数学建模规划模型讲解

2. 线性规划的模型 线性规划的模型结构：
目标函数： max, min 约束变量： , , 变量符号： 0, 0
max(min) z cT x s.t. Ax (, )b x ()0, 或无限制
线性规划的标准形式：
目标函数： 约束变量： 变量符号：
min 0

1. 2. 3.
线性规划的数学模型有三要素，从实际问题提 炼成数学模型时，首先寻找需求解的未知量xj (j=1,…,n)，然后列举三要素： 列写与自变量（未知量）有关的若干个线性约 束条件（等式或不等式）。 列写自变量xj取值限制（xj≥0，xj≤0或不限）。 列写关于自变量的线性目标函数值（极大值或 极小值）。 其中，前两条称为可行条件，最后一条称为优 化条件。符合这三个条件的数学模型通常称为 线性规划的一般型（general）。
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2. 工程设计和控制中的非线性分析 （Non-linear programming and optimal control最优化设计(轮轴颈,凸轮设计) 化工设备最优设计（单件或连锁设备优化设计） 电力网络和水力网络的优化设计（平衡条件）
针对问题特点,可列写线性规划数学模型如下： ai1 x1 au1 x2 ain xn bi (最低营养需求约束)
xj 0
(自变量约束，食品量不会为负)
z c1 x1 a2 x2 cn xn min
(目标函数，使购食品费用取最小值 （i=1,2,…,m; j=1,2,…,n）
凸集：对区域D中的任意两个元素 x, y 和人意 的非负数0≤a ≤1,元素ax+(1-a)y也在区域D中。
4. 线性规划的算法
线性规划是最优化方法发展最迅速，成就最大的 一个分支，线性规划发展的爆炸时期是20世纪50年代至 60年代，其奠基人应是苏联数学家Cantolovch 和美国 数学家G.B.Danfzig。 1947年Dantzig提出了轰动数学界的单纯形法，为 求解多维线性规划问题提供了一般的有效的工具； 1950-1965年匈牙利的两位数学家H.W.Kuhn和 A.W.Tucker建立了线性规划的对偶理论，为求结鞍点 问题提供了数学工具，两位年轻的数学家建立了约束极 值的最优形条件，称为K-T条件。为求解非线性规划奠 定了理论基础；
•




97年 A题：零件参数设计（产品参数优化设计） 目标：产品总造价最低（产品质量损失费用 零件制造成本费用） 决策：零件参数的最佳水平组合方案 98年 A题：组合投资问题（风险决策优化问题） 目标（二目标）：收益最大，风险最小 决策：组合投资方案 99年 A题：自动化车床管理（排队-更新问题） 目标：生产工序的效益（费用最低）最大 决策：最佳检验间隔河刀具更换策略
T
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域 的边界上取得
重点在模型的建立和结果的分析
一、线性规划
优化模型应用的广泛性
1. 系统分析，即生产计划和经营决策中的优化 问题。例如： 合理计划生产:运输，分配，布局，选址，指派， 下料、配料等优化问题（linear programming）; 合理开发（或配置）资源:可再生资源的持续开 发,不可再生资源的优化配置（linear programming） 合理运行设备:设备的最有运行（维修）方案. 合理组合投资:追求最大受益、最小风险的投资 组合方案（Multiobjective programming）
i bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn
max 1 , 2 , , m

(i 1,2,, m)

则问题变为求出一组 xj (j=1,2,…,n) 使μ 尽 量小，于是变为：
i (i 1,2,, m)
例4: Chebyslev近似 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi (i 1,2,, m) 给出一组方程 其中，mn，希求一组近似解x1，x2,…, xn使误差尽 量小。即求出一组解，使之代入方程组中，造成不 满足约束的方程的最大误差量尽量小。这是长期以 来被认为必存在的这样一个解而又很难找到解的问 题，然而用线性规划求解却比较方便。下面就讨论 如何建立该问题的线性规划数学模型。 设：
（3）目标函数。这是作为系统决策变量的 一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追 求的目标。 一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。
（2）将非线性函数线性化。
（3）删除一些非主要约束条件。
主要内容
线性规划(LP) 非线性规划(NLP) 整数规划(IP)

线性规划
优化模型的一般形式
min(或max) z f ( x), x ( x1 , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, m
x:决策变量 f(x):目标函数 gi(x)0:约束条件
•可行解：满足约束条件的解 •最优解：取得最值的可行解 •次优解：一个较满意的可行解 •可行集（域）：所有可行解组成的集合，


04年 A题：奥运会场馆周围超市设计 目标：经济效益最大化，各个区域的平衡问题 05年 B题：DVD在线租赁 目标：满足顾客的需要，经济效益最大化 06年 A题：出版社书号分配问题 目标：经济效益最大化，不同学科书号的平衡问题 07年 B题：北京公交线路设计 目标：时间最小化，车票钱最小化，转站最小化 08年 A题：中国学费的评价系统 目标：经济效益最大化，考虑到老百姓的支付能力 09年 医院眼科病人的等待系统 目标：提高病床的周转率，降低病人的抱怨程度
例2 ：任务分配问题
某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两 台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别 为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同 工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加 工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？
历届数模竞赛所涉及的优化问题：
• 94年 A题 逢山开路（工程设计优化问题） 目标：工程造价最低 决策：在若干约束下选择一条最佳线路 95年 B题：天车调度问题（生产操作优化问题） 目标：年钢产量最大 决策：天车调度的最优方案设计 96年 A题：最优捕鱼策略（开发资源优化问题） 目标：可持续捕捞的努力量及最大捕捞量 决策：在平衡条件下确定五年内最佳捕捞方案
数学建模讲义
数学规划
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量
min(或max) z f ( x), x ( x1 , , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, , m
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
即：
bi ai1 x1 ain xn (i 1,2,, m)
且令μ →min 为统一标志，令 x0＝μ ，则上述问题变为 下述线形规划问题 ：
不等式约束：x0 ai1 x1 ain xn bi x0－ai1 x1－－ain xn －bi (i 1, 2, , m)
自变量约束：x00，xj不限（j=1,2,…,n） 目标函数：ｚ＝x0＝min
从上面例子中看出，列写线性规划数学模
型的关键步聚为： 根据问题性质，找出需求解的变量，即自 变量。 根据问题的限制因素或条件，列出自变量 的取值限制及与自变量有关的线性约束条 件（等式约束或不等式约束）。 根据问题的目标要求，列出自变量有关的 线性目标函数（极大值或极小值）。
例3: 饮食问题 每人每天食用的食品中含有各种必需的营养素， 家庭主妇面临着一种抉择：如何采购食品，才能 在保证必需营养素最低需求量前提下花钱最少？ 这是典型的线性规划问题。 设有n种食品供选择，m种营养素应保证一定量。令： xj——每天食用的j种食品数量 cj——单位j种食品的价格 aij——单位 j 种食品含有 i种营养素数量 bi——每天对营养i的最低需求量
例1：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控
制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。 检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省， 该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：

99年 B题：钻井布局问题(生产计划优化问题) 目标：最大限度利用初步、勘探时的旧井数 决策：在规定精度的前提下确定系统勘探时的最 佳网络分布 2002年 A题：车灯线光源的优化设计 目标：线光源的功率最小 决策:在满足设计规范的条件下,计算线光源的长度 B题：彩票中的数学 目标：最大限度地吸引彩民积极购买彩票 决策：在保证彩民和彩票公司的利益上如何设置最佳 彩票方案
8 4 x1 8 3 x2 32x1 24x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2 ) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
min s.t.
T
z cT x Ax b x0
A= (aij )m,n , x x1
x2 xn
T
b b1 b2 bn , c c1 c2 cn
T
3. 线性规划的性质
线性规划的可行域是凸集 线性规划可能有解、无解或无有限的最优解 线性规划的最优解在极点(顶点)上
min z 13x1 9x2 10x3 11x4 12x5 8x6
x 1 x 4 400 x x 600 5 2 x3 x6 500 s.t. 0.4 x1 1.1x 2 x3 800 0.5 x 4 1.2 x5 1.3x6 900 xi 0, i 1,2,,6
T
最优化问题至少有两要素：
一是可能的方案； 二是要追求的目标。 后者是前者的函数。如果第一要素与时间无 关就称为静态最优化问题，否则称为动态最 优化问题。
建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。决策变量是由数学模型 的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有 确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物 质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们 可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学 函数形式来表示的。
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900
解： 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3， 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。 可建立以下线性规划模型：
1、概念和实例。 2、线性规划模型 3、线性规划的性质。 4、线性规划的主要算法。 5、用数学软件包求解线性规划问题 6、建模案例选讲：投资的收益与风险
线性规划：就是一个线性函数在线性等式或不等式 约束条件下的极值问题。
线性规划研究的问题主要有两类： 1、任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用 尽量少的人力和物力资源来完成任务； 2、有一定量的人力、物力资源，如何安排使 用，使完成的任务（创造的利润）最多。 在生产管理和经济活动中经常提出这样一类问 题， 即如何合理地利用有限的人力、物力、财力 等资源，以便得到最好的经济效果。