车桥竖向随机振动的概率密度演化分析_余志武

Probability density evolution analysis of track-bridge vertical coupled vibration with irregularity random excitation
YU Zhiwu, MAO Jianfeng, TAN Sui, ZENG Zhiping
收稿日期：2014−04−12；修回日期：2014−06−23 基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51278496，51378513)；长江学者创新团队发展计划资助项目(IRT1296)；铁道部科技开发 计划项目(2013G003-A-3)(Projects (51278496, 51378513) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (IRT1296) supported by the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University; Project (2013G003-A-3) supported by Ministry of Railway Technology Development Projects) 通信作者：毛建锋，博士研究生，从事车桥耦合随机振动研究；E-email：csumjf@csu.edu.cn
S y ( ) 。因而，功率谱密度函数满足[10, 14] S yN ( ) F [ R yN ( )]
F [ R( )] S y ( ), [ u , u ]
(3)
1.2
gp 集选取离散代表点
轨道高低不平顺随机谐和函数 yN(x)中， 随机向量 维数为 2N，不平顺空间频率离散点 i 的选取直接影 响计算的精度。为得到随机函数全概率信息的代表性 样本，可先讨论 2N 维随机向量的选点问题。据方开 泰等[14]的研究，由平方根序列法生成 2N 维超立方体 点集(gp 集)：
(National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China) Abstract: Based on the simple vertical model of the train-bridge system, the random harmonic functions of track vertical irregularity power spectrum were introduced. The representative points of random frequency were selected by utilizing the N-dimensional hypercube point set method, which formed the sample of random excitation modulated by the slowly varying function. The random dynamic equation for probability density evolution method was formulated, and by using MATLAB, program for the probability density evolution and analysis of train-bridge coupled random vibration were developed. Eventually, newmark-β integration method and double edge difference method of TVD format were adopted to obtain the mean value, the standard deviation and the distribution of the time dependent probability density evolution. The results show that compared to the Monte Carlo method, the probability density evolution method has higher accuracy and computation efficiency, with efficiency improved by 1−2 order of magnitudes. When the excitation with randomly distributed frequency and initial phrase for track vertical irregularity is input, the output is not uniformly distributed, rather it distributes in Gaussian style, i.e., with the increase of train speed, the response of system firstly increases and then decreases. The random system response incurred by track vertical irregularity is significantly influenced by trains speed. Key words: train-bridge system model; probability density evolution method; vertical track irregularity; N-dimensional hypercube point set; power spectrum
第 46 卷第 4 期 2015 年 4 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.46 No.4 April 2015
DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.032
1 代表性轨道不平顺样本激励
1.1 轨道随机不平顺随机模拟 在空间域中，轨道不平顺为一系列以 x 为横坐标 的轨道空间位置，除了得到实测值外还可进行数值模 拟。轨道不平顺功率谱模型与地震功率谱不同，其在 截止频率范围内谱值呈指数变化[12]。无论随机频率如 何，具有随机频率和相位的随机谐和函数过程的功率 谱精确等于原功率谱[13]， 因此， 频率截断的级数越多， 便可得到输出响应的概率信息越精确。 根据文献[13]，竖向轨道不平顺激励可模拟为随 机谐和函数：
第4期
余志武，等：车桥竖向随机振动的概率密度演化分析
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车桥系统是一个复杂时变的随机系统， 结构参数、 输入激励及输出响应等均具有极强的随机性。国内外 学者针对高速铁路车桥耦合振动领域，对模型建立及 轮轨激励下的系统响应进行了研究
[1−4]
式中：S y ( ) 为轨道不平顺功率谱； 为不平顺空间 频率，与圆频率的关系为 v 2 πv / ； 为轨道 不平顺波长；v 为列车运行速度； i 和 i 分别为第 i 个谐和分量的圆频率和相位角。设 i( p ) (1≤i≤N) 为
y N ( x)
i 1 N
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i (i 1, 2, , s) 依次取前 s 个素数，空间频率 Ω 与角
频率 ω 的关系为 v 2πv / ，λ 为轨道不平顺波 长，v 为列车运行速度，则由下式变换得到离散代表 点：
[11]
u 为上限截止频率； i 和 i (i=1，2，…，N)为
) ( p) 相互独立的随机变量， 服从 (0, 2π] 及 ( i(p 1 , i ] 的均
匀分布，其概率密度函数满足 1 1 ) ( p) , ( i(p 1 , i ] ( p) ( p) Δ p i ( ) ( i 1 i ) i 0, 其他 (2) 则由式(1)表达的随机过程 yN(x)的功率谱函数为
车桥竖向随机振动的概率密度演化分析
余志武，毛建锋，谈遂，曾志平 (中南大学 土木工程学院，高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075)
摘要：基于车−桥竖向耦合模型，引入不平顺功率谱随机谐和函数，采用 N 维超立方体点集(gp 集)选取离散随机 频率代表点， 得到代表性轨道高低不平顺随机激励样本并进行慢变调制； 建立概率密度演化方法的随机动力方程， 基于 MATLAB 编制车桥耦合随机振动概率密度演化分析程序； 采用 newmark-β 积分法及带 TVD 格式的双边差分 法计算车桥振动响应的均值、标准差及时变概率密度演化分布。研究结果表明：与 Monte Carlo 法相比，概率密 度演化法分析车桥随机振动精度更高，计算效率提高 1~2 个数量级；输入均匀随机分布频率和初相位的轨道不平 顺激励，输出响应并非均匀分布，随车速先增加后减少，概率分布呈高斯型分布；轨道不平顺引起的系统随机响 应受车速影响较大。 关键词：车桥耦合模型；概率密度演化方法；轨道高低不平顺；N 维超立方体点集；功率谱 中图分类号：U24 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2015)04−1420−08
( p) [l , u ] 的 内 点 ， 且 满 足 l 1( p ) 2 ( p) ( p) ( p) N l ， N u 。 其 中 ： 1 u ， 并 记 0
。 利用 1 条或几
条实测或模拟的轨道不平顺激励样本产生的系统响应 具有很大的离散性[5]，对于由随机激励作用造成的系 统影响及程度，现有的方法尚不能全面地考虑系统的 随机振动响应特性，而经典的 Monte Carlo 法因计算 量巨大而研究较少。在工程实践中，人们不但关心结 构响应标准差等统计量，而且重视对结构响应均值及 最大值等的控制，仅进行少数确定性时程分析，这远 远不够，因此，迫切需要深入发展车桥耦合随机振动 研究。目前，车桥随机振动分析方法主要有随机模拟 法、随机摄动法、概率密度演化方法[6−7] 及虚拟激励 法[8−9]等。李杰、陈建兵等[6]建立的广义概率密度演化 方程，在线性与非线性多自由度结构系统随机反应分 析、可靠度计算等方面取得了较系统的成果。该法可 输出高精度系统响应均值、标准差及概率密度演化过 程。陈建兵等[10]还提出了基于功率谱的随机谐和函数 表达，使结构的随机振动理论趋于完善。轨道不平顺 激励具有明显的时变随机性，用概率密度随机理论来 描述轨道不平顺的随机性是合理并具有较高计算精 度。本文作者针对轨道高低不平顺激励的随机性，结 合广义概率密度演化方法
xq ,i {q i }; q 1, 2, , n pt ; i 1, 2, , 2 N (4)
，据车桥耦合系统随机振
动的客观实际状态实现车桥系统的随机振动响应分 析，以便得到系统振动的时变响应全概率演化信息。
可认为式 (4) 是 2N 维超立方体中的均匀散布点 集，其中 i (i 1, 2, , 2 N ) 为互不相同的素数， 表 示 小 数 部 分 。 文 献 [15] 建 议 在 一 般 情 况 下 ，