流体力学基本方程组数学性质及其分类

1i i , i 1, 2,, n 2i
• • • • •
i i i
为n个相异实根 为n个重实根 为n个虚根或复数根
双曲型方程 抛物型方程 椭圆型方程
若在n个特征根中有若干相异实根，若干重根，则是双曲－抛物型方程组，方程 组整体上属于抛物型的 若在n个特征根中有若干复数根，若干重根，则是抛物－椭圆型方程组，方程组 整体上属于椭圆型的
•
(1) 发展问题
• 抛物型方程（组）所控制的问题一般描述和时间有关 的，伴随着明显耗散效应流动问题。例如，非定常粘 性流动、非定常热传导和扩散问题，在这类问题中一 般必须给出初始条件和 t ＞ 0 时整个边界上的边界条件， 因此，也把抛物型方程（组）所控制的问题也称为初 边值问题。在求解区域内（即0＜x＜L和t＞0）某一点 x （ ）的扰动只能影响 以后的事件，而且，在 t tp p,tp 时，解是随着时间变化，并在空间扩散，由于存在耗 t tp t tp 散效应，保证求解区域内解在时间 总是光滑的， 即使初始条件存在间断。 • 在这里特别要指出的是，并不是所有的发展问题都是 非定常的。我们将会看到在某些定常问题中也可能由 双曲型方程（组）和抛物型方程（组）描述。
(2) 平衡问题
平衡问题是指一类定常态的，和时间无关的流体流动 问题，例如，各种粘性和无粘性定常流动和热传导，或其 他定常态问题。这类问题基本方程（组）是由椭圆型方程 （组），最典型的椭圆型方程是拉普拉斯（ Laplace ）方 程或泊松（ Poisson ）方程。在这类问题中一般只要给出 t ＞0时所有边界上的边界条件，就能求出椭圆型方程的解， 而且解是唯一的，因此，也把椭圆型方程（组）所控制的 问题也称为边值问题。在数值求解椭圆型方程（组）时， 某一点的值和求解区域内所有相邻的点的值有关。同时即 使在边界上有间断，椭圆型方程（组）的解在整个求解区 域内总是光滑的。
U U A B H x y
为n阶列矢量。A,B为n×n矩阵。
式中 U (u1, u2 ,un )T 特征方程为 det(
1i
和 H (h , h ,h )T 1 2 n
aij , bij
1i , 2i 为特征方程的系数。可解得特征根为： 是A,B矩阵中各对应元素，
aij 2i bij ) 0
u 2u u 2u , 2, , 2 等的 式中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c 均不是 u, x x y y 函数。
2 a12 a11a22
当 0 时，是双曲型方程；
当 0 时，是抛物型方程；
当 0 时，是椭圆型方程。
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.1 流体力学基本方程组数学性质及其分类
2.1.1 流体力学问题的物理分类
在研究流体力学方程组数学性质和分类之前，首先需 要从物理角度来了解流体力学的基本问题。流体力学中流 体流动是非常复杂的，存在各种各样的流动问题，在分析
流体力学各种流体流动问题后，可以发现流体流动大体上
有两大类物理问题：发展问题和平衡问题。
(1) 发展问题
• 发展问题是指一类瞬态的，和时间有关的，并随时间变 化的流体流动问题。例如，瞬态热传导问题，非定常流 体流动和波传播问题等。这类问题的基本方程（组）是 双曲型方程（组）或抛物型方程（组）。 双曲型方程（组）所控制的问题一般描述和时间有关的， 不存在耗散效应流体流动和波传播问题中。在这类问题 中必须给出初始条件和t＞0时整个边界上的边界条件， 因此，也把双曲型方程（组）所控制的问题也称为初边 值问题。流动内部允许存在间断是双曲型方程（组）最 明显的特点，例如，流体流动中激波间断。正因为流动 内部允许存在间断，双曲型方程（组）所控制的问题有 一套独特的数值算法。
因此，把初边值条件作为双曲型方程或抛物型方程的定
解条件是适定的。
二、三种类型方程数学性质的基本差别
(2) 三种类型方程的解的光滑性是不同的，对它们的定解条件 光滑性要求也不一样。一般说来，椭圆型、抛物型方程解 是充分光滑的，对定解条件光滑性要求不高；而双曲型方 程解可能出现弱解（流场中存在间断，例如激波），双曲
2.1.2 偏微分方程数学性质和分类的意义
在数学上偏微分方程一般划分为双曲型、抛物型和
椭圆型三种类型。不同类型方程所描述的流体流动主要
特征与物理背景都是很不一样的，它们的数学性质、定
解条件提法和数值算法也是大相径庭。
一、二阶线性微分方程的分类
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f x xy y x y
其中D 是边界为D 的有界区域。如果把这个边界条件作为方 程的定解条件，则方程是适定的，即解存在、唯一且稳定。
二、三种类型方程数学性质的基本差别
双曲型方程或抛物型方程
u u 0 t x
或
u u 2u 2 t x x
它的定解条件必须既有初始条件，又有边界条件。
2.1.3 模型方程及其数学性质
流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组。这些方程的 数学性质，如解的存在性、唯一性、数学提法的适定性等都 还在研究中，且很难找到一般情况下方程的解析解或精确解，
型方程对定解条件光滑性要求较高。
(3)三种类型方程的影响区和依赖区不同 双曲型方程和抛物型方程解的影响区是有界的。例如，在
求解双曲型方程时，为了和影响区特征一致，采用迎风差
分格式比较合理；而椭圆型方程解影响范围遍及全流场， 采用中心差分格式计算效果较好。
三、偏微分方程组的数学分类
一阶拟线性偏微分方程组：
二、三种类型方程数学性质的基本差别
(1) 三种类型偏微分方程的适定性要求对定解条件的提法不同。 椭圆型方程：
பைடு நூலகம்
2u 2u 2 f ( x, y), ( x, y) D 2 x y
它的定解条件是第一类边值条件（ Diricblet 条件）：
u( x, y) g ( x, y), ( x, y) D