《函数的最值与导数》公开课课件
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3.3.3 函数的最值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的极大值点，极小值点吗？
y
o
abc d e f
gh x
极大值点 c e g ，极小值点 b d f
-2 (-2,2)
0
-
28 单调递减↘
2 (2,+∞)
0
+
-4 单调递增↗
y
f (x) x3 12 x 12
2
-2 o
x
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值，最小值。
解：由上节课的例1知，在[0,3]上，
当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值， 并且极小值为f (2)=-4.
你能说出函数的最大值点和最小值点吗？
最大值点 ：a ， 最小值点：d
图1
y
y f (x)
ao
函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).
b
x
单调函数的最大值和最小值容易被找到。
y
图2
y f (x)
a x1 x2 o x3
x4
b
x5 x
函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
f ’(x)
y3
-0
2
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。
x (-∞,-2) f (x) + f(x) 单调递增↗
又由于f (0)=12,f (3)=3, 因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值Biblioteka Baiduf(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a f(2)=-8+12+18+a=22+a
∴f(2)>f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f (x) >0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减， ∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
小 结:
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。
解: (1) f (x) =-3x2+6x+9
令 f (x) <0,解得x<-1或x>3
函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞)
练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 [-2,2]上的最大值与最小值。
解： f (x) =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 f (x) =0,解得x1=-2 , x2=1.5
因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23
所以函数的最大值为57，最小值为-28.75
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。
怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 解、 f ’(x)=2x-4
练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 [-1,1]上的最值。
解：f (x) =3x2-6x+6=3(x2-2x+2) 因为 f (x) 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，
故当x=-1时，f(x)取得最小值-12； 当x=1时，f(x)取得最大值2。
极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，
你能找出它的极大值点，极小值点吗？
y
o
abc d e f
gh x
极大值点 c e g ，极小值点 b d f
-2 (-2,2)
0
-
28 单调递减↘
2 (2,+∞)
0
+
-4 单调递增↗
y
f (x) x3 12 x 12
2
-2 o
x
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值，最小值。
解：由上节课的例1知，在[0,3]上，
当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值， 并且极小值为f (2)=-4.
你能说出函数的最大值点和最小值点吗？
最大值点 ：a ， 最小值点：d
图1
y
y f (x)
ao
函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).
b
x
单调函数的最大值和最小值容易被找到。
y
图2
y f (x)
a x1 x2 o x3
x4
b
x5 x
函数y=f (x)在区间[a,b]上 最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
f ’(x)
y3
-0
2
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。
x (-∞,-2) f (x) + f(x) 单调递增↗
又由于f (0)=12,f (3)=3, 因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值Biblioteka Baiduf(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a f(2)=-8+12+18+a=22+a
∴f(2)>f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f (x) >0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减， ∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
小 结:
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即 端点的函数值）作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.
例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。
解: (1) f (x) =-3x2+6x+9
令 f (x) <0,解得x<-1或x>3
函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞)
练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 [-2,2]上的最大值与最小值。
解： f (x) =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 f (x) =0,解得x1=-2 , x2=1.5
因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23
所以函数的最大值为57，最小值为-28.75
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。
怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 解、 f ’(x)=2x-4
练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 [-1,1]上的最值。
解：f (x) =3x2-6x+6=3(x2-2x+2) 因为 f (x) 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数，
故当x=-1时，f(x)取得最小值-12； 当x=1时，f(x)取得最大值2。