小概率事件的研究
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题
目
小概率事件的研究
.
学生姓名
杨凯进
学号
1109014122
.
所在学院
数学与计算机科学学院
.
专业班级
数学与应用数学数应 1102 班
.
指导教师
苏晓海
.
完成地点
陕西理工学院
.
2015 年 05 月 20 日
陕西理工学院毕业论文
小概率事件的研究
杨凯进
（陕西理工学院 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 数应 1102 班,陕西 汉中 72300x）
1 1 X , X ,..., X n ,... 1 2 X n …； X1 1, X 2 2,..., X n n,... ； X1 , 2 X 2 ,..., nX n ,... ； 2 n ；中而如何去判
定满不满足切比雪夫大数定律呢，切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量 序列的各随机变量是相互独立的。显然无论是 X 1 ， X 2 ，…， X n …，；还是
n
n
D X
i 1 i
n
n 1, 2,...
记 Z n 的分布函数为 Fn X P Z n x 。如果
Fn x x
x
1 i2 dt e 2
2
x
则称随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …服从中心极限定理。 例 1 若知道随机变量 X 1 ， X 2 ，…相互独立且服从同参数 的泊松分布，则在 X 1 ， X 2 ，…，
n
L 则称 X 1 ， X 2 ，…， X n …依分布收敛于 X ，记为 X n X 。
X 1 ， X 2 ，…， X n …依分布收敛于 X ，表明 X n 以 X 的分布为极限分布。
定理 2 假设随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …的每个数学期望 E X i , i 1, 2, …均存在，如 果对任意给定的正实数 ，有
[关键词] 小概率事件；小概率原理；应用
1 引言
概率说的就是一个随机事件发生的可能性的大小。凡事发生都是有概率的，或必然或偶然，但 是在这偶然事件中每一件事的发生都是有一定的概率，或大或小。而那些在一次试验中发生概率很 小的事件就被称之为小概率事件，如火山的喷发，飞机失事，地震，中500万的彩票等等都是小概 率事件。概率论与数理统计的很多方法已被越来越多的应用在各个研究领域，包括经济、医学、气 象等各种与人民生活息息相关的领域。而小概率事件在统计推断的理论及应用中有着重要作用，只 要我们充分的认识和把握它，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获。正是由 于小概率事件发生的可能性极小，所以给人一种突如其来的感觉，往往使人不知所措。我们有必要 掌握小概率事件的原理，正确处理小概率事件。
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持着小概率事件在一次实验中是不会发生的这一信念，如果发生了，也绝对不会认为那是必然现象， 而认为那是一定有着某些偶然因素的，这就是人们为什么明明就知道有飞机失事发生而仍然敢于选 择飞机这种交通运输工具的原因。但是也有相反的情况，很多人更愿意承认并希望小概率事件的发 生。例如在彩票。博弈等方面，很多人都知道中大奖的机会趋近于零，但是就是由于有买彩票中大 奖的侥幸心理作祟而购买热情很高。 例 2 一船舶在某海区航行，已知船舶每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3 的概率为
90000 1 2 P{ X k} k 3 3
k 90000 k
, k 0,1,..., 90000
所求概率为
P 29500 X 30500 90000 1 2 k k 29500 3 3
指导教师：苏晓海
[摘要]“概率”一词在生活中随处可闻,它与我们的生活息息相关，概率论便能让我们对它更为熟知并且运用
与生活。小概率事件是指这件事的概率值很接近 0,也就是指该事件发生的可能性极小。它的模拟近年来受到广泛关 注，因为日常生活中也很有可能遇到小概率事件，比如说飞机失事、地震、买彩票中大奖等等，都是发生在我们的 日常生活中的小概率事件，这类事件中有些事件一旦发生将会给人们的身体和心灵带来巨大的伤害，因此对小概率 事件的研究也是有非常重要的意义的。
X1 1, X 2 2,..., X n n,...
；
X1 , 2 X 2 ,..., nX n ,...
1 1 X 1 , X 2 ,..., X n ,... 2 n ；以及 都是相互独立的；第
二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在.由于 EX n , DX n , E ( X n n) n,
k
利用拉普拉斯定理求近似值，即有
P 29500 X 30500
29500 np P np(1 p)
30500 np np (1 p ) 29500 np np (1 p )
X np 30500 np np(1 p ) np (1 p )
或
n lim P A P 0 n n
定理 4 假设 X 1 ， X 2 ，…， X n …是相互独立的随机变量序列，其前 项和的标准化随机变量 序列为
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Zn
Xi E Xi
i 1 i 1
1 t 2 2 e dt 2
5 2 5 2 2 2 0.9995
例 3 在考试中碰运气也属于小概率事件的发生，一部分考生学的不是非常理想都有总是希望 自己成绩达标而有碰运气的心理，比如说我国的大学生英语四级考试，这项考试是对大学生英语水 平的一种全面检测，考题偏难，其中包括听力，语法，阅读理解，完形填空，写作等，而除了写作 外都是四选一的选择题，个别学生就想碰运气通过考试，按照满分 100，60 分才算及格的话，去除
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 ， n n i 1 n i 1
则称随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …服从大数定律。而该随机变量服从大数定律，是指序列前 项算术平均值与其数学期望之差，将依概率收敛于零，即
而计算结果显示，1000 亿个碰运气的考生中仅有 0.874 人能通过。 例 4 在医学中有大量的临床记录，对某种癌症的诊断进行试验，其中仅有呈阴性阳性两种结果， 若诊断者患癌，其反应为阳性的概率为 0.95，反之若诊断者没患癌症，其反应为阴性概率为 0.90。 若对一大批人进行癌症普查，假设进行普查的人中患癌概率为 0.0007。若某反应出现呈阳性时能 否下结论此人患癌？ 解 假设 H 0 {此人反应呈阳性}， 设 ={被诊断者患癌}，则 A {被诊断者未患癌}。
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15 分写作 85 道题必须答对 51 道以上才能通过，这样的试验如果事件 在每次试验中发生的概率为 ，则事件 A 发生 k 次的概率为：
k k n k Pn k Cn p q ，（ k 1, 2,...n, 其中 q 1 p ）
1 1 1 D( X n n) , E (nX n ) n, D nX n n 2, E ( X n ) , D ( X n ) 2 ，上式都满足；第 n n n n
三个条件是方差 DX1 ,..., DX n ,... 有公共上界，即 DX n c, c 是与 n 无关的常数.所以便能判出上式 中哪些满足而哪些不满足切比雪夫大数定律。
p 1 3 ，若船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 29500 ~ 30500 次纵摇角大于 3 的概率是多
少？ 解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次实验，并假定各次试验是独立的。在 90000 次 波浪冲击中纵摇角度大于 3 的次数记为 X ，则 X 是一个随机变量，且有 X ~ b(90000,1 3) .其分 布律为
根据被努利大数定律，事件 发生的频率
nA 依概率收敛于事件 A 发生的概率。换句话说，当 A
很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大的偏差的可能性就会很小。假如某事件 发生的概率很小， 在实际应用中当实验次数很大时，就可以用事件发生的频率来代替概率。也就是说事件 A 发生的概 率 很小，那么它在大量的重复试验中出现的频率也就会很小。 3.3 小概率事件在生活中的应用 小概率原理在概率论中并不占有多重要的地位，但是却是一个非常简单、基本而且非常具有实 用意义的原理，在生活中有着广泛的运用。他常常在不经意间指导着我们的实际生活，因为人们坚
n
p Yn a .
定理 1
假设随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …是随机变量序列， X 为随机变量， Fn x 和
F x 分别为 X n 、 X 的分布函数，如果在 F x 的连续点 X 处均有
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lim Fn x F x
1 n 1 n P 0 X E ( X i ) i n n i 1 i 1
定理 3 在 n 次独立重复试验中，记事件 A 发生的次数为 n A ， P 是事件 A 发生的概率，则对于 任意正数 0 ,有
n lim P A P 1 n n
2 概率论的背景及研究意义
2.1 概率论的发展
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概率论最早起源于赌博问题。17 世纪，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat） 等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”，便出现了概率论。后来人们慢慢发现某些生物、物 理、社会现象与机会游戏间的相似性，从而推动了概率论的发展，而如今概率论已经被普遍运用于 工农业生产和现代化科技，而日常生活更是与概率论有着密不可分的联系。 2.2 研究目的及其意义 概率是指某事件发生可能性的大小一个数量指标。我们常说的小概率事件是指这件事的概率值 很接近于 0,也就是指该事件发生的可能性极小。并且小概率事件的模拟近年来越来越受到人们的 广泛关注，因为在日常生活当中也很可能遇到很多小概率事件，如发生在我国玉树的地震,乘坐的 飞机失事,某人买彩票中 500 万大奖等等举不胜举,这些都是发生在我们日常的生活中的小概率事件， 这些事件中有些事件一旦发生给人们带来的身体和心灵的伤害都是巨大的，但是我们不能把注意力 总是停留在小概率事件的极端个别现象上。日常生活中常常不经意间指导着人们的实际生活，他是 概率论的精髓体现，是统计学发展的基础，为统计推断和决策提供了严格的数学依据。分析它是为 了更好的利用它，控制其发生条件，使它朝我们所期望的方向发展，避免破坏性的小概率事件发生。 因此对小概率事件的研究也是有非常重要的意义的。
3 小概率事件的原理及其运用
3.1 小概率事件的原理 根据伯努利的大数定理知道，事件发生的频率意义收敛于该事件发生的概率。也就是说，独立 重复试验次数很多时，一个事件的发生频率就是近似等于它发生的概率。在概率论中一般将概率小 于 0.05 的事件称之为小概率事件，有很多人认为小概率事件在一次实验中与不可能事件几乎等价， 也就是说小概率事件不会发生。其实，小概率事件与不可能事件等价这是错误的，不管试验中的某 个事件 A 的概率无限趋近于 0，但是只要将试验一直的重复下去，那么事件 A 必然会发生，那只不 过是迟早的问题罢了。 3.2 运用中心极限定理和大数定律求概率 定义 1（依概率收敛） 设 Y1 , Y2 ,..., Yn ,... 是一个随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意给 定的正数 ，有 lim p Yn a 1 ，则称随机变量序列 Y1 , Y2 ,..., Yn ,... 依概率收敛于 a ，记为
目
小概率事件的研究
.
学生姓名
杨凯进
学号
1109014122
.
所在学院
数学与计算机科学学院
.
专业班级
数学与应用数学数应 1102 班
.
指导教师
苏晓海
.
完成地点
陕西理工学院
.
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小概率事件的研究
杨凯进
（陕西理工学院 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 数应 1102 班,陕西 汉中 72300x）
1 1 X , X ,..., X n ,... 1 2 X n …； X1 1, X 2 2,..., X n n,... ； X1 , 2 X 2 ,..., nX n ,... ； 2 n ；中而如何去判
定满不满足切比雪夫大数定律呢，切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量 序列的各随机变量是相互独立的。显然无论是 X 1 ， X 2 ，…， X n …，；还是
n
n
D X
i 1 i
n
n 1, 2,...
记 Z n 的分布函数为 Fn X P Z n x 。如果
Fn x x
x
1 i2 dt e 2
2
x
则称随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …服从中心极限定理。 例 1 若知道随机变量 X 1 ， X 2 ，…相互独立且服从同参数 的泊松分布，则在 X 1 ， X 2 ，…，
n
L 则称 X 1 ， X 2 ，…， X n …依分布收敛于 X ，记为 X n X 。
X 1 ， X 2 ，…， X n …依分布收敛于 X ，表明 X n 以 X 的分布为极限分布。
定理 2 假设随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …的每个数学期望 E X i , i 1, 2, …均存在，如 果对任意给定的正实数 ，有
[关键词] 小概率事件；小概率原理；应用
1 引言
概率说的就是一个随机事件发生的可能性的大小。凡事发生都是有概率的，或必然或偶然，但 是在这偶然事件中每一件事的发生都是有一定的概率，或大或小。而那些在一次试验中发生概率很 小的事件就被称之为小概率事件，如火山的喷发，飞机失事，地震，中500万的彩票等等都是小概 率事件。概率论与数理统计的很多方法已被越来越多的应用在各个研究领域，包括经济、医学、气 象等各种与人民生活息息相关的领域。而小概率事件在统计推断的理论及应用中有着重要作用，只 要我们充分的认识和把握它，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获。正是由 于小概率事件发生的可能性极小，所以给人一种突如其来的感觉，往往使人不知所措。我们有必要 掌握小概率事件的原理，正确处理小概率事件。
第 4 页 共 10 页
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持着小概率事件在一次实验中是不会发生的这一信念，如果发生了，也绝对不会认为那是必然现象， 而认为那是一定有着某些偶然因素的，这就是人们为什么明明就知道有飞机失事发生而仍然敢于选 择飞机这种交通运输工具的原因。但是也有相反的情况，很多人更愿意承认并希望小概率事件的发 生。例如在彩票。博弈等方面，很多人都知道中大奖的机会趋近于零，但是就是由于有买彩票中大 奖的侥幸心理作祟而购买热情很高。 例 2 一船舶在某海区航行，已知船舶每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3 的概率为
90000 1 2 P{ X k} k 3 3
k 90000 k
, k 0,1,..., 90000
所求概率为
P 29500 X 30500 90000 1 2 k k 29500 3 3
指导教师：苏晓海
[摘要]“概率”一词在生活中随处可闻,它与我们的生活息息相关，概率论便能让我们对它更为熟知并且运用
与生活。小概率事件是指这件事的概率值很接近 0,也就是指该事件发生的可能性极小。它的模拟近年来受到广泛关 注，因为日常生活中也很有可能遇到小概率事件，比如说飞机失事、地震、买彩票中大奖等等，都是发生在我们的 日常生活中的小概率事件，这类事件中有些事件一旦发生将会给人们的身体和心灵带来巨大的伤害，因此对小概率 事件的研究也是有非常重要的意义的。
X1 1, X 2 2,..., X n n,...
；
X1 , 2 X 2 ,..., nX n ,...
1 1 X 1 , X 2 ,..., X n ,... 2 n ；以及 都是相互独立的；第
二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在.由于 EX n , DX n , E ( X n n) n,
k
利用拉普拉斯定理求近似值，即有
P 29500 X 30500
29500 np P np(1 p)
30500 np np (1 p ) 29500 np np (1 p )
X np 30500 np np(1 p ) np (1 p )
或
n lim P A P 0 n n
定理 4 假设 X 1 ， X 2 ，…， X n …是相互独立的随机变量序列，其前 项和的标准化随机变量 序列为
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Zn
Xi E Xi
i 1 i 1
1 t 2 2 e dt 2
5 2 5 2 2 2 0.9995
例 3 在考试中碰运气也属于小概率事件的发生，一部分考生学的不是非常理想都有总是希望 自己成绩达标而有碰运气的心理，比如说我国的大学生英语四级考试，这项考试是对大学生英语水 平的一种全面检测，考题偏难，其中包括听力，语法，阅读理解，完形填空，写作等，而除了写作 外都是四选一的选择题，个别学生就想碰运气通过考试，按照满分 100，60 分才算及格的话，去除
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 ， n n i 1 n i 1
则称随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …服从大数定律。而该随机变量服从大数定律，是指序列前 项算术平均值与其数学期望之差，将依概率收敛于零，即
而计算结果显示，1000 亿个碰运气的考生中仅有 0.874 人能通过。 例 4 在医学中有大量的临床记录，对某种癌症的诊断进行试验，其中仅有呈阴性阳性两种结果， 若诊断者患癌，其反应为阳性的概率为 0.95，反之若诊断者没患癌症，其反应为阴性概率为 0.90。 若对一大批人进行癌症普查，假设进行普查的人中患癌概率为 0.0007。若某反应出现呈阳性时能 否下结论此人患癌？ 解 假设 H 0 {此人反应呈阳性}， 设 ={被诊断者患癌}，则 A {被诊断者未患癌}。
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15 分写作 85 道题必须答对 51 道以上才能通过，这样的试验如果事件 在每次试验中发生的概率为 ，则事件 A 发生 k 次的概率为：
k k n k Pn k Cn p q ，（ k 1, 2,...n, 其中 q 1 p ）
1 1 1 D( X n n) , E (nX n ) n, D nX n n 2, E ( X n ) , D ( X n ) 2 ，上式都满足；第 n n n n
三个条件是方差 DX1 ,..., DX n ,... 有公共上界，即 DX n c, c 是与 n 无关的常数.所以便能判出上式 中哪些满足而哪些不满足切比雪夫大数定律。
p 1 3 ，若船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 29500 ~ 30500 次纵摇角大于 3 的概率是多
少？ 解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次实验，并假定各次试验是独立的。在 90000 次 波浪冲击中纵摇角度大于 3 的次数记为 X ，则 X 是一个随机变量，且有 X ~ b(90000,1 3) .其分 布律为
根据被努利大数定律，事件 发生的频率
nA 依概率收敛于事件 A 发生的概率。换句话说，当 A
很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大的偏差的可能性就会很小。假如某事件 发生的概率很小， 在实际应用中当实验次数很大时，就可以用事件发生的频率来代替概率。也就是说事件 A 发生的概 率 很小，那么它在大量的重复试验中出现的频率也就会很小。 3.3 小概率事件在生活中的应用 小概率原理在概率论中并不占有多重要的地位，但是却是一个非常简单、基本而且非常具有实 用意义的原理，在生活中有着广泛的运用。他常常在不经意间指导着我们的实际生活，因为人们坚
n
p Yn a .
定理 1
假设随机变量序列 X 1 ， X 2 ，…， X n …是随机变量序列， X 为随机变量， Fn x 和
F x 分别为 X n 、 X 的分布函数，如果在 F x 的连续点 X 处均有
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lim Fn x F x
1 n 1 n P 0 X E ( X i ) i n n i 1 i 1
定理 3 在 n 次独立重复试验中，记事件 A 发生的次数为 n A ， P 是事件 A 发生的概率，则对于 任意正数 0 ,有
n lim P A P 1 n n
2 概率论的背景及研究意义
2.1 概率论的发展
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陕西理工学院毕业论文
概率论最早起源于赌博问题。17 世纪，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat） 等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”，便出现了概率论。后来人们慢慢发现某些生物、物 理、社会现象与机会游戏间的相似性，从而推动了概率论的发展，而如今概率论已经被普遍运用于 工农业生产和现代化科技，而日常生活更是与概率论有着密不可分的联系。 2.2 研究目的及其意义 概率是指某事件发生可能性的大小一个数量指标。我们常说的小概率事件是指这件事的概率值 很接近于 0,也就是指该事件发生的可能性极小。并且小概率事件的模拟近年来越来越受到人们的 广泛关注，因为在日常生活当中也很可能遇到很多小概率事件，如发生在我国玉树的地震,乘坐的 飞机失事,某人买彩票中 500 万大奖等等举不胜举,这些都是发生在我们日常的生活中的小概率事件， 这些事件中有些事件一旦发生给人们带来的身体和心灵的伤害都是巨大的，但是我们不能把注意力 总是停留在小概率事件的极端个别现象上。日常生活中常常不经意间指导着人们的实际生活，他是 概率论的精髓体现，是统计学发展的基础，为统计推断和决策提供了严格的数学依据。分析它是为 了更好的利用它，控制其发生条件，使它朝我们所期望的方向发展，避免破坏性的小概率事件发生。 因此对小概率事件的研究也是有非常重要的意义的。
3 小概率事件的原理及其运用
3.1 小概率事件的原理 根据伯努利的大数定理知道，事件发生的频率意义收敛于该事件发生的概率。也就是说，独立 重复试验次数很多时，一个事件的发生频率就是近似等于它发生的概率。在概率论中一般将概率小 于 0.05 的事件称之为小概率事件，有很多人认为小概率事件在一次实验中与不可能事件几乎等价， 也就是说小概率事件不会发生。其实，小概率事件与不可能事件等价这是错误的，不管试验中的某 个事件 A 的概率无限趋近于 0，但是只要将试验一直的重复下去，那么事件 A 必然会发生，那只不 过是迟早的问题罢了。 3.2 运用中心极限定理和大数定律求概率 定义 1（依概率收敛） 设 Y1 , Y2 ,..., Yn ,... 是一个随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意给 定的正数 ，有 lim p Yn a 1 ，则称随机变量序列 Y1 , Y2 ,..., Yn ,... 依概率收敛于 a ，记为