三重积分的计算方法及经典例题

3.计算
I zdxdydz [ zdxdy ]dz z[ dxdy ]dz zS Dz dz
0 Dz 0 Dz 0 1 1 1
1 1 1 1 z ( xy )dz z (1 z )(1 z )dz ( z 2 z 2 z 3 )dz 2 2 20 24 0 0
1 x 2

dy
x2 y2

1
x y dz dx
2 2 1
1
1 x 2
1 x 2

x 2 y 2 (1 x 2 y 2 )dy
6
注：可用柱坐标计算。 解 2“截面法” 1.画出 。 2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 y 2 z 2
2.对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面
所围成的形体；被积函数为仅含 z 或 zf ( x 2 y 2 ) 时，可考虑用柱面坐 标计算。
三重积分的计算方法例题：
补例 1 ：计算三重积分 I zdxdydz ，其中 为平面 x y z 1 与三个坐标面
1
1
1
补例 2：计算 x 2 y 2 dv ，其中 是 x 2 y 2 z 2 和 z=1 围 成的闭区域。 解 1“投影法” 1.画出 及在 xoy 面投影域 D.
z x 2 2 y 2 由 z 1 消去 z，
得 x 2 y 2 1 即 D： x 2 y 2 1 2. “穿线” x 2 y 2 z 1 ， X型
Dz
重积分） ； 进 而 计 算 定 积 分 F ( z )dz ， 完 成 “ 后 一 ” 这 一 步 。
c1
c2
f ( x, y, z )dv [ f ( x, y, z )d ]dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y 无关） ，且 D z 的面积 ( z ) 容 易求出时， “截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可 以按以下几点考虑：将积分区域 投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面) （1） D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当 的边界曲面 中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
三重积分的计算方法：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。 其实质是计算一个定积分 （一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分 f ( x, y, z )dz ，再做二重积分 F ( x, y )d ，就是“投影
z1 D z2
法” ，也即“先一后二” 。步骤为：找 及在 xoy 面投影域 D。多 D 上一 点（x,y） “穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ； 进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二” 这一步。 f ( x, y, z )dv [ f ( x, y, z )dz ]d
2
三重积分的计算方法练习
1. 计算 （x 2 y 2 )dv ，其中 是旋转面 x 2 y 2 2 z 与平面 z=2,z=8 所围成 的闭区域。
2. 计算 其中 是锥面 z x 2 y 2 与球面 z 1 x 2 y 2 所围成 （x z )dv ，
3.计算
I zdxdydz dx dy
0 0 1 1 1 x 1 x y

0
zdz dx
0 0
1
1 x
1 1 1 x (1 x y ) 2 dy [(1 x) 2 y (1 x) y 2 y 3 ]1 0 dx 2 20 3
1 由 z=r 与 z=2 围成； z [0,2] ， D z ： r z 0 2 1 ： 0 r z 0 z 2
2 由 z=2 与 z= 6 r 2 围成； z [2,6] ， D z ： r 6 z 0 2 2 ： 0 r 6 z 2 z 6
0 2 0 2 0 2
2
92 3
注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标 r 代换。 补例 5：计算 ( x 2 y 2 )dv ，其中 由不等式 0 a x 2 y 2 z 2 A ， z 0 所确 定。
x cos sin 解：用球坐标计算。由 y sin sin 得 的边界曲面的球坐标方程： a A z cos
y x
三重积分的计算方法小结： 1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法” ，要视积分域 及被积函数 f(x,y,z)
的情况选取。 一般地，投影法（先一后二） ：较直观易掌握； 截面法（先二后一） ： D z 是 在 z 处的截面，其边界曲线方程易 写错，故较难一些。 特殊地，对 D z 积分时，f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 S Dz 。因而 中只 要 z [a, b] , 且 f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更佳。
“穿线”
r z 6r
2
0 2 ∴ : 0 r 2 2 r z 6 r
6 r 2
3．计算
2
zdv [
D 0
6 r 2

r
zdz ]rdrd d rdr
0 0 2
2
2

r
1 r 2 zdz 2 r[ z 2 ]6 dr r 2 0 92 。 3

的闭区域。 为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立 完成以上的练习，答案后续。
即 D： x 2 y 2 1 2.“穿线” x 2 2 y 2 z 2 x 2
1 x 1 X 型 D： 2 2 1 x y 1 x
1 x 1 ： 1 x 2 y 1 x 2 2 2 2 x 2 y z 2 x
2
d d (
0 a
A
2
1 A sin 2 ) 2 sin d = 2 sin 3 [ 5 ] a d 5 0
2
=
2 5 2 5 2 4 5 ( A a 5 ) sin 3 d ( A a 5 ) 1 (A a5 ) 5 5 3 15 0
P ，连结 OP= ，其与 z 轴正向的夹角为 ，OP= 。P 在 xoy 面的投影为 P ，连结 OP ，其与 x 轴正向的 夹角为 。 ∴ ： a A ， 0 ， 0 2 2
2
0
( x

2
y 2 )dv
D z1 z2
如果先做二重积分 f ( x, y, z )d 再做定积分 F ( z )dz ， 就是 “截面法” ，
Dz c1
c2
也即 “先二后一” 。 步骤为： 确定 位于平面 z c1与z c 2 之间， 即 z [c1 , c 2 ] ， 过 z 作平行于 xoy 面的平面截 ，截面 D z 。区域 D z 的边界曲面都是 z 的 函数。 计算区域 D z 上的二重积分 f ( x, y, z )d ， 完成了 “先二” 这一步 （二
2 2 2
1 2
z
1
1
补例 3：化三重积分 I f ( x, y, z )dxdydz 为三次积分，其中 ：

z x 2 2 y 2 及z 2 x 2 所围成的闭区域。
解：1.画出 及在 xoy 面上的投影域 D.
2 2 z x 2 y 2 由 消去 z，得 x 2 y 2 1 z 2 x
2
r[(6 r 2 ) 2 r 2 ]dr (36r 13r 2 r 5 )dr
0
解 2“截面法” 1.画出 。如图： 由 z 6 r 2 及z r 围成。 2. z [0,6] [0,2] [2,6] 1 2
3．计算 I f ( x, y, z )dxdydz dx
1
1
1 x 2
1 x

dy
2 x 2
2
x2 2 y2
f ( x, y, z )dz
注：当 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( x, y, z ) 为已知的解析式时可用柱坐标计算。 补例 4：计算 zdv ，其中 为 z 6 x 2 y 2 及z x 2 y 2 所围成的闭区域。
1
1 1 3 1 1 (1 x) 3 dx [ x x 2 x 3 x 4 ]1 0 60 6 2 4 24
解 2“截面法”1.画出 。2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z 。
D z 是两直角边为 x,y 的直角三角形， x 1 z , y 1 z

x 0, y 0, z 0 围成的闭区域。
解 1“投影法” 1.画出 及在 xoy 面投影域 D. “穿线” 0 z 1 x y
2.
X型
D：
0 x 1 0 y 1 x
0 x 1
∴ ：0 y 1 x 0 z 1 x y

解 1“投影法” 1.画出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标计算
x r cos 由 y r sin z z
化 的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r
z 6 r 2 0 2 2.解 得r 2 ∴D： r 2 即 0 r 2 z r
3.计算
zdv = zdv zdv z[ rdrd ]dz z[ rdrd ]dz
1 2 0 Dz1 2 Dz 2 6 2 6 2 6
2
6
zS Dz1 dz zS Dz 2 dz z[ ( z 2 )]dz z[ ( 6 z ) 2 ]dz z 3 dz (6 z z 2 )dz
（2） D 是圆域（或其部分） ，且被积函数形如 f ( x 2 y 2 ), f ( ) 时，可 选择柱面坐标系计算（当 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐 标计算） （3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f ( x 2 y 2 z 2 ) 时，可选 择球面坐标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。 对 向其它坐标面投 影或 不易作出的情形不赘述。
0 2 Dz ： 0 r z
用柱坐标计算
0 2 : 0 r z 0 z 1
3.计算


x y dv [
2 2 0 Dz
1
1 2 z x y dxdy ]dz [ d r dr ]dz 2 [ r 3 ]0 dz z 3 dz 3 3 0 6 0 0 0 0
1 x 1 D： 2 2 1 x y 1 x
1 x 1 ∴ : 1 x 2 y 1 x 2 2 x y2 z 1
3.计算


x y dv dx
2 2 1
1
1 x