一 信号去噪

对称
理想幅度响应? 非因果、 有限长？ 延时→因果
FIR设计思想
1、线性相位：对称 2、理想幅度：有限长→无限长

H D (z)
截短
n

h[ n ] z
n
无限长
如何逼近
加有限长窗
H (z)
h[n ]z
n0
N 1
n
H (z)
n


w[ n ]h[ n ] z
固定窗函数的特性
分辨率
窗类型
Rectangular Hann Hamming Blackman
波纹
相对旁瓣 最小阻带 水平 衰减
13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB
主瓣宽度
4/(2M+1) 8/(2M+1) 8/(2M+1) 12/(2M+1)
J (w ) 2p 2Rw (n) w
输入的自相关矩阵 R E[ X j X T j ] p E[d j X j ] 输入和参考信号的互相关函数
•LMS算法 • 问题的提出：最陡下降法的迭代公式中存在 P 和R，它们是集平均值，在实际中是无法得到 的，因而只能用估计值代替。使用 P 和 R 的瞬 时估计就得到LMS算法
过渡带 宽度
0.92/M 3.11/M 3.32/M 5.56/M
与M有关
与M无关
1、主瓣宽度：滤波器的过渡带宽度 与窗长及窗类型相关
2、最大旁瓣高度：滤波器的波纹 只与窗类型有关，与窗长无关 选择原则： 主瓣窄→过渡带窄(窗长) 旁瓣小→波纹小(窗类型)
自适应滤波
• •
•
•
最小均方自适应滤波(LMS) 最小二乘自适应滤波(RLS) 格形自适应滤波 自适应滤波器的应用
Magnitude
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2

3
特点：1、通带内具有等波纹 2、阻带内单调下降
切比雪夫滤波器2型滤波器
H a ( j )
2
1 TN ( s / p ) 1 T ( / ) N s
2 2
H a ( s ) C0
1 H a ( j ) 2 2 1 R（ N / p）
2
椭圆函数
特点：通带和阻带具有等波纹特性 (误差均匀分布)
同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的 阶数都低
几种滤波器比较
幅度响应
巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度 切比雪夫I型：通带内等波纹，阻带平滑 切比雪夫II型：阻带内等波纹，通带平滑 椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性

遗忘因子λ


接近1但小于1的正常数，0.95<λ<1 λ=1即平稳输入，无限记忆 输入过程的非平稳程度越严重，则λ越小。

RLS算法特点


收敛速度LMS至少快一个数量级 若 n 趋于无限大，在不考虑量化误差的条件下， RLS算 法无失调。而LMS始终存在与步长有关的失调 RLS算法的均方误差收敛特性与R的特征值散布无关 每次迭代中的计算量与阶数 M的平方成正比， LMS 算法 与M成正比
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1 0.5 0.5 0.4
信 号 x(t)的 单 边 频 谱
幅度 A
0
|Y(f)|
0 0.5 1 时 间 t/s 1.5 2
0.3 0.2 0.1 0
-0.5 -1
0
10
20 30 频 率 f/Hz
40
50
• 时频表示：目的在于实现对非平稳信号的分析，同样 的可以应用于平稳信号的分析
频域
布莱克曼窗(Blackman)
2 n 4 n w [ n ] 0 .4 2 0 .5 co s( ) 0 .0 8 co s( ), M n M 2M 1 2M 1
时域
频域
优于指标过多
矩形窗
优点：主瓣窄→过渡带窄
缺点：旁瓣高→波纹大
渐变的窗函数
优点：旁瓣低→波纹大 缺点：主瓣宽→过渡带窄
• 基本的LMS算法 瞬时互相关矢量： 瞬时自相关矩阵：
ˆ (n) x(n)d (n) P
ˆ (n) x(n)xT (n) R
ˆ (n) R ˆ (n)w ˆ (n 1) w ˆ (n) [P ˆ (n)] w ˆ (n) x(n)e(n) w
•LMS算法的特点
(s z ) (s p )
l 1 l l 1 N l
N
零极点系统
切比雪夫滤波器2型滤波器
Type 2 Chebyshev Filter 1 N=3 N=5 N=7
Magnitude
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2

3
特点：1、通带内单调下降 2、阻带内具有等波纹
椭圆滤波器
单位圆
模拟
数字
常用的模拟原型滤波器

巴特沃兹（Butterworth filter）


切比雪夫（Chebyshev filter）
椭圆（Elliptic filter）

贝塞尔（Bessel filter）
巴特沃斯滤波器的特性
1、 =0处前2N-1阶导数为0 （最大平坦幅度特性） 2、-3dB截止频率：c
信号去噪
常用的几种去噪方法
滤波 自适应滤波 小波去噪 盲分离
阵列信号去噪
噪声主动控制
滤波
例
x [ n ] s n d n
1 y[ n ] M
M 1 k 0
x[ n k ]
实际滤波器幅度响应指标
通带 波纹
1 p H a ( j ) 1
横向滤波器的误差性能曲面及其等高线
•最陡下降法
基本思想 •依据：wiener滤波器的均方误差曲面 J(w) 是权 矢量w的二次函数，不存在局部最小点 •方法：从任意初始值 w(0) 出发，沿 J(w) 的 负梯度方向 (最陡下降方向)按一定步长进行迭代 搜索至最小点。
J (w ) w (n) w (n 1) 0.5 ( n 1) w
均 方误 差
个别学习曲 线 平均学习曲 线 (由 150 条 个 别 曲 线 平 均 )
min＝ 0.74396(维 纳 解 )
迭 代 次n数
•
•
最小二乘滤波器
基于最小二乘准则的自适应滤波器无需假 定输入是宽带平稳过程，并具有收敛快等 优点
e(i ) d (i ) y (i ) d (i ) wk x(i k ) k 0 M 1
n
Gibbs现象
频谱有限的傅立叶逼近
Gibbs现象： 用三角函数逼 近间断点
数学：一致逼近 物理：最小纹波 逼近准则：令 m a x H ( e t
j
) H d ( e j )
最小
Gibbs现象特点
与间断点跳变幅度有关
最大纹波仅取决于窗的类型
矩形窗≈通带和阻带幅度差的11%
p
H a ( j ) s
通带 阻带
阻带 波纹
通带截止频率
过渡带
阻带截止频率
数字滤波器特性 FIR滤波器：
优点：线性相位、稳定 缺点：阶数高，幅度逼近效率低
IIR滤波器：
优点：阶数低、幅度逼近效率高
缺点：相位近似线性、稳定性
数字滤波器设计 FIR滤波器设计： h(n)有限—设计h(n)
幅频+零相位
•
自适应滤波器的应用
自适应系统辨识与逆模拟
自适应控制与逆控制
自适应干扰抵消
自适应预测
小波变换
• 信号的分类
–平稳信号
–非平稳信号
• 信号的表示域
时域表示 频域表示
时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方 法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱
• 时域表示、频域表示：适用于平稳信号，对于非平稳 信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变 化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳 信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义
过渡带宽度
巴特沃斯>切比雪夫>椭圆
相位
巴特沃斯、切比雪夫：通带3/4内近似线性相位 椭圆：通带1/2内近似线性相位
线性相位IIR模拟滤波器
1、IIR+全通滤波器
2、贝塞尔滤波器（Bessel Lowpass Filter）：
求解考虑相位约束 d0 d0 H (s) N 1 N B N ( s ) d 0 d 1 s d N 1 s s
j
•
最小均方误差滤波器
x( n )
y (n) wk x(n k )
k 0

z－ 1
x( n － 1)
z－ 1
x( n － 2) … w3 wN － 1
z－ 1 wN
x( n －N)
w1
w2
d (n )
e(n) d (n) y(n)
y( n )
e( Байду номын сангаас )
＋ －
J=E[e2(n)] •最陡下降法 •LMS算法 •LMS牛顿算法
最大纹波与滤波器的长度无关 减少Gibbs现象的方法： 渐变窗函数(减少时域跳变) 加宽频域幅度特性过渡带
窗函数的主要频谱参数
主瓣
H t (e ) H d (e ) W (e )
旁瓣
j
j
j
最大旁瓣高度 主瓣宽度
主瓣宽度与过渡带的关系
矩形窗(Rectangular)
1 0 n M w[ n ] 0 otherw ise
( w0， w1，，w
M 1
) e(i )
i i1
i2
2
( w0， w1，，w wk
M 1
)0
•
递归最小二乘滤波器（RLS）
1 加权最小二乘法：适应非平稳过程
2 RLS算法 (1)初始化 （2）更新
( n)
i 1
n
n i
e(i )
2
ˆ (0) 0 w
加窗+延时
反傅里叶变换
→
对称
IIR滤波器设计：
1. 传输函数根有限—S域→Z域
设计模拟滤波器 + 映射变换 2. 数值方法
IIR滤波器的解析设计
h(n) 无限—设计h(n)
传输函数
— 根有限
利用已有成熟结果 —模拟传输函数( S域)
IIR滤波器设计:S域→Z域
S域→Z域
映射 S平面 Z平面
P(0) 1I
ˆ H (n)x(n) e(n) d (n) w
k ( n)
1P(n 1)x(n)
1 1x H (n)P(n 1)x(n)

P(n) 1P(n 1) 1k(n)x H (n)P(n 1)
w(n) w(n 1) k(n)e (n)
贝塞尔多项式
通带近似线性相位
FIR滤波器的解析设计
h[n] 有限
H z h n z n
i 0 N
y n h n x n i
i 0
N
设计的关键：h[n]（长度、系数）
基于加窗傅里叶级数的FIR滤波器设计 相位 幅度
非因果 无限长
线性相位√
•由于P和R的瞬时估计为随机量，因而由它们构成的 梯度是随机梯度
•权矢量随 n 的增加是随机趋向最佳点，而不是象最 陡下降法那样的确定性的指数趋向 •LMS 算法虽然迭代公式非常简单，但它却是高度非 线性的。再加上变量的随机性，所以LMS算法的收敛 性分析困难
1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
问题描述：
x(n):输入信号 y(n):是输出信号 d(n):期望信号 e(n):误差信号
e(n)=d(n)-y(n)
x( n ) H( z) y( n )
－
e( n )
＋
d (n )
•
优化准则 • 最小均方误差
2 E[e2 ] E [( d y ) ] j j j
•
最小二乘
(n) e 2 j
时域
频域
汉宁窗(Hanning)
2 n w [ n ] 0 . 5 [1 co s( )], M n M 2M 1
时域
频域
汉明窗(Hamming)
2 n w [ n ] 0 . 5 4 0 . 4 6 co s( ), M n M 2M 1
时域
• 短时傅里叶变换
窗确定后时域和频域的分辨率即固定
问题
•实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：给定 一个信号，希望能够在时域和频域上定位信号发生的 事件，因此时间ґ和频率F都是不确定的，即按上述的 分析不可行（结果不确定或有误差）
Magnitude
Butterworth Filter 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 N=2 N=4 N = 10
3、滚降的陡峭度：N

幅度响应与相位响应
在通带3/4内近似线性相位
切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器1型滤波器（全极点）
Type 1 Chebyshev Filter 1 N=2 N=3 N=8