高等电磁理论第五章答案5

G 0 ，则满足齐次标量亥姆霍兹方程的本征函数 n (r ) 应具有相同的齐次边界条件 n s n ( r ) 0。 n s
将 G(r , r ' ) 和 n (r ) 代入标量格林等式中得
[
V
n
2G G 2 n ]dv [ n
s
n G G ]ds n n
4 m 2 n 2 m m x ' n n y ' [( ) ( ) k 2 ]1 sin x sin sin y sin a b a a b b m 1 n 1 ab

1
5-2
在一半径为 R0 的圆柱形金属波导内，于 z z 平面上放置一半径为 的均匀磁
2 2 ' ' ( k ) Az 0 ( x x ) ( y y ) Az |x 0,a 0, Az | y 0,b 0
令 G1 Az
0 ，则格林函数满足以下的辅助边值问题
2 2 ' ' ( k )G1 ( x x ) ( y y ) G1 |x 0,a 0, G1 | y 0,b 0
将圆柱形金属波导分成 z z 和 z z 两个区域，并令其解为
' '
（1）
' G11 G G1z , z z （2） ' G G G , z z 2z 12 根据边界条件选择 G 的本征函数为 J 0 ( 0 n ) ， 其中0 n 为第一类零阶贝塞尔函数的第 n 个 R0
1 Az ( ) ikz e e
由 Ee i Ae
1 Ae 可得 ( i )
( Ae ) (ikAz ( )e ikz ) ike ikz
所以
Az ( ) e k 2 Az ( )e ikz e z
根。于是式（2）变为
2
G J 0 ( 0 n )Gz1 , z z ' 11 R0 n 1 G J (0 n )G , z z ' 12 0 z2 R0 n 1
将上式代入式（1）中可得
[
n 1

0n 2 0n d2 ( ' ) ( z z ' ) 2 k ( ) ] G J ( ) x 0 dx2 R0 R0
i0
流环，磁流密度为 J ml e J ml e 场问题对应的格林函数。
，如习题 5-2 图所示。试在圆柱坐标系中导出该二维时谐
习题 5-2 图 解：根据磁流环的对称性可知，磁流环将只产生矢量电位 Am 的周向分量 Am ，它与坐 标 无关。于是由复电、磁场强度 E 和 H 与 Am 之间的关系式可得
由于 R0 a ，所以可忽略第一项分母中的 a 2 ，并对分子指数中的根式作级数展开，忽略 高次项，可得
a2 ika 2
A 2ikR0 ik R0 A 2ikR0 2 R0 ka 2 u ( P) e (e 1) e e (2i sin ) 2R0 2R0 2R0 eikR0 A2 ka 2 2 光的强度为 I ( P) ( P) 2 sin 2 ( ) ，又 inc I 0 A R0 R0 2R0
其中每个圆括号中第二项的数量级 ( kR0 )
1
2
2
1
2 R0 a2

)
e2ikR0 i (1 2 R0 kR0
)}
~

R0
1 ，所以它们以及其后的项可以略去，
2 2
则有
AR0 e2ik R0 a e2ikR0 u (r ) { 2 2 } 2 R0 a2 R0
求散射场。
i 解：入射磁场用柱面波展开为 H
n s
i

n
J n (k )ein e z
n (2) Bn H n (k )ein e z
散射场为向外传播的柱面波，展开式为 H 则导体圆柱外的合成磁场为
n
i
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H Hi Hs
所以总电场为
n
'
(r r ' )
2 kn kn
Q
n 0 2 n
1
n
(r ) *n (r ) ，本题中有
mn ( x, y ) sin
m n m ' n x sin y ， *mn ( x, y ) sin x sin y a b a b 1 m 2 n 2 2 2 Qn ) ( ) ， kmn ( 4ab a b
1 E (a Am ) H ja Am 1 (a Am ) j
可知电场只有 E 和 E z 分量，而磁场只有 H 分量，因此均匀磁流环在圆柱形金属波导 中应激励出 TM 模式。 在圆柱坐标系中， Am 应满足以下的标量亥姆霍兹方程
（1）
由x0 ，a 和 y 0，b 处的齐次边界条件可以得到其形式解为
G1 Anm sin
m 1 n 1


m n x sin y a b
（2）
将式（2）代入式（1）中可得
[k
m 1 n 1


2
(
m 2 n 2 m n ) ( ) ]Anm sin x sin y ( x x ' ) ( y y ' ) a b a b
i

n
(2) [J n (k ) Bn H n (k )]ein e z
E
1 i
H
1
i

1 { inHe
' n
n
i

n
in [J 'n (k ) Bn H '(2) e } n ( k )]e
(2)' 由边界条件 a 时 E 0 可得 Bn J (ka) / H n (ka) ，所以散射场为
解：基尔霍夫衍射积分公式为 u (r ) 当光源离屏较近时， u 为球面波 u ( r ) A
1 4
eikR 1 S0 R n [u (r ) (ik R )eRu (r )]dS
eikr ，上式可化为 r
（1）
iA u (r ) 4
eik ( R r ) S0 Rr (k1 k2 ) ndS
用 J0 (
0 n
R0
) 乘以上式两端，并积分可得
2 ' J 0 ( ) 2 ]Gz
[ dz
n 1

d
2 2
k2 (
0 n
R0
0 n
R0 (z z' ) R J (0 n )
2 2 0 1
')
选择两个本征函数为
( 0 n )2 k 2 z F1 e R0 , z z' ( 0 n )2 k 2 z R0 , z z' F2 e
第五章
5-1
亥姆霍兹方程的边值问题
如习题 5-1 图所示，设横截面尺寸为 a b 的无限长矩形波导中有一沿 z 向均匀分
布的单位线电流源。求波导内的格林函数。
习题 5-1 图 解：由于线电流源只有 z 向分量，故矢量磁位只有 z 向分量，从而波导中只能产生截止 状态下的 TM 模。易知矢量磁位满足以下边值问题
（3）
将上式两端乘以 sin
s x t y sin ，并积分可得 a b
4 m 2 n 2 1 m x ' n y ' 2 Anm [k ( ) ( ) ] sin sin ab a b a b
最后将式（4）代入式（2）中得
（4）
G1 ( x, y | x ' , y ' )
[
1 2 ( ) 2 k 2 ] Am J m z
因此该定解问题对应的格林函数应满足以下的辅助定解问题
1 2 ( ' ) ( z z ' ) 2 [ ( ) k ] G 1 z 2 ( G1 ) | R0 0
R02 (
0 n
R0
5-3
若电磁波的矢量磁位 Ae Az ( )e
ikz
ez ，式中 x 2 y 2 ，试在圆柱坐标系中
求该电磁波的电场强度及磁场强度。
解：由 H e
1

Ae 可得 Ae He
Az ( ) ikz e e ，故
所以
1 G 4ab m0 n0
sin
m m ' n n ' x sin x sin y sin y a a b b m 2 n 2 ( ) ( ) k2 a b
4
5-5 为：
理想导电圆柱半径为 a ，沿 z 轴放置。设入射波为均匀平面波，入射波磁场强度
H i ez eikx
5-4
已知标量格林函数在矩形区域的边值问题为：
2G 2G k 2G ( x x) ( y y ) ， 0 x a , 0 y b x 2 y 2
G n
求此标量格林函数。 解：易知标量格林函数满足方程
x 0,a y 0 ,b
0
2G 2G k 2G ( x x) ( y y ) 和边界条件 x 2 y 2
求散射场。 5-7 为： 理想导电圆柱半径为 a ，沿 z 轴放置。设入射波为均匀平面波，入射波磁场强度
H i e y eik ( x sin z cos )
求散射场。 5-8 圆孔菲涅耳衍射，在无限大完全吸收平面上有一半径为 a 的小圆孔，设波源在圆
孔左侧对称轴上距圆孔中心为 R0 处，它在圆孔中心处产生的强度为 I 0 ，求圆孔右侧轴上距 圆孔中心同样为 R0 点处的强度（设 R0 ） 。
5
由题意可得 k1 n k2 n k cos
2 引入极坐标系： R2 R0 2 ， cos
R0 ， d RdR ，则（1）式可化为 R
2 R0 a2
u (r ) iAkR0
利用分部积分方法，我们可得
R0
e 2ikR dR R2
AR e2ik R0 a i u (r ) 0 { 2 (1 2 2 R0 a k
3
Ee i Az ( )e ikz e z [i
A ( ) 1 (ikeikz z e k 2 Az ( )e ikz e z ) ( i )
A ( ) k2 ik ] Az ( )e ikz e z e ikz z e ( i ) ( i )
（1）
考虑到 G(r , r ' ) 和 n (r ) 均满足齐次边界条件，则上式右边积分为零。又 n (r ) 满足下列方
2 程 2 n (r ) kn n (r ) 0 ，则由（1）式可得
G(r , r ' )
二维 (r r ' ) 的展开式为 ( r r )
2
2

A2 ，所以 2 R0
I I 0 sin 2 (
随着 R0 变化而变化。
其朗斯基行列式为 W 2 (
0n
R0
'
)2 k 2 ，于是格林函数为
J0 (
0 n
R0
G1 ( , z | , z )
' n 1

) J 0 ( 0n ' )
R0 e ) 2 k 2 J12 (0 n )
(
0 n
R0
)2 k 2 | z z ' |
' (2)' (2) H s in[ J n (ka ) / H n (ka )]H n (k )ein e z n
5-6
理想导电圆柱半径为 a ， 沿 z 轴放置。 设入射波为均匀平面波， 入射波电场强度为：
E i e y eik ( x sin z cos )