清华大学最优控制-第01章-最优控制问题的提出和数学描述

易知，两条车道在交叉路口处的等待车辆的排列 长度满足如下方程
1 t v1 t u t x 2 t v2 t x
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a2 y u t a2 1 T a1
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例1.2 交通信号控制问题
假设对车道 1 上的绿信号灯亮的时间长度 g1 范围限制，对应于 u
例1.3：返回舱软着陆问题
t 为如下约束 u min u t u max 对于给定的初始条件 x1 t 0 和 x2 t 0 ，要设计控制 u t ,t [0，T ] ，使得 x1 T 0 和 x2 T 0 ，
并使得车辆等待代价（或时间）
t 有一定的
x1t x2t v2t
和 x2 t ，到达交叉路口的车辆流量分别为 v1 t 和 v2 t ，两条车道的最大流量分别为 a1 和 a2 。
v1t
x1t x2t v2t
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例1.2 交通信号控制问题
两个方向的绿信号灯亮的时间 长度分别为 g1 t 和 g 2 t 。 假设信号灯切换周期一定，记 为 T ，汽车加速所需时间与黄 信号灯亮的时间长度为一定， 合记为 y 。则
作战双方都试图选取适当的参战比例使得 己方保存的战斗力最大而使对方保存的战斗力 最小。定义
第1章 最优控制问题的提出和数学描述 1.1 最优控制问题举例 1、载人航天 2、最小耗能充电问题 3、交通信号控制问题 4、返回舱软着陆问题 5、最优消费策略 6、最优市场广告支付策略 7、太空拦截问题 8、空空导弹制导问题
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例1.5 最优市场广告支付策略
秦池 1996 年底 以 3.2 亿元夺得“标王” 5—12 月的销售收入几乎为零 300 多万的债务纠纷 => 厂房、设备、土地使用权…法院查封
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例1.5 最优市场广告支付策略
基于上述考虑，产品销售量和广告费用支付的关 联可由如下动力学模型（Vidale-Wofle 模型）描述：
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例1.7 太空拦截问题
考虑在太空目标的拦截问题。假设太空目标以一定 的速度飞行，拦截器的推力大小一定，推力方向可以操 纵。 若假设太空目标和拦截器在一平面内运动，则通过 控制拦截器推力方向在时间区间 [t 0，t f ] 内对飞行器实 施拦截的问题可描述为：
例1.7 太空拦截问题
希望设计拦截器推力方向角 t 的控制策略， 实现拦截，即
其中的变量满足如下约束：
为 x 和 y ，战斗效果系数分别为 x 和 y ， 参战比例分别为 u t 和 v t ，战斗力补充率分 别为
p和q 。
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xt 0, y t 0 1 u t 0, 1 vt 0
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例1.8 最优进攻策略
tf
0
其中 为贴现率。 最优市场广告支付问题为：求广告支付策略

和 是常数，分别表示市场遗忘和广告效用对增
u t , t [t 0，t f ] ，使得销售量由 xt0 x0 增
加到 x t f
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加销售量的作用， xM 是市场最大销售量。
x f ，并使得累计总收入 J 达到最大。
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例1.6 空空导弹制导问题
运动方程：
( t ) f ( X ( t ), ( t ), F ( t )) X
例1.6 空空导弹制导问题
性能指标：
J X T ( t f )SX ( t f )
t u T ( t )R( t )u( t )dt
0
( t ) :推力
F ( t ) :侧向控制力
例1.2 交通信号控制问题
x1t x2t v2t
以 u t 表示车道 1 上在一个信号切换周期内的平 均车辆流量：


v1t
u t a1
g1 t T
而车道 2 上的平均车辆流量则为
g1 t g 2 t y T
a2
g 2 t a y 2 u t a2 1 T a1 T
J dt t f t0
最短。
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例1.8 最优进攻策略
假设进行战争的甲乙双方在时刻 的战斗力分别为 x t 和 y
例1.8 最优进攻策略
t 在战区
根据 Lanchester 常规战作战模型，有
t ，自然损失率分别
t x xt y vt y t p x t y y t x u t xt q y
例1.5 最优市场广告支付策略
假设单位产品的销售收入为 q 元，则在时间 区间 [t 0，t f ] 内的累计总收入为
xt t xt u t 1 x xM
其中 xt 和 u t 分别是产品销售量和广告费用支付，
J t e t qxt u t dt
例1.4 最优消费策略
设在 t 时刻此人所持有的可消费资金（包括银行存 款利息）为 xt ，其消费为 u t ，银行存款利率为 ， 假定为一常数。在消费资金 u t 的过程中消费者所获 得的满意度或效用为
Lt u t e t
其中 为贴现率，是今后的消费款折算为现值的利率。
J t
tf
0
wR t
[ui t uc t ]2 R
[ui t uc t ]2 dt R
达到最小。
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例1.2 交通信号控制问题
v1t
例1.2 交通信号控制问题
考虑两条单行车道的交叉路口。两条单行车道 的分别成为车道 1 和车道 2。在时刻 t ，两条车道 在交叉路口处的等待车辆的排列长度分别为 x1 t
xt f 0 , y t f 0
tf t0
并且使得拦截时间
其中 x
的坐标, 角。
t 和 yt 分别是太空目标和拦截器的相对位置 f 是拦截器推力幅值, t 是拦截器推力方向
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t fcos[ t ] x t fsin[ t ] y
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J t [1 u t ]xt [1 vt ] y t dt
tf
0
在甲乙方分别要制定参战比例 u 别使得 J 达到最大和最小。
t 和 vt ，分
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第1章 最优控制问题的提出和数学描述 1.1 最优控制问题举例 例3.4、最优消费问题—有收入情形 例3.5、电机制动最优控制问题 例3.6、空间飞行器变轨问题 例3.9、最优消费问题—离散情形 作业4.3、最优维护问题 例7.1、最优拦截问题 例7.4、最优飞行控制问题 作业7.1、倒立摆最优控制问题 ……
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例1.4 最优消费策略
最优消费问题可描述为：给定资金动态方程：
例1.5 最优市场广告支付策略
广告费用是企业的重要开支之一，其支付策 略是决定企业的总收入的重要因素之一。企业在 制定广告费用支付策略时，一方面要通过广告作 用增加产品的销售、避免市场对其产品的遗忘， 另一方面要注意到市场饱和，即客户对其产品需 求是有限的，市场存在最大销售量。当实际销售 接近最大销售量时，广告的作用便会减小。
h
m
mg
h
且燃料消耗最小，即
max J max mt f
且燃料消耗最小，即
max J max mt f


控制约束：
0 pt pM
地球
控制约束：
0 pt pM
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地球
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例1.4 最优消费策略
假设某人在 t0 时刻持有资金 x0 元，其计划 在时间区间 [t 0，t f ] 内消费这笔资金。如果考 虑银行存款获利，那么此人如何进行消费可获 得最大满足。
1.1 1.2 1.3
最优控制问题举例 最优控制问题的描述 最优控制理论的发展
端的电压， i t 表示充电电流，而电阻的阻值和 电容的电容值分别为 R 和 C 。则
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例1.1 最小耗能充电问题
C
即
例1.1 最小耗能充电问题
假设充电起始时间和终止时间分别为 t0 和
duc t ui t uc t i t dt R
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第1章 最优控制问题的提出和数学描述
1.1 1.2 1.3
最优控制问题举例 最优控制问题的数学描述 最优控制理论的发展
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1.2 最优控制问题描述
（1）受控系统的数学模型
n r f ( x( t ),u( t ),t ), x( t ) R ,u( t ) R x
1.2 最优控制问题描述
tf
x1( t ), x2 ( t ) :为导弹与目标 间的相对坐标
其中：
( t ) u F ( t )
r1( t ) R( t ) 0
0 r2 ( t )
控制要求：导弹尽可能接近敌机 且尽可能节省能量
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S diag s1 , s2 ,0,...,0
（2）目标集
x( t0 )
u( t )
x( t f )
f ( x( t ),u( t )) x A( t )x( t ) B( t )u( t ) x
Ax( t ) Bu( t ) x
定常系统 线性系统 线性定常系统
末态约束：
x t f x f
g1( x( t f ),t f ) 0 g 2 ( x( t f ),t f ) 0
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t xt u t x
资金的初始值和终止值为
xt 0 x0 , xt f 0
tf
0
求消费策略 u t 使得总效用
J t
达到最大。
u t e t dt
3
例1.5 最优市场广告支付策略
1995 年全国已有 37000 家酒厂 制造约 700 万吨白酒 孔府宴集团 1994 年底 以 3079 万元夺得 央视首届“标王”称号 1994 年销售额 5 亿元，1995 年 10 亿元 秦池 1995 年底 以 6666 万元夺得“标王” 年产值 4 亿元 => 9.8 亿元
来自百度文库运动方程：
mt
J 0 [ x1 t x2 t ]dt
T
dvt pt f h , v mt g dt dht vt dt dmt pt dt
fp
m
mg
h
初始条件： h(0) h0 , v(0) v0
m(0) M s M e
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地球
最小。
M s :返回舱自重， M e : 燃料重
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2
例1.3：返回舱软着陆问题
控制要求：
h(t f ) 0 ,
v (t f ) 0
例1.3：返回舱软着陆问题
fp
控制要求：
h(t f ) 0 ,
v (t f ) 0
fp
m
mg
R
u i t
t f ，电容
C
u c t
电压的起始值和终止值分别为V0 和V f 。则问题为：给定
duc t 1 1 uc t ui t dt RC RC
电阻上消耗的功率为
t0 、 t f 、 uc t0 V0 和V f ，求 ui t ,t [t 0，t f ] ，使 得 uc t f V f ，且使得电阻上消耗的电能
第1章 最优控制问题的提出和数学描述
最优控制
第一章 最优控制问题的提出 和数学描述
1.1 1.2 1.3
最优控制问题举例 最优控制问题的描述 最优控制理论的发展
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第1章 最优控制问题的提出和数学描述
例1.1 最小耗能充电问题
R 考虑右图所示电路。 欲外加控制电压使得在 u c t C 给定时间内将电容充电 u i t 到给定电压，同时使得 在电阻上消耗的电能最 少。 以 ui t 和 u c t 分别表示控制电压和电容两