毕业设计论文-蚁群算法在tsp问题中的应用
单位代码01
学号090111004
分类号O24
密级
毕业论文
蚁群算法在TSP问题中的应用
院(系)名称信息工程学院
专业名称信息与计算科学
学生姓名王利超
指导教师王爱苹
2013 年5月15 日
蚁群算法在TSP问题中的应用
摘要
蚁群算法是近年来发展起来的一种新型模拟进化算法，它是由意大利学者M．D0ri
go等人在20世纪90年代初提出来的．这种算法模仿了蚂蚁在搬运食物的过程中，自发寻
找最短路径的行为特征，加以改进并应用到不同的领域．蚁群算法作为一种新的启发式
算法，它具有正反馈、分布式计算以及结构性的贪心启发等特点，使其能够成功地解决
许多问题.
本文首先介绍了蚁群算法的基本原理及相关背景；其次描述了蚁群算法在实际问题
中的应用，如：旅行商问题；然后针对蚁群算法编写MATLAB程序求解最优路径；最后
给出结论与展望。
关键词：蚁群算法，TSP问题，最优路径，启发式算法
Application of Ant Colony Algorithm In The TSP Problem
Author: Wang Lichao
Tutor: Wang Aiping
Abstract
Ant colony algorithm is developed in recent years a new type of simulated evolutionary algorithm, which is by the Italian scholar M. Dorigo people in the early 1990s. This algorithm mimics the ants in the process of transporting food, spontaneous behavior characteristics to find the shortest path to be improved and applied to different fields. Ant colony algorithm as a new heuristic algorithm, it has a positive feedback, distributed computing and structural greedy inspired, to enable them to successfully solve many problems.
This paper first introduces the basic principles of ant colony algorithm and background; Second, we describe the application of the ant colony algorithm in practical problems, such as: traveling salesman problem; prepared for the ant colony algorithm MATLAB program for solving the optimal path; Finally conclusionsand Prospect.
Keywords: Ant colony algorithm, TSP, The optimal path, Heuristic algorithm
目录
1 绪论 (1)
1.1 数值方法背景简介 (1)
1.2 非线性方程简介 (1)
1.2.1 非线性方程的背景 (3)
1.2.2 非线性方程的研究内容 ................................................ 错误！未定义书签。
1.2.3 根的存在性定理 ............................................................ 错误！未定义书签。
2 非线性方程的数值解法 (8)
2.1 引言 (8)
2.2 二分法 (8)
2.2.1 二分法简介 (8)
2.2.2 二分法的原理 (8)
2.3 牛顿迭代法 .............................................................................. 错误！未定义书签。
2.3.1 牛顿迭代法的简介 ........................................................ 错误！未定义书签。
2.3.2 牛顿迭代法的原理 ........................................................ 错误！未定义书签。
2.3.3 牛顿迭代法的几何意义 ................................................ 错误！未定义书签。
2.4 割线法 ...................................................................................... 错误！未定义书签。
2.4.1 割线法简介 .................................................................... 错误！未定义书签。
2.4.2 割线法的原理 ................................................................ 错误！未定义书签。
3 非线性方程的MATLAB实现 (4)
3.1 二分法 (4)
3.1.1 二分法的MATLAB程序 (4)
3.1.2 应用举例 (4)
3.2 牛顿迭代法 .............................................................................. 错误！未定义书签。
3.2.1 牛顿迭代法的MATLAB程序...................................... 错误！未定义书签。
3.2.2 应用举例 ........................................................................ 错误！未定义书签。
3.3 割线法 ...................................................................................... 错误！未定义书签。
3.3.1 割线法的MATLAB程序.............................................. 错误！未定义书签。
3.3.2 应用举例 ........................................................................ 错误！未定义书签。
4 方法的分析与对比 ............................................................................ 错误！未定义书签。
4.1 构造非线性方程迭代公式 ...................................................... 错误！未定义书签。
4.2 计算迭代公式 .......................................................................... 错误！未定义书签。
5 实际应用 ............................................................................................ 错误！未定义书签。
5.1 引言 .......................................................................................... 错误！未定义书签。
5.2 问题提出 .................................................................................. 错误！未定义书签。
5.3 模型建立 .................................................................................. 错误！未定义书签。
5.4 模型求解 .................................................................................. 错误！未定义书签。结论 (10)
致谢 (11)
参考文献 (12)
1 绪论
1.1 课题背景及意义
伴随计算机技术的飞速发展，许多工程应用和科学研究领域都产生了一些组合优化问题，它们中大多都是NP-优化问题，对该类问题的研究具有广泛的应用价值和十分重要的理论意义，其研究成果对科学研究的发展及国民经济的建设都必将起到极大的推动作用。旅行商问题就是其中经典的问题之一。
目前对求解该类问题的研究主要有两个方向：一是传统的数学规划方法来得到全局最优解，但这种算法的复杂性往往是不能接受的，因而难以适应大规模问题实例的求解；近年来发展起来的各种仿生进化算法能够在多项式时间内找到比较好的可以满足实际
应用要求的解，但并不一定是全局最优解。考虑到，在大多数实际的工程应用中，使用有限的时间得到较好的可以满足实际需求的解是至关重要的，因此利用仿生进化算法，在较短的时间内，求得问题的满意解，就成为许多学者研究的重点。
自然界一直是人类创造力的源泉，人类认识事物的能力就来源于与自然界的相互作用之中。因此，仿生一直是人类创新的基本方式之一，而仿生进化算法正是在这种认知方式下被提出来的。事实上，仿生算法模拟的正是自然界的趋优机制，其目的在于利用自然界的高效优化方法解决工程实际问题。比如，对人脑神经细胞结构与功能的抽象模拟构成的人工神经网络，寄希望通过人脑处理复杂思维的高效性，获得处理复杂事务的方法。模拟生物遗传进化过程的遗传算法，希望借鉴生命进化过程的复杂性来解决复杂现象中的优化问题。而蚁群算法，则通过模拟现实世界中蚂蚁觅食的行为来求解复杂的组合优化问题。
1.2 研究现状
1991年，意大利学者Dorigo M [2]首次提出了蚁群算法，但在此后5年里并没有引起国际研究者的足够重视，直到1996年，Dorigo M 等人在《IEEE Transactions on Systems, Man , and Cybernetics-Part B》上发表了“Ant Syst em: Optimization by a Colony of Cooperating Agents”一文[3]，蚁群算法开始引起国际研究者的广泛关注．在发表的这篇文
章中，Dorigo M 等人系统地阐述了蚁群算法的基本原理和数学模型，并且将其与遗传算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法、爬山法等方法进行了仿真实验比较，并把单纯地解决对称旅行商问题(Symmetric Traveling Salesman Problem, STSP)拓展到解决非对称旅行商问题(Asymmetric Traveling Salesman Problem, ATSP)、指派问题（Quadratic Assignment Problem ,QAP）以及车间作业调度问题（Job-shop Scheduling Problem ,JSP）, 且对蚁群算法中初始化参数对其性能的影响作了初步探讨，这是蚁群算法发展史上的一篇奠基性文章．此文章发表后的几年中，许多国家的学者开始转向进行蚁群算法研究，使其应用领域迅速扩展，并且发表了大量有价值的研究成果．
2000年，Dorigo M和Bonabeau E等人[4]在学术刊物《Nature》上发表了蚁群算法的研究综述，进一步推动蚁群算法的研究走向算法科学的前沿．
21世纪的最后几年中，在国内外许多学术期刊和会议上，蚁群算法己经成为一个备受关注的研究热点和前沿性课题．特别是国际著名的顶级学术刊物《Nature》曾多次对蚁群算法的研究成果进行报道[5.6]，另外，《Future Generation Computer Systems》(VOL．16,No．8)和《IEEE Transactions on Evolutionary Computation》(VOL．6,No．4)分别于2000年和2002年出版了蚁群算法特刊．
首次对蚁群算法的收敛性进行描述和证明的是Gutjahr W J于1991年撰写的技术报
告“A Generalized Convergence Result for the Graph-based Ant System”[15]和2000年发表的学术论文“A Graph-basedAnt System and its Conver gence”[7]，这在蚁群算法的发展史上具有重要作用．
蚁群算法在我国的研究起步比较晚，最先对蚁群算法进行研究的是东北大学控制仿真研究中心的张纪会博士与徐心和教授，他们在1997年10月发表的“一种新的进化算法——蚁群算法”[8]算是对国内研究者的一个介绍性的引入．
回顾蚁群算法自创立以来近二十年的发展历程，目前人们对蚁群算法的研究已由当初单一的TSP领域渗透到了多个应用领域，由解决一维静态优化问题发展到解决多维动态组合优化问题，由离散域范围内研究逐渐拓展到了连续域范围内研究，而且在蚁群算法的硬件实现上也取得了突破性进展，同时在蚁群算法的模型改进及与其它仿生优化算法的融合方面也取得了相当丰富的研究成果，从而使这种新兴的仿生优化算法展现出前所未有的勃勃生机，并已经成为一种完全与遗传算法等其他智能算法相媲美的仿生优化算法．
1.3 论文的主要工作
1.3.1 主要内容
本文主要介绍了蚁群算法的基本机理，分析了其算法优点和不足之处，并以TSP 问题为例，对蚁群算法的基本原理，蚁群算法的基本模型，进行了系统的阐述，并以河南省内各大城市之间的最小路线，运用MATLAB进行求解。
1.3.2论文组织
本文共分为三章：
第一章为绪论，着重阐述课题研究的背景和意义，国内外研究的现状。
第二章介绍了蚁群算法的基本原理，并分析了它的优点和不足之处。对各种改进型的蚁群算法进行了研究，并分析的各自的特点。
第三章对蚁群算法在TSP问题中的应用进行阐述，介绍了蚁群算法在TSP问题中的应用及特点。
最后为结束语，为本文工作的总结，及对未来的展望。
2 蚁群算法的基本原理及其分析
2.1 蚁群算法的基本原理
蚁群算法是近年来发展起来的一种新型模拟进化算法，它是由意大利学者M ．Dorigo 等人在20世纪90年代初提出来的．这种算法模仿了蚂蚁在搬运食物的过程中，自发寻找最短路径的行为特征，加以改进并应用到不同的领域．
蚂蚁是群体动物，它们没有视觉但是可以通过集体配合劳动找到从巢穴到食物源的最短路径．仿生学家经过大量研究后发现，蚂蚁在搜索食物时个体之间能通过在路径上留下的气味来进行信息传递，这种气味称作信息素(pheromone)．蚂蚁边运动边留下信息素，并且可以根据嗅到的信息素的浓度来进行前进路径的选择．蚂蚁总是倾向于沿着信息素浓度高的方向来移动，而路径上的信息素会随着时间的推移而逐渐挥发．信息素强弱指导蚂蚁行进，于是当一条路径上走过的蚂蚁越多，信息素浓度就会越强烈，后来的蚂蚁选择该路径的概率就越大．这种群体行为构成了一种信息正反馈现象，蚂蚁就是通过这种反馈机制来进行信息交流，最终快速找到食物．
2.1.1 基本模型的描述
假设将m 只蚂蚁放入n 个随机选择的城市中，()n j i d ij ,,3,2,1, =为城市i 和城市j 之间的距离；()t ij τ为t 时刻在城市i 和城市j 连线上残留的信息量，初始时刻，各条路径上信息量相等，设()()为常数c c ij =0τ．蚂蚁()m k k ,,3,2,1 =在运动过程中，根据各条路径上的信息量选择下一个它还没有访问的城市，同时在完成一步(从一个城市到达另外一个城市)或者完成一个循环(完成对所有n 个城市的访问)后，更新所有路径上的残留信息量．选择下一个城市的依据主要为：()t ij τ为t 时刻在城市i 和城市j 连线上残留的信息量，即由蚁群算法所提供的信息；ij η为蚂蚁由城市i 转移到城市j 的期望信息，这一启发式信息可由所要解决的问题给出，并由一定的算法来实现，在TSP 问题中一般取ij
ij d 1=
η，ij η在这里可以称为先验知识．()t p k ij 为在t 时刻蚂蚁k 由城市i 转移到目标城
市j 的概率：
()()???????∈??=∑∈otherwise allowed j t t p k allowed s is s ij ij k ij k 0
βαβαητητ (1)
即人工蚂蚁选择下一个目标城市的可能性是题目本身所提供的启发信息ij η与从“蚂
蚁”目前所在城市到目标城市路径上残留信息量()t ij τ的函数．由式(1)可知，蚂蚁在选择
路径时会尽量选择离自己距离较近且信息素浓度较大的方向，即()
k is p j max =概率值最大的方向．式(1)中：
k allowed 为在t 时刻蚂蚁下一步允许选择的城市(即还没有访问的城市)，
{}k k tabu n allowed -=,,3,2,1 与真实蚁群系统不同，
人工蚁群系统具有一定的记忆功能，这里用()m k tabu k ,,2,1 =记录蚂蚁目前已经走过的城市；α为残留信息量的相对重要程度;β为期望值的相对重要程度．
经过n 个时刻，蚂蚁完成一次循环，在进行下一轮循环前，必须将最新的蚂蚁访问过的各路径上留下的新信息加入到ij τ中．信息量要根据下式作调整：
()()ij ij ij t n t τρττ?+=+ (2)
∑=?=?m
k k ij
ij 1ττ (3) 其中，ρ为信息残留系数．模仿人类记忆的特点，旧的信息将逐步削弱，随着时间的推移，以前留下的信息将要逐渐消逝，用参数ρ-1表示信息消逝程度(即挥发程度)；
k ij
τ?为第k 是只蚂蚁在本次循环中(在时间段()n t t +~内的访问过程中)留在t 到j 路径上的信息量．
关于k ij τ?的计算，M ．Dofigo 曾给出三种不同的实现方法[6],分别称之为ant —cycle
system ，ant —density system ，ant —quantity sys — tern ．它们的差别在于表达式k ij τ?的不
同．
在ant-cycle system 模型中：
?????+=?otherwise
n t and t between tour its in j i edge uses ant kth the if L Q k ij 0),(τ(4)
在ant-density system 模型中：
?????+=?otherwise t and t between tour its in j i edge uses ant kth the if d Q ij ij 01),(τ(5)
在ant-quantity system 模型中：
???+=?otherwise t and t between tour its in j i edge uses ant kth the if Q ij 01),(τ(6)
其中，Q 为一常量，为蚂蚁循环一周或一个过程在经过的路径上所释放的信息素总量；k K 为第k 只蚂蚁在本次循环中所选择路径的长度．
2.2 应用举例
2.2.1 蚁群算法在电信中的应用
蚁群算法在电信路由中的应用有比较成功的例子，HP 公司和英国电信公司在90年代中后期都开展了这方面的研究，在每个节点的路由表中，对每个目的节点都列出了与该节点相连的节点，当有数据包到达时，通过查询路由表可知道下一个将要到达的的节点，首先对路由表中的信息素强度进行初始化。在节点x,，以节点i 为目的地址，邻节点为j 处的信息素强度为ih ih d /1=τ,ih d 为从x 经节点j 到节点i 路径的最小费用值。然后周期性地释放蚂蚁来进行路由。并修改相应的信息素的值［15~17］。在所采用的蚁群路由算法(Ant Colony Routing,ACR)中，蚂蚁根据它在网络上的经验与性能，动态地更新路由表项(Routing=Table Entries).如果蚂蚁因为它经过了网络中堵塞的路段，而导致了比较大的延迟，那么就对相应的表项做较小的增强，如果某条路段比较顺利，那么就对该表项做较大的增强同时应用挥发机制，就可以做到系统信息的更新，使得那些过期的路由信息不再保留．利用蚁群算法所得呼叫拒绝率和平均路径长度均小于最小负载法结果；在呼叫
符合集中分布时，蚁群算法所得呼叫拒绝率低于最优路径。在当前最优路径出现阻塞时，ACR 算法能很快找到另一条可替代的最优路径，从而提高网络的均衡性、网络负载量以及网络的利用率．研究表明，蚁群算法已经成为解决多点路由、电网布线的一种较有效的方法。
2.2.2 蚁群算法在经济领域的应用
蚁群算法在经济领域也有很好的应用前景，比如利用它对内河航道提供科学合理的规划，解决集装箱的集散问题．
2.2.3 蚁群算法在序列比对中的应用
蚁群算法的良好鲁棒性是可以府用于序列比对的基础．
2.2.4 蚁群算法在组合优化问题中的应用
蚁群算法在旅行商(TSP)、作业调度问题(JSP)等组合优化问题当中均有较好的应用．其中在旅行商问题(TSP)中的研究是最普遍的，国内在对蚁群算法的研究上，大多是基于旅行商问题进行理论探索和仿真实验的．设{}n N ,,2,1 =是n 个城市的集合，{}N j i l L ij ∈=,是集合N 中城市两两连接的集合，()N j i d ij ∈,是ij l 的Euclidean 距离，即 ()()2
2j i j i ij y y x x d -+-= ),(L N G =是一个有向图，TSP 的目的就是从有向图G 中寻出长度最短的Hamilton 圈，即一条对{}n N ,,2,1 =中n 个城市访问且只访问一次的最短封闭曲线．
3 旅行商问题概述
3.1 旅行商问题的概念
一个旅行商想去走访若干城市，然后回到他的出发地．给定各城市之间所需的旅行时间后，怎样计划他的路线，使得他能对每个城市恰好进行一次访问，而总时间最短，这个问题称为旅行商问题（或货郎担问题）．
3.2 解决TSP 问题的数学模型及其意义
3.2.1 TSP 问题的数学模型
旅行商问题就是在一个赋权图中，找出最小权Hamilton 圈，称这种圈为最优圈．目前还没有求解旅行商问题的有效算法，因此，只能找一种求出相当好（不一定最优）的解．
一个可行的办法是先求一个Hamilton 圈C ，然后适当修改C ，得到具有较小权的另一个Hamilton 圈．
设121v v v v C n =，则对于所有适合n j i <<+<11的i 和j 都可以得到一个新Hamilton 圈．如图6．32所示，1211121v v v v v v v v v v C n j j i j j i ij +++-=，它是有C 中删去边1+i i v v 和1+j j v v 添加j i v v 和11++j i v v 得到的．
若对于某一对i 和j 有
()1111)()()(+++++<+j j i i j i j i v v w v v w v v w v v w ，
则圈ij C 将是圈C 的一个改进．若在接连进行上述的一系列修改之后，最后得到的一个圈不能再用此法改进了，则停止计算．
黄河科技学院毕业论文 第 9 页
i v 1+i v 1+j v j v 图1．1 改进Hamilton 圈的示意图
3.2.2 TSP 问题的计算
3.2.3
黄河科技学院毕业论文第10页
结论
本文对蚁群算法进行了介绍后，通过仿真实验形式对算法中各个参数的取值进行了详细地分析研究和仿真实验，得出了基本蚁群算法中各个参数的最优取值，这种取值组合能够更好的发挥算法的整体搜索性能。当然，这个结论对其他一些改进后的蚁群算法也有意义。接下来，对蚁群系统的收敛性进行了分析证明，归纳出几个可以改善蚁群算法性能的途径。然后，我们对蚁群算法进行了算法的改进研究，一是提出了基于信息熵的动态自适应蚁群算法。用信息熵作为桥梁，使得信息素残留度系数值根据种群多样性状态的变化而自动进行调节；并且应用动态自适应蚁群算法解决经典TSP问题，实验证明相比改进前原算法，新算法增强了搜索随机性，提高了收敛速度。二是提出了一种贪心蚁群算法。将蚁群算法引入来解决实际应用中的Agent联盟生成问题，提取出联盟生成问题本身存在的固有特征，将其融入蚁群算法的框架结构，提出了一种解决Agent联盟生成问题的贪心蚁群算法；通过对比分析计算机实验结果，证明相对于一些解决联盟生成问题的其他算法，新算法无论是在收敛精确度上还是在收敛速度上，性能都得到了较大程度的提高。这无疑为解决此类问题又提供了一个新的思路。但是，本文的研究还只是刚刚开始，很多问题有待于进一步的深入，接下来，我会在如下几个方面再进行研究。
1、对蚁群算法的理论方面继续学习和研究，特别是努力探讨怎样从数学理论上来对各种蚁群算法的正确性和收敛性进行分析和证明。
2、智能优化算法是一个统称，包括了很多种具体算法；怎样将各种算法进行融合，特别是怎样将其他智能优化算法与蚁群算法进行结合，从而吸收其他算法好的特性来改善蚁群算法的性能，在这个方面，进行研究。
3、理论研究的最终目的是为社会应用服务。以后工作中会更加注重应用蚁群算法去解决社会实际中具体的优化问题。