2. 奇异积分方程

§2 奇异积分方程
一、奇异积分方程的定义与例子
1° 如果积分方程的积分是积分区间为无限（或核K (x,ξ)为无界函数）的广义积分，那末称该方程为奇异积分方程，例如
⎰∞=
0d )(s i n 2)(ξξξπy x x F (1)
⎰∞-=0d )()(ξξξy e x F x (2) 和
⎰
∞-=0d )()(ξξξx y x F (3)
都是奇异积分方程。

2° 方程（1）的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。

若当x>0时，F(x)逐段可微且⎰∞0)(dx x F 存在，则方程（1）有唯一的反演公式： ⎰∞=
0d )(sin 2)(ξξξπF x x y （x >0）
考虑齐次积分方程 ⎰∞=0
d )(s i n )(ξξξλy x x y (4) 从已知的公式
⎰∞--+±±=+±02
222d 2sin 22][ξαπξπαπαξαx x e x x x e x (x>0,α>0) 可知πλ2±=确实是特征值。

当π
λ2=时，对任意正常数α，函数 2212)(x x e x y x ++=
-απα (x >0) 满足方程（4）；而当πλ2
-=时，对任意正常数α，函数
2222)(x
x e x y x +-=-απ
α (x >0) 也满足方程（4）。

于是这两个λ值是无穷重的特征值，即每个值对应无穷多个特征函数。

这个事实与Fr 方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。

3° 由方程（2）右边所定义的函数F （x ）是函数y （x ）的拉普拉斯变换。

因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换，两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。

所以对一个给定函数F(x)，若（2）存在一个解，则解是唯一的。

考虑齐次积分方程
⎰∞
-=0d )()(ξξλξy e x y x （x >0） （5） 根据伽马函数的定义有
()ααξαξξ-∞--Γ=⎰
x e x 01d ()0>α
以α-1代替α，得 ()10
1d -∞---Γ=⎰
ααξξαξξx e x ()1<α 由上面两等式推出 ⎰∞
-----Γ+-Γ-ΓΓ=Γ+-Γ011])()1([)1()(d ])()1([a a a a x x a x a a a a a e ξξξξ
()10<<α 如果令 ()()
ααλ-ΓΓ=11 ()10<<α 那末上式表明，函数
()()()αααα--Γ+-Γ=x x x y 11 （x >0）
是积分方程（5）的解。

因此，对参数α的任一值()10<<α，有一个λ值对应，并且决定了方程（5）的一个非平凡解。

利用恒等式
()()πα
πααsin 1=-ΓΓ ()10<<α 有
ππαλsin =
()10<<α 由此推出，在区间πλ10≤
<内的一切λ值都是奇异积分方程（5）的特征值。

还能证明在区间01<≤-λπ内的一切λ值也是奇异积分方程（5）的特征值。

积分方程（3）的积分区间是有限的，但是核是无界函数，这种奇异积分方程将在本节二和§3中考虑。

二、具有柯西核和希尔伯特核的积分方程
[柯西核与希尔伯特核]
定理 设L 是任一光滑闭曲线，()ξϕ是定义在L 上且满足具有指数α)10(≤<a 的李普希茨条件*的一个函数，当z 从L 的内部趋于L 上任一点t 时，则柯西型积分
()()⎰-=L z
i z F ζζζϕπd 21 （1） 趋于极限值
⎰-+=L i d i t t F ξξξϕπϕ1
)(21)(21)( 当z 从L 的外部趋于L 上任一点t 时，积分（1）趋于相应的极限值
*如果存在两个常数K 和α（0<α≤1）,使对区间[a ,b ]上的任意一对值x x ''',下面的不等式成立：
α
x x K x f x f ''-'<''-')()(
则称函数f (x )满足具有指数α的李普希茨条件。

⎰-+-=L i d i t t F ξξξϕπϕ1
)(21)(21)( 上面两个等式中的积分都是广义积分
表达式
t -ζζ
d
称为柯西核，式中ζ和t 是L 上的任意两点。

表达式
σσd s 2cot - 称为希尔伯特核，式中s 和σ都是实变量，并在闭区间[]π2,0内变动。

柯西核和希尔伯特核之间有很简单的关系。

设L 是一简单闭曲线，它是有连续曲率的一条光滑曲线。

设L 的参数方程是
()s x x =，()s y y =
设相应的参数s 在闭区间[]π2,0内变动。

令t=x +i y 和t=x (s)+i y (s)。

L 的方程可写作t=t (s )。

设ζ是L 上任一点，则有一参数值σ，使()σζt =。

于是不难证明：
σσσσξξd s P d s d ),(2
cot 211+-=- 式中P (s ,σ)是两个变量s 和σ的连续函数，这函数满足具有某指数的李普希茨条件。

[具有希尔伯特核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:
)(d )(),(d 2
c o t )(2)(2020s F y s K s y b s ay =+-+⎰⎰ππσσσσσσπ (2) 式中a 和b 是常数。

假定核K (s ,σ)和自由项F （s ）都满足李普希茨条件。

如果K (s ,σ)≡0，则所考虑的方程是
⎰=-+πσσσπ20)(d 2c o t )(2)(s F s y b s ay (3)
若a 2+b 2≠0,则这个方程的解是
⎰⎰++-+-+=ππσσπσσσπ20222
202222d )()(2d 2cot )()(2)()(F b a a b s y b a b s F b a a s y (4)
若a 2+b 2=0,则方程一般没有解。

注意特殊情况a =0.不防设b =1,则（3）变为第一类Fr 方程
)(d 2
c o t )(2120s F s y =-⎰πσσσπ 这时，（4）式的解没有用，但方程（3）有解的充分必要条件是:
()0d 20=⎰πs s F
解的形式是
()()C s F s y +--=⎰πσσσπ20d 2
c o t 21 式中C 是任意常数。

在一般情形下，可以证明方程（2）与一般形式的Fr 方程等价，于是所考虑的方程归结
到解Fr 方程。

具有希尔伯特核的奇异积分方程的一般形式是
()()()()()()()s F y s K s y s b s y s a =+-+⎰⎰ππσσσσσσπ2020d ,d 2
c o t 2 式中a (s )和b (s )是变量s 的函数。

若a (s )和b (s )满足李普希茨条件，上式可化为Fr 方程，但是二者可能不等价。

[具有柯西核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程：
()()()t F t
y i b t ay L =-+⎰ζζζπd （5） 式中a 和b 是常数，L 是闭曲线。

若a 2-b 2≠0,则（5）的解为
()()()
()⎰----=L t
F i b a b t F b a a t y ζζζπd 2222 具有柯西核的奇异积分方程的一般形式是 ()()()()()()()t F y t K t
y i t b t y t a L L =+-+⎰⎰ζζζζζζπd ,d ()()()022≠-t b t a 它也可化为Fr 方程。

若a 和b 是常数，则得到的Fr 方程与上面方程等价。

在一般情形下需加补充说明。