高等代数环的定义与性质

一、 环的定义与基本性质
（一） 环的定义：
1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运
算叫做加法，记为“+”。

2、 定义2：代数系统),;A (⋅+称为环，若
1）（A ，+）是加群；
2）代数系统);A (⋅适合结合律；
3）乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。

3、 例子
（1）),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都是环，均称为数环。

（2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (⋅+也是数环，称之为高斯整环。

（3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。

（4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ⋅+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [⋅ = [αβ].
（5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下：
,A b ,a ∈∀αβ=0，则),;A (⋅+作成一个环，称之为零环。

（二）环的基本性质：
（1）0x a a x =⇒=+。

（2）a x x a -=⇒=+0。

（3）c b c a b a =⇒+=+。

（4）nb na )b a (n +=+。

（ν为整数）
（5）na ma a )n m (+=+。

（μ、ν为整数）
（6）)na (m a )mn (=。

（μ、ν为整数）
（7）,A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。

（8）ab )b (a b )a (-=-=-。

（9）ab )b )(a (=--。

（10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。

（11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11
11 。

（12）)ab (n )nb (a b )na (==。

(ν为整数)。

（13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则
()k n k n k k n n b a C b a -=∑
=+0
（14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。

（μ、ν为整数）
（三）交换律与单位元：
1、定义3：环R 叫做交换环，若,R b ,a ∈∀有
ba ab =
定义4：环R 的元e 称为单位元，若,R a ∈∀有 a ea ae ==
约定：环R 若有单位元，则记其单位元为1，并称R 为有1的环。

性质：设R 是有1环，则
（1）若{}001==R ,则；
（2）若P 不仅含一个元，则1≠0.
2、 定义5：R 为有1环，a 、,ba ab ,R b 1==∈则称b 为a 的逆元，记为1-a 。

性质：有1环的所有可逆元关于乘法构成群。

二、 整环、除环、域
（一）整环
1、 定义：设R 为环，a 、R b ∈，若,b ,a 00≠≠ 但0=ab ，则称α为P 的一个左零因子，β为P 的一个右零因子。

定理1：在一个无左零因子的环里，两个消去律都成立；反之，若一个环里有一个消去律成立，则该环无零因子。

推论：环中，若有一消去律成立，则另一消去律也成立。

2、定义：无零因子的有1交换环称为整环。

3、例子
(1)A=⎪⎭⎫ ⎝⎛0101、B=⎪⎭
⎫ ⎝⎛1100分别是全阵环M 2(P)的左右零因子。

(2)整数环Z 是整环；
(3)实数域P 上的多项式环P[ξ]是整环；
(4)证明左逆元不是零因子。

（二）除环与域
1、定义：一个至少包含一个非零元的有1环R中，若R的任一非零元都有逆元，则称R为除环（或体）。

交换除环称为域。

2、基本性质：
1）除环无零因子。

2）R为除环⇔R有1，且R
∀0都可逆。

≠
a∈
3）R为除环，则{}0\R
R*=关于乘法作成一 个群，反之也然。

4）R为除环，则0
b,a，方程αξ=β,
R
≠
∀a,
∈
ψα=β在P中各有唯一解。

5）R为域，α、β0
≠
∈a,R,则方程αξ=β,ψα=β
b。

在P中各有唯一解，且解相同，记为商的形式
a
在域中，商有如下性质：
（1）bc ad d
c b a ,
d ,b =⇔=≠≠则00； （2）)d ,b (bd
bc ad d c b a 00≠≠+=+； （3）)d ,b (bd
ac d c b a 00≠≠=⋅。

3、 环、整环、除环、域的隶属关系：
三、无零因子环的特征
定理1：无零因子环的非零元对于加群而言阶一致。

定义：无零因子环的非零元在加群中的阶叫做该环的特征。

环P的特征记为Xηαρ(P)
定理2：无零因子环的特征或为无限大，或为素数。

推论：整环、除环、域的特征或无限大，或是素数。

四、子环、环的同态
（一）子环
1、子环的概念与例子
定义1：设∑是环P的一个非空子集，若∑对于P的两个运算也作成环，则称∑为P的子环，而P为∑的扩环。

特别，可相仿得到子体、子域的概念。

2、子环的判别定理
定理1：∑为环P的非空子集，以下四条等价： （1）∑为P的子环；
（2）S
+
-
⇒
∀
0；
S∈
∈
∈且
,
c,b,a
ab
c
S
a
,b
（3） S
-
⇒
∀；
b,a∈
∈
+
S
,a
ab
,b
a
（4） S
⇒
∀。

-
∈
a
ab
b,a∈
,b
S
定理2：设{0}⎺K是体（域）Φ的非空子集，以下四款等价：
（1）K是Φ有子体（域）；
（2）K
0且
∈1
K∈
,
⇒
+
∈
-
0；
∀-1
≠
,c,b,a∈
ab
,
K
,b
d,c
d
K
a
（3） K
⇒
∈
≠
0；
-
∀-1
,b
ab
c,
a
K
c
,b,a∈
（4） K
⇒
-
≠
∈
∀-1
∈
0。

b
,
ab
K
a
K
b,
b,a∈
3、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形： 1） 关于交换律：
① 交换环的子环必是交换环；
② 非交换环的子环可能是交换环，也可能是非交换环。

2） 关于零因子：
① 无零因子环的子环无零因子；
② 有零因子环的子环可能有零因子，也可能无。

3） 关于单位元的例：
① Θ、Z 的单位元都为1，这里Z ⊂Θ.
② ⎪⎭⎫ ⎝⎛1 00 1 为M 2（P ）的单位元，而 R a 0 00 a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=S 的单位元为)R (M S ,20 00 1⊂⎪⎭
⎫ ⎝⎛. ③Z 的单位元为1，但Z 的子环偶数环却无单位元.
④⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=z b a, b 00 a R 对运算
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛d b 0 0 c a d 00 c b 00 a ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 ac d 00 c b 00 a 作成环，但P 无单位元，而 z a 0 00 a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫
⎝⎛=S 为P 的子环，∑有单位元⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 00 1.
⑤P 为偶数环，{}z n 4∈=n S 为P 的子环，P 与∑都无单
（二）环的同态
以下总设);;R (∙+、);;(是代数系统。

1、环的同态基本性质：
定理1：设 P 是环，P R ，则R 也是环，而且 （1）00=)(ϕ；
（2）R a ),a ()a (∈∀-=-ϕϕ；
（3）若P 为交换环，则R 也是交换环；
（4）若P 有1，则)(1ϕ为R 的单位元。

定理2：设P 、R 都是环，P R ，则P 是整环（体、域）⇔R 是整环（体、域）。

1、 关于零因子与特征的例：
（1）ν为合数，[]z a ,a a :∈∀→ϕ，则
()∙+,;z ()∙+,;z n ,
而ζ无零因子，n z 有零因子；
（2）规定),d b ,c a ()d ,c ()b ,a (++=+
),bd ,ac ()d ,c )(b ,a (= 则()
{}z b ,a b ,a R ∈=是环，且有零因子.令a )b ,a (:→ϕ，则P
Z ，但Z 无零因子。

（3） π为素数，ϕ同 （1） ，则Z
Z ∏， 且Xηαρ（Z ）+∞=，但Xηαρ（Z ∏）=∏。

3、挖补定理：
引理：若存在代数系统),;A (∙+到集A 的一个双射ϕ，则可在A 上规定代数运算，使
A A 。

定理3（挖补定理）设∑是环P 的子环，∑＇是∑在P 中的补集，S 是另一环。

若φ=S 'S ，且∑～S ,则存在S 的扩环R 使R R ≅。

五、理想
定义：环P 的一个非空子集Θ叫做P 的一个理想子环，简称理想，如果
(ι) α、βQ b a Q ∈-⇒∈;
(ιι) αQ ar ,ra R r ,Q ∈⇒∈∈。

任何一个环都至少有两个理想：环本身，称为环的单位理想；以及{}0，称为该环的零理想。

定理1：除环只有零理想与单位理想。

定理2：P 是一个环，R a ∈，则 Y=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈∈+++∑=m i i i i i Z n ,N m ,R t ,s ,y ,x na at sa ay x 1是P
的一个理想。

定义：定理2中的Y 称为由α生成的P 的一个主理想，记为（α）。

定理3：设α为环P 的元，那么
（1） 若P 为交换环，则
（2） （α）=｛ρα+Z n ,R r na ∈∈｝;
（3） 若P 为有1环，则（α）={};R y ,x ay x i i i i ∑∈ （4） 若P 为有1交换环，则（α）={}R a ra ∈。

定理4：m 21a ,a ,a 为环P 的元，则
()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑=i m i i i a s s M 1
是P 的理想。

定义：定理4中的M 称为由m a ,a ,a 21生成的理想，记为（m a ,a ,a 21）。

六、剩余类环、同态与理想
若Θ为环P 的理想，则（Θ；+）是（P ；+）的不变子群，那么商群[]{}R a a Q /R ∈= ，其中 []{}Q x x a a ∈+=为R a ∈所在的陪集，并称[]a 为P 的一个模Θ剩余类。

显然，()R b ,a ,Q b a Q b a ∈∀∈-⇔≡
定理1：P/Θ对于运算
[α]+[β]=[α+β] , [α][β]=[αβ],R b ,a ∈∀
作成一个环，且P ～P/Θ，这里Θ为环P 的一个理想。

定义：称P/Θ为环P 的模Θ的剩余类环。

定理2：P 、R 都为环，且P R ，则κερϕ为P 的一个理想，且P/κερϕR ≅.
定理3：环P ～R ，则
（ι） P 的一个子环（理想）∑的象S 是R 的子
环（理想）；
（ιι） R 的一个子环（理想）S 的逆象∑是P 的
子环（理想）。

七、最大理想
定义：一个环P的一个不等于P的理想Θ，若P没有其它包含Θ的理想存在，则称Θ为P的一个最大理想。

即，若N为P之一理想，且Q
N⊃，那么必N=P,则称理想Θ为P的最大理想。

Λεμμα1：Θ为环P的一个理想，P/Θ除零理想与单位理想外不再有理想，当且仅当Θ为最大理想。

Λεμμα2：若有1交换环P除了单位理想与零理想外没有其它理想，则P是域。

定理：设Θ为有1交换环P的一个理想，则P/Θ是域⇔Θ为最大理想。