矩阵分析 第七八章 第七章函数矩阵与矩阵微分方程 第八章 广义逆矩阵

k1α1 ( x ) + k2α 2 ( x ) + + kmα m ( x ) = 0
成立，我们称， 成立，我们称，在 [a , b]上
α1 ( x ), α 2 ( x ), ,α m ( x ) 线性相关。 线性相关。
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否则就说 α1 ( x ), α 2 ( x ), , α m ( x ) 线性无关。 线性无关。 即如果只有在 k1 = k2 = = km = 0 等式才成 线性无关。 立，那么就说 α1 ( x ), α 2 ( x ), , α m ( x ) 线性无关。 定义： 定义：设 在区间
A( x ) B( x ) = B( x ) A( x ) = I 可逆的。 上是可逆的 那么我们称 A( x ) 在区间 [a , b] 上是可逆的。
的逆矩阵， 称 B ( x )是 A( x ) 的逆矩阵，一般记为 A ( x ) 例 ：已知
1
1 1 A( x ) = x x 0 e 上是可逆的， ，那么 A( x ) 在区间 [3,5] 上是可逆的，其
函数矩阵对纯量的导数和积分
定义：如果 A( x ) = ( aij ( x )) m×n 的所有各元 定义： 处有极限， 素 aij ( x ) 在 x = x0 处有极限，即
x → x0
lim aij ( x ) = aij
(i = 1, , m; j = 1, , n )
为固定常数。 其中 aij 为固定常数。则称 A( x ) 在 x 极限， 有极限，且记为
x x
同样可以求得
(∫
x2
0
sin x A( x )dx ) = 2 x 2 cos x
2 '
cos x 2 sin x
2
例 4 ：已知函数矩阵
e x A( x ) = e 3x
2x
xe x 2e 0
x3 0
x
x 0 0
2
试计算
∫
1
0
A( x )dx , ( ∫ A( x )dx )
2
0 0 d A( x ) = 3 dx 0 0
3
由于 A( x ) = x 3 ，所以
d 2 A( x ) = 3x dx 1 下面求 A ( x ) 。由伴随矩阵公式可得
1 * A ( x) = A ( x) A( x )
1
0 2 1 0 x = 3 = 1 x x 1 x2 d 1 再求 A ( x) dx
试计算
x 0
2
d d d (1) A( x ), 2 A( x ), 3 A( x ) dx dx dx d (2) A( x ) dx d 1 (3) A ( x) dx
证明： 证明：
2
3
0 2 x d A( x ) = dx 1 0
0 x d A( x ) = 2 0 0 dx
例 3 ：已知函数矩阵
sin x cos x A( x ) = cos x sin x
试求
∫
x
0
A( x )dx , ( ∫ A( x )dx )
0
x2
'
证明： 证明：
sin xdx cos xdx x ∫0 ∫0 ∫0 A( x)dx = x x ∫0 cos xdx ∫0 sin xdx 1 cos x sin x = 1 cos x sin x
(2) (3)
x → x0 x → x0
lim( kA( x )) = kA
lim( A( x ) B( x )) = AB
定义： 定义：如果 A( x ) = ( aij ( x )) m×n 的所有各元素 aij ( x )(i = 1, , m; j = 1, , n ) 在点 x = x0 可导， 处(或在区间 [a , b] 上)可导，便称此函数矩阵 或在区间 可导 A( x ) 在点 x = x0 处(或在区间 [a, b] 上)可导， 可导， 或在区间 可导 并且记为
函数矩阵的导数运算有下列性质： 函数矩阵的导数运算有下列性质： (1) A( x ) 是常数矩阵的充分必要条件是
dA( x ) =0 dx (2) 设 A( x ) = ( aij ( x )) m×n , B ( x ) = (bij ( x )) m×n
均可导， 均可导，则
d dA( x ) dB( x ) [ A( x ) + B( x )] = + dx dx dx
x → x0
= x0 处
lim A( x ) = A
其中
a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A= am1 am 2 amn
如果 A( x ) 的各元素 即
x → x0
aij ( x ) 在 x = x0 处连续， 处连续，
(i = 1, , m; j = 1, , n )
dA( x) A( x0 + x) A( x0 ) A′( x0 ) = = lim dx x= x0 x→0 x ′ ′ a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a′ ( x ) a′ ( x ) 22 0 21 0 = ′ ′ am1 ( x0 ) am2 ( x0 ) ′ a1n ( x0 ) ′ a2n ( x0 ) ′ amn ( x0 )
矩阵分析
主讲教师：魏丰
第七章
函数矩阵与矩阵微分方程
函数矩阵
定义： 定义： 以实变量
x 的函数为元素的矩阵
a1n ( x ) a2 n ( x ) amn ( x )
a11 ( x ) a12 ( x ) a ( x) a ( x) 22 21 A( x ) = a m1 ( x ) a m 2 ( x )
逆为
x x x e 1 A ( x) = 0 1 x e
函数矩阵可逆的充分必要条件 定理 : 阶矩阵 A( x ) 在区间 [a , b] 上可逆 的充分必要条件是 A( x ) 在 [a , b] 上处处不 为零，并且 为零，
1 * A ( x) = A ( x) A( x ) * 的伴随矩阵。 ，其中A ( x ) 为矩阵 A( x ) 的伴随矩阵。
(6) 设 A( x ) 为矩阵函数， x = f (t ) 是 t 的纯量 为矩阵函数， 函数， 均可导， 函数， A( x ) 与 f (t ) 均可导，则
1
d dA( x ) dA( x ) A( x ) = f ′(t ) = f ′(t ) dx dx dx
定义： 定义： 如果函数矩阵 A( x ) = ( aij ( x )) m×n 的 所有各元素 aij ( x )(i = 1, , m; j = 1, , n ) 上可积， 可积， 在[a , b] 上可积，则称 A( x ) 在 [a , b] 上可积， 且
1 x 1 3 x
0 d 1 A ( x) = d 2 x3
例 2 ：已知函数矩阵
1 2 x 3 4 x
sin x sin x A( x ) = x 1
cos x e
x
0
x 2 x 3 x
试求
(1) lim A( x )
x →0
d (2) A( x ) dx 2 d (3) A( x ) 2 dx d (4) A( x ) dx d (5) A( x ) dx
设 则
a1n ( x0 ) a2 n ( x0 ) amn ( x0 )
容易验证下面的等式是成立的： 容易验证下面的等式是成立的：
x → x0
lim A( x ) = A, lim B( x ) = B
x → x0 x → x0
(1)
lim( A( x ) ± B( x )) = A ± B
1
定义： 定义：区间 [a , b] 上的 m × n 型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为 A( x ) 的秩。
特别地， 特别地，设 A( x ) 为区间 [a , b]上的 n 阶矩阵 函数， 函数，如果 A( x ) 的秩为 n ，则称 A( x ) 一个 满秩矩阵。 满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言， 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不 是等价的。 可逆的一定是满秩的， 是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是 满秩的却不一定是可逆的。 满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知
'
函数向量的线性相关性
定义： 定义：设有定义在区间 [a , b]上的 m 个连续的 函数向量
αi ( x ) = (ai1 ( x ), ai 2 ( x ), , ain ( x ))(i = 1, 2,, m)
如果存在一组不全为零的常实数 k1 , k 2 , , km 使得对于所有的 x ∈ [a , b] 等式
0 1 A( x ) = 2 x x
那么 A( x ) = x 。于是 A( x ) 在任何区间 [a, b] 上的秩都是 。即 A( x ) 是满秩的。但 上的秩都是2。 是满秩的。 上是否可逆， 是 A( x ) 在 [a , b]上是否可逆，完全依赖于 a, b 的取值。当区间 [a, b] 包含有原点时， 的取值。 包含有原点时， 上有零点， A( x ) 在[a, b] 上有零点，从而 A( x ) 是不 可逆的 。
1 x sin x 1 + x cos x A= x , B = ex 1 + x 1 x e
计算
A + B, AB, A , 2 ( A B )
T x
定义：设 A( x ) 为一个 n 阶函数矩阵，如果 阶函数矩阵， 定义： 存在 n 阶函数矩阵 B ( x ) 使得对于任何 x ∈ [a, b] 都有
b a ( x )dx ∫a 11 b b ∫a a21 ( x )dx ∫a A( x )dx = b ∫a am1 ( x )dx a1n ( x )dx ∫a ∫a b b ∫a a22 ( x )dx ∫a a2n ( x )dx b b ∫a am 2 ( x )dx ∫a amn ( x )dx
d dA( x ) [kA( x )] = k dx dx
(4) 设 A( x ), B ( x ) 均可导，且 A( x ) 与 B ( x ) 是 均可导， 可乘的， 可乘的，则
d dA( x ) dB ( x ) [ A( x ) B( x )] = B( x ) + A( x ) dx dx dx
lim aij ( x ) = aij ( x0 )
则称 A( x ) 在 x
= x0 处连续，且记为 连续，
x → x0
lim A( x ) = A( x0 )
其中
a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a (x ) a (x ) 22 0 21 0 A( x0 ) = am1 ( x0 ) am 2 ( x0 )
(3)设 设
k ( x) 是 x
的纯量函数， 的纯量函数，A( x ) 是函数矩
均可导， 阵，k ( x ) 与 A( x ) 均可导，则
d dk ( x ) dA( x ) [k ( x ) A( x )] = A( x ) + k ( x ) dx dx dx
特别地， 特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有
称为函数矩阵， 称为函数矩阵，其中所有的元素
aij ( x ), i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n
上的实函数。 都是定义在闭区间 [a , b] 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 全相同。 例：已知
因为矩阵没有交换律， 因为矩阵没有交换律，所以
d 2 dA( x ) A ( x ) ≠ 2 A( x ) dx dx d 3 dA( x ) 2 A ( x) ≠ 3A ( x) dx dx
(5) 如果
均可导， A( x ) 与 A ( x ) 均可导，则
1
dA ( x ) dA( x ) 1 1 = A ( x) A ( x) dx dx
b
a12 ( x )dx
b
函数矩阵的定积分具有如下性质： 函数矩阵的定积分具有如下性质：
∫ ∫
b
a b
kA( x )dx = k ∫ A( x )dx
a b a
b
k∈R
b a
a
[ A( x ) + B ( x )]dx = ∫ A( x )dx + ∫ B ( x )dx
例 1 ：已知函数矩阵
1 A( x ) = x