船舶轴系扭转振动有限元分析及求解

- 3. 4014
B rad 1 0. 96809 0. 96757 0. 96597 0. 96314 0. 95961 0. 95538 0. 95045 0. 94483 0. 93852 0. 93152 0. 92384 0. 91836 - 1. 9997 - 2. 0213 - 2. 0851 - 2. 0851 - 2. 5117 - 3. 4061
二 轴系扭转振动的有限元法分析
有限元法的基本思想是“化整为零 ”,即化复杂的不规则的整体为有限个单元的集合 体 ,以一定程度的近似为代价求出扭振系统的数值解 。具体地说 ,借助于有限元法 ,可以把 一个复杂的连续体看成是若干个基本离散单元的集合体 ,对扭振而言 ,有限元法使连续的扭 振问题变成一个有限自由度系统的振动问题 ,从而使得问题可以借助于线性方程组求解 。
,
ω n
为有角
频率 。
此时 K是奇异的迭代将无法进行 ,当系统的约束条件不足以消除刚体位移时出现此情
况 ,这时系统有零特征值和刚体位移的固有振型 。由 K的奇异所带来的困难可采用移动特
征值办法 (移频法 )来解决 ,具体做法如下 :
( K + αI ) X - (ω2 +α) IX = 0
(3 - 4)
其中
N j ( t) = { AN( j) } T { f ( t) }
cN j
=
2ξN
ω
jn
j
ξN
j称为振型阻尼比
求解振动响应公式
(3 - 6) (3 - 7)
<N j = { fN j / [ω2nj
ω j
=ω /ωnj
化回原坐标合并化简
(1
-
ω j
)
2
+
(
2ξN
ω
jj
)
2
]}
n
6 <j ( t) = < AN j N k k =1
或
K3 < - ω3 2 I< = 0
(3 - 5)
其中 , K3 = K + αI ,ω3 2 =ω2 +α,α是某个大于零的常数 。因为 I总是正定的 , 所以新的矩阵
K3 总是正定的 ,解得的特征向量和原问题完全相同 , 只是原问题中的 ω3 2改为 ω2 +α, 这样
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A
8161
22176
40136
70192
B
8162
22178
相对误差
011%
0109%
其中 : A 上海某船舶设计院计算结果 (下同 ) B 本计算程序计算结果 (下同 )
2 一阶相对振幅比较 (表 2)
40136 0
70191 011%
2006年第 3期
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质量号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
统固有频率的精度 。
2 强迫振动计算 (振型叠加法 )
离散系统线型方程式一般来说均是耦合的 , 即所有的广义坐标振动响应需要联合求解
含 n个方程的微分方程组 。振型叠加法基本思想是用合适的正交矩阵将惯量矩阵 、刚度矩
阵及阻尼矩阵变换成对角矩阵 ,把联合求解方程组变换成求解独立方程式 ,此处的正交矩阵
是由系统固有振型组成的振型矩阵 。
在矩阵 [ CN ]及 [ω2ni ]均为对角矩阵的情况下 ,系统的运动方程如下 :
..
.
{ <N } + [ CN ] ·{ <N } + [ω2ni ] ·{ x} = [AN ]T ·{ f ( t) } = { fN ( t) }
..
.
即
<nj + cN j <N j +ωN2 j <N j = fN j ( t)
形成当量系统图如图 1。
三 振动求解
1 自由振动
自由振动运动方程式如下 :
..
[ I]{ <} + [K]{ <} =0
(3 - 1)
I1
I2
式中 : I———转动惯量矩阵 ,为 n阶对角阵 ,即 I =
· ·
·
In
K———刚度矩阵 ,为 n阶对角阵 。通常是稀疏带状阵 ,即
一 引 言
船舶柴油机动力装置轴系的扭转振动是影响该动力装置安全运行的重要动力性能之 一 ,也是当前柴油机推进装置的重要故障原因之一 ,世界多数国家的船舶检验机构规定 ,超 过 150马力的内燃机动力装置必须进行扭转振动计算和测量 ,中国船舶标准化技术委员会 专业标准也有类似的规定 。目前 ,扭转振动计算方法有多种 ,计算的内容是进行系统的自由 振动和强迫振动计算 。自由振动计算的方法很多 ,如 Holzer法 、Tolle法 、Tepckux法等 ,以往 以 Holzer表格法应用较多 ;强迫振动计算多采用能量法 、放大系数法 。本文主要在 matlab7. 0环境下采用直接求解法求解自由振动 ,采用振型叠加法求解强迫振动 。matlab是近年来 开始流行的实用性工程数学计算软件 ,它以矩阵为计算基本单元 ,本文利用其强大的矩阵计 算功能进行轴系扭转振动计算 。
k1
- k1
0… 0
0
0
- k1 k1 + k2 - k2 …
0
0
0
K= … … … … …
…
…
0
0
0
… - kn - 2 kn - 2 + kn - 1 - kn - 1
0
0
0… 0
- kn - 1
kn - 1
对单支系统 ,矩阵带宽为 3;
..
<, <———分别为角位移和角加速度列矢量 ,其中
< = {φ1φ2 …φn } T
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船舶轴系扭转振动有限元分析及求解
肖志建
(广州船舶及海洋工程设计研究院 )
摘 要 :本文主要运用有限元法对船舶推进轴系扭转振动问题进行分析 ,进而建立 数理模型 ,并在 matlab710平台上进行计算求解 ,求得轴系扭转振动的计算结果 。 关键词 : 有限元法 扭转振动 轴系
转动惯量
Kg - m2 5. 98 1. 08 1. 04 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 2. 76 52. 22 1. 64 9. 02 1. 99 0. 09 0. 45 15. 43
表2
刚度
A
N-m
rad
5. 50E + 05
1
..
.. ..
..
<
=
{φ1
φ 2
…φn
}T
设 ( 3 - 1)的通解为 : { < } = { X } cosωn t
(3 - 2)
则式 ( 3 - 1)可转化为 : [ K ] { X } - ω2 [ I ] { X } = 0
(3 - 3)
显然这是标准的代数特征值问题
。这里称向量
{
X
}为系统振动的振型向量
由于篇幅有限 ,仅以自由振动结果比较 ,由上述计算结果可以看出 ,在 matlab7. 0 环境 下编制的计算程序 ,计算结果是满足精度要求的 。
五 结 论
本文采用有限元法把船舶轴系系统离散成为若干单元 ,便于更精准的对轴系进行扭振 分析 ,利用 matlab强大的矩阵计算功能 ,可以精确求出轴系的固有频率 、相对振幅及强迫振 动轴系各部分的切应力及波动力矩 。由于 matlab7. 0 具有可视化界面功能 ,我们已形成可 视化用户界面的应用程序 ,用户只需输入扭振计算的必要数据 ,即可得到所需的结果 ,操作 简单方便 。
0. 9386
1. 11E + 07
0. 9316
1. 69E + 07
0. 924
80000
0. 9185
1. 04E + 07
- 1. 9955
2. 6E + 06
- 2. 017
2. 26E + 06
- 2. 0807
4. 42E + 06
- 2. 0807
1. 72E + 05
- 2. 5073
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就克服了原问题中包含零特征值时所带来的困难 。
求解方程 ( 3 - 1)在其他的方法 (如 VB , Holzer表 )中可能需要几十行或反复运算 , 这里
用 matlab,一个函数 ( [V, D ] = eig (A, B ) )就可以精确解出方程的角位移振幅和系统固有频
率 。在计算过程中 ,无论在何种模型中 ,剩余力矩总为零 , 极大提高了计算角位移振幅和系
(3 - 8) (3 - 9)
四 计算验证
笔者为验证本程序计算结果的正确性 ,与不同方法下计算出的扭振自由振动部分进行 比较 ,结果误差都在 011%以内 。下面是以上海某船舶设计院计算的 1280吨多用途货船扭 振计算为实例进行比较 。
1 固有频率 (Hz)比较 (表 1)
表1
一阶
二阶
三阶
四阶
3. 92E + 07
0. 9681
1. 48E + 07
0. 9676
1. 11E + 07
0. 966
1. 11E + 07
0. 9632
1. 11E + 07
0. 9597
1. 11E + 07
0. 9554
1. 11E +Βιβλιοθήκη Baidu07
0. 9505
1. 11E + 07
0. 9449
1. 11E + 07
图1
利用有限元法分析扭振动问题大体分为扭振系统的离散化 、单元特性分析 、集合单元特
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性以建立扭振系统的运动方程组和求解方程组 。扭振系统离散化的力学模型由质量元件 、 弹性元件和阻尼元件组成 ,它们是理想化的元件 。推进轴系扭转振动的简化模型也称为当 量系统 ,在计算时应对系统各元件编号 ,一般都从柴油机自由端开始 ,最后到达螺旋浆 。
相对误差
% 0 1. 03295E - 05 3. 10045E - 05 3. 10559E - 05 6. 22924E - 05 9. 37793E - 05 2. 09336E - 05 5. 26039E - 05 7. 40819E - 05 8. 5233E - 05 8. 5768E - 05 0. 00017316 0. 000152422 - 0. 002104736 - 0. 002131879 - 0. 002114673 - 0. 002045846 - 0. 00175876 - 0. 001381784