针对其缺陷提出了可能的解决方案，研究了几种弥补VRa方法缺陷的方法;最后我们给出了实例及其分析。

其
中凸性风险测度分析、预期损失E(PxectdeShortaf)ll方法及各风险测度的比较关系是本文的研究重点。

全文共分六个部分。

第一部分引言。

第二部分阐述一致风险测度理论框架，
包括风险和风险测度的定义、可接受集公理定义、可接受集与风险测度的关系、可接受集公理与风险测度公理的关系、一致风险测度表示定理以及表示定理的应用等。

第三部分针对市场实际，弱化一致性条件，提出了凸性风险测度方法。

第四部分分析VRa方法，包括其定义、性质，并主要指出其理论上和逻辑上的缺陷并举例说明。

第五部分研究预期损失方法，主要比较了几种常用的风险测度之间的区别和相互关联，并着重说明了预期损失方法在实践中的重要意义。

第六部分为全文总结。

一致风险测度
.2，风险
本文所要讨论的风险，我们都将其定义成一个“数”，这个数只和未来的资
产有关系，而不是像有些文章里面将前后某两个日子的资产的净值的“差数”来表示风险。

我们认为，风险并不依赖于你的初始资产，而是决定于市场中的一些不确定因素，这些不确定因素导致了你的资产的将来的价值，所以我们用一个和未来有联系的“数”而非“差数”来表示风险。

具体的说，这个数其实是一个随机变量，建立在未来市场会发生的各种可能之上的随机变量，可以用资产的净值或者投资组合的结构来描述它。

考虑一个简单的例子，假设某个投资者在投资初始时建立了由多国货币组成的一个资产组合，我们用铸，1‘i‘I来表示各种货币的持有资产，那么，在将来的某个日子T，我们用城(T)来表示货币哟仓位价值(持有量的总价值)，用et来表示组合里的各种货币相对于人民币的汇率(假设
投资者是个中国人，他的投资回报将用人民币来衡量)，则投资者的风险为这个货币资产组合的将来净值:艺e‘·减(T)。

这里，每一个铸(劝都是一个随机变
l‘J‘I
量。

.22可接受集
假设期末T时刻所有可能的状态的集合是有限集，记为O。

用0上的随机变
量X表示初始头寸的未来净值，其值用证券价格及互换率来表示。

状态田的指示函数为l‘。

}。

称O上所有实值函数的集合为风险集合，记为X。

记X中非负元素的集合
为人，其相反数集合为人。

设人为i国的监管者集合，次j(j。

风)是由货币i表达、被监管者j所接受的未来净值集合。

令从一且‘，称为以货币‘表达的未来净值的可接受集。

以下简称为可接受集。

本文考虑满足以下性质的可接受集。

性质2.2.1可接受集A包含+L。

性质2.2.2可接受集A与人_不相交，其中，
--L一{XIV。

，X(。

)<0}。

性质2.2.3可接受集是凸集。

性质2.2.4可接受集是正齐次锥。

性质2.2.1与性质2.2.2要求:非负的最终净值不需要加入额外的资金，而
严格负的最终净值则必须追加资金后才能成为可接受头寸。

性质2.2.3则反映了部分监管者的风险厌恶。

2.3风险测度
为了描述风险的可接受与否，我们定义了可接受的未来净值，这样，在给定
参考投资工具(refereneeinvestmentinstrument)后，可以通过描述所持有
的头寸价值与可接受头寸的距离定义风险测度。

定义2.3.1称由X到R的映射为风险测度。

对风险X的测度p，当P(X)为正时，资金P(X)可解释为加入到风险头寸X中
使之成为“可接受头寸”的资金的最小值;而当风X)为负时，资金一P(X)可以从头寸中取出，或作为红利返还。

定义2.3.2设A是可接受集，对于给定的总收益率为r的参考投资工具，定义几，，X()二in{fmlm·:+XoA}，Xo，X称几，，(X)为与可接受集A相伴随的风险测度。

定义.2.33设p为风险测度，定义凡={X任X}P(X)‘O}，称布为与风险测度
p相伴随的可接受集。

本文主要讨论满足下列性质的风险测度，定义如下:
定义2.3.4(平移不变性)如果对所有XoX，及所有实数a，有:
P(X+.a)r=P(X)一a，则称风险测度p满足平移不变性。

定义2.3.5(次可加性)如果对所有X1，XZoX有:
+弋)‘P(戈+)P(弋)，则称风险测度p满足次可加性。

定义2.3.6(正齐次性)如果对所有兄之。

，和所有xox，有P(兄x)二助(X)，
则称风险测度p满足正齐次性。

定义2.3.7(单调性)如果对所有X，Yox，且X三Y，有P(均‘P(X)，
则称风险测度p满足单调性。

定义2.3.8(相关性)如果对所有Xox且x‘0，有P(x)之。

，
则称风险测度p满足相关性。

定义2.3.4说明，加入确定价值为a的参考投资工具到初始头寸中，可将风
险减少a，而且定义2.3.4保证了对任何X，有P(X+P(X)·)r=o。

定义2.3.5
说明合并不增加新的风险。

由定义2.3.4和定义2.3.6可得，对任何a有，
P(。

·(一r))=ao
定义2.3.9(一致风险测度)满足定义2.3.4一2.3.7的风险测度为一致风险测度。

2.4可接受集与风险测度
命题2.4.1如果集合B满足性质2.2.1一2.2.4，风险测度几，，是一致的。

证明:1)性质2.2.2，2.2.3保证对每个X，几，;(X)都是有限数。

2)由于ni几PIX+(a+p)·;。

B}=ni几q}X+.q;。

B}一a，说明
几，;(X+r·“)=几，r(X)一a
3)如果X+m·r，Y+n·;任丑
则定义2.3.4得到满足。

则X+Y+(m+n)·;。

B，再由性质2.2.3、2.2.4
知几的次可加性满足，即，定义2.3.4得到满足。

4)如果m>几，，(X，)则对每个兄>仇有办X+办m·;。

B，再由定义.2.32和
性质2.2.4知几，，(兄X)‘办m;如果m<几，;(X)，则对每个兄>o，有
办X+不m·犷‘，B则几，;(兄X)2办m;所以，几，;(兄X)=办几，，(X)，即，定义6得到满足。

5)如果X‘Y，且X+m·r任B，则Y+m·rEB，由性质2.2.3、2.2.1和定义2.3.1 知，定义2.3.7得到了满足。

综上所述，命题得证。

命题2.4.2如果风险测度p是一致的，则可接受集凡是紧集，且满足性质
2.2.1一2.2.4.
证明:1)定义2.3.5、.2.36保证p是X上的连续凸函数，集合凡=毛X}P(X)‘仍
是紧凸集，且是齐次的。

2)定义.2.36说明P(0)二，0再由单调性知，凡包含+L，满足性质.2.210
3)令Xo--L_，p(X)<0，而定义2.3.7保证P(0)<O，矛盾!如果P(X)=0，则
有a>oX十.a;。

--L_，而由定义2.3.4，一a之0，这样，又矛盾!那么，只有
P(X)>0，X。

凡，满足性质.22.2。

2.5一致风险测度的表示定理
定理2.5.1给定参考投资工具的总收益率;，则风险测度p是一致的，当且仅当存在自然状态集上的概率测度类，P使得P(X)一sPu{凡卜X/r引poP}。

2.6小结
这一部分中，我们由风险的定义入手，介绍了一致风险测度理论。

为了描述
风险的可接受与否，我们引入了可接受集的概念，给出了可接受集公理，讨论了风险测度的一致性与可接受集的关系，描述了一致风险测度的一般特性。