直线平面和简单几何体复习

证 明 垂 直
判定定理
证线面垂直
用线面垂直 用面面垂直 用面面垂直 用面面平行 利用定义
证面面垂直
2013-8-6 8
判定定理 用面面垂直
求
让更多的孩子得到更好的教育
距
离
定义法 垂面法 转化法 体积法
作(找)距离线段，再在相关三角形中求之 点在面的垂面上，点到交线距为点面距 化点面距为线面距或面面距来求 构造三棱锥，用体积桥解之 找公垂线段，求公垂线段长 化为线面距或面面距 构辅助平面，选三棱锥，用体积桥求之 用公式 d 2 m 2 n2 2mncos (锐减钝加求之 l ) 建立异面直线上两点的距离函数，求最小值
A C
理 1 ： 公理2：
lB 公 A

l
P
B

公理3：
A
B C
推论2：
ap b
2013-8-6
4
推论3： 北京四中龙门网络教育技术有限公司 b Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
a
平行直线
公理4 等角定理 判 定
直线和直线 让更多的孩子得到更好的教育
异面直线角
0， 90

公式法 向量法
三 种 角
定义法
线
面
0， 90

角

间接法 体积法 定义法 补形法 三垂线法 垂面法 射影面积公式 无棱二面角 平移化归 异面直线上两点间的距离公式 化整为零 ab cos a, b 向量法 射影面积公式 北京四中龙门网络教育技术有限公司 ab Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
2013-8-6
6
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证
让更多的孩子得到更好的教育
平
行
利用定义 用公理4
证共面，且无公共点 平行于同一直线的两直线互相平行 直线与平面平行，直线与经过这条直 线的平面和这个平面的交线平行 两平行平面与第三平面的交线平行 垂直于同一平面的两直线平行
相交直线 异面直线
线在面内
判
定
如果一条直线和一个平面内 斜线和平面所成的角，是这条斜 如果两个平行平面同时和第 垂线段和斜线段中： 如果和这个平面的一条斜线 平行于同一直线的两条直 两角两边分别平行 过平面外一点和平面内一点的直 的两条相交直线都垂直，那 线和这个平面的直线所成角的一 三个平面相交，那么它们的 如果平面外一条直线和这个平面 如果一个平面经过另一个平 的射影垂直，那么它也和这 如果一条直线和一个平面平行，经 线互相平行。 且方向相同，两角 如果两条直线同垂直于一个平 么这条直线垂直于这个平面。 射影相等的两条斜线段相等，射 线，和平面内不经过该点的直线 如果一个平面内有两条相交直 如果两平面垂直，那么在 交线平行。 切角中最小的角。 条斜线垂直。 内的一条直线平行，那么这条直 面的一条垂线，那么这两个 相等。 过这条直线的平面和这个平面相交， 影较长的斜线段也较长。 面，那么这两条直线平行。 是异面直线。 线都平行于另一个平面，那么 一个平面内垂直于交线的 如果两条平行直线中的一条 线和这个平面平行。 平面互相垂直。 如果两个平面平行，那么其 那么这条直线和交线平行。 在平面内的一条直线，如果 单直三面角余弦公式： 这两个平面平行。 直线垂直于另一个平面。 相等的斜线段的射影相等，较长 垂直于一个平面，那么另一 异面直线的距离公式。 中一个平面的直线平行于另 和这个平面的一条斜线垂直， cosA=cosBcosC 的斜线段的射影也较长。 条也垂直于这个平面。
点线距 点 面 距 平行线距
定义法 转化法
七 种 距 离
异面直线距
体积法 公式法 最值法
线面距 面面距
定义法
转化法
定义法 转化法
化线面距为点面距或面面距
化面面距为线面距、点面距 大圆劣弧长
l AB
两点间的球面距离
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平面和平面
性
2013-8-6
5
斜 交 二 面 角 北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
四棱柱
让更多的孩子得到更好的教育
平行六面体
直棱柱
直平行六面体
正棱柱
长方体
正方体 正多面体
棱
柱
多面体
棱
棱
锥
台
正棱锥
10
面面距
上 任 一 点 的 向 量 ， 则 d
2013-8-6
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求
让更多的孩子得到更好的教育
角
度
平移法
用三角形中位线平移 用平行四边形平移 用比例式平移 用补形平移
二
面
角
0， 180
2013-8-6 11


S 直 棱 柱 侧 S 侧1＋S 侧 2＋＋S 侧n ＝
让更多的孩子得到更好的教育 S
直棱柱侧
求面积、体积
C底 h
V直棱柱 S底 h
V斜 棱 柱＝S 底 h V斜 棱 柱 S 直 截 面 l棱 长
棱柱
S 斜 棱 柱 侧 S 侧1＋S 侧 2＋＋S 侧n ＝ S 斜 棱 柱 侧 C ' 直 截 面 l棱 长
求 面 积 体 积
棱锥
S棱 锥 侧 S 侧1＋S 侧 2＋＋S 侧n ＝ S正 棱 锥 侧 C底 l斜 高
1 V锥 体＝ S 底 h 3
球体
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S球＝4R
2
4 V球＝ R 3 3
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让更多的孩子得到更好的教育
直线平面和简单几何体
复
习
2013-8-6
1
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让更多的孩子得到更好的教育
直线平面和简单几何体
平 行 证 垂 直
平面基本性质 直线和直线
三 大 板 块
证线面无公共点 面外一线与面内一线平行，则线面平行 两面平行，一面内直线平行于另一平面 证两平面无公共点 面内有两交线平行于另一平面 面内两交线平行于另一面内两交线
证线线平行
用线面平行 用面面平行
用线面垂直
证 明 平 行
利用定义
证线面平行
判定定理 用面面平行 利用定义 判定定理
证面面平行
2013-8-6 7
六个重要公式
让更多的孩子得到更好的教育
异面直线上两点间的距离公式
长方体对角线公式 单直三面角余弦公式
l d 2 m 2 n2 2mn cos (锐减钝加 )
l a b c
2 2
P
2

cos cos cos
A


C
六 个 公 式
B
面积射影定理
cos
d AB n n
直 线 和 平 面
直线和平面 平面和平面 棱 棱
2
六 种 题 型
求
距 离 角 度 面 积 体 积
六 个 公 式
简 单 几 何 体
2013-8-6
柱 锥
球
综合题示例 北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
线面垂直，则线垂直于面的垂线。
证线线垂直
用线面垂直
用计算手段
利用定义
用勾股定理的逆定理
证直线垂直于面内任一直线 证直线垂直于面内两相交直线 两线平行，一线垂直于面则另一线垂直于面 面面垂直，一面内垂直于交线的直线垂直于另一面 两相交平面的交线垂直于二平面的公垂面 一直线垂直于二平行平面之一，必垂直于另一平面 证其二面角为直角 证一平面过另一平面的一条垂线 北京四中龙门网络教育技术有限公司 一平面垂直于二平行平面之一，必垂直 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd 于另一平面
平；无大小；无厚度；可以无限延展。
让更多的孩子得到更好的教育
概念与表示
画法：平行四边形 记法：希腊字母；四个顶点；一条对角线。 公理1： l , B l , A , B l . A

平 面 的 基 本 性 质
性 质
公理2： l且p l. P 推论1：
用线线平行 用面面平行
平行于同一平面的两平面平行 北京四中龙门网络教育技术有限公司 用线面垂直 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd 垂直于同一直线的两平面平行
证
利用定义 让更多的孩子得到更好的教育 三垂线定理
垂
直
线面垂直，则线垂直于面内任一线 面内一条线，垂影则垂斜，垂斜则垂影
n R R 180
用空间向量求距离的统解
让更多的孩子得到更好的教育
异面直线距
A
A
a
d
n
A
A
d n
B
d n
B
d n
B
四 种 距 离
点面距
B

b



线面距
若 向 量 为 平 面 的 法 向 量 ，为 相 应 点 线 面 n d 到平面 的距离， 为相应点线面到平面 AB AB n n
简 单 几 何 体
球
旋转体
圆 柱 圆 锥
有一个面是多边形，其余各面 底面是平行四 底面是正多边 侧棱与底面垂 侧棱垂直于底 底面是矩形的直平行六 有两个面互相平行，其余 是有一个公共顶点的三角形， 边形的四棱柱。 形的直棱柱。 底面是正多边形，且顶点在底 面的棱柱。 直的平行六面 面体。 各面是四边形，并且每相邻两 这些面围成的几何体。 棱长都相等的 面的射影是底面中心的棱锥。 每个面都是有相同 体。 长方体对角线长的平方 个四边形的公共边都互相平行。 性质： 正四棱柱。 性质： 半圆以它的直径为旋转轴，旋转 边数的正多边形， 等于一个顶点上三条棱 这些面围成的几何体叫棱柱。 如果棱锥被平行于底面的平面 1，各侧棱相等，各侧面都是等 所成的曲面叫做球面。球面围成 且以每个顶点为其 性质： 长的平方和。 所截，那么截面和底面相似， 腰三角形。 的几何体叫球体。 一端都有相同数目 1，侧棱都相等，侧面都是 且它们的面积比等于截得的棱 2，高、斜高及其在底面的射影 性质： 的棱的凸多面体。 平行四边形；2，两个底面与平 锥的高与已知棱锥的高的平方 组成直角三角形；高、侧棱及 1，球心和截面圆心的连线垂直于 （只有五种） 行于底面的截面是全等的多边 之比。 其在底面的射影组成直角三角 截面。 形；3，对角面是平行四边形。 形。 2、球心到截面的距离与球半径、 截面半径构成直角三角形。
S射影 S原
A

P
空间向量求距离通用公式
Cwk.baidu.com
空间向量求角度通用公式
内切圆和内切球半径公式 多面体欧拉公式
2013-8-6 13
cos a, b
ab ab
B
1 1 V多面体＝ S表 r内切球 S多边形＝ C r内切圆 3 2
V+F-E=2北京四中龙门网络教育技术有限公司
Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
1
H C
平行于X轴
1 2
线 斜二测画法: 角
2013-8-6 3
?
平行性不变，长度不变 平行性不变，长度加倍 平行性不变，长度不变
段
平行于Y轴 平行于Z轴
度
两边平行于 45度变90度北京四中龙门网络教育技术有限公司 X、Y轴 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
判 性
从平面外一点向这个平面所引的 在一个平面内的一条直线，
直 线 和 平 面
直线和平面
线在面外
线面平行
一个平面。 那么它也和这条斜线的射影 定垂直。 垂线段比任何一条斜线段都短。
质 判 定 质
垂直相交 性 线面相交 斜 判 面面平行 定 质 判 垂直相交 面面相交 性 定 质 交 三垂线定理 三垂线定理逆定理 射影长定理 最小角定理
斜二测画法
让更多的孩子得到更好的教育
例：如果一个水平放置 的平面图形的斜二测直 观图是一 个底角为45，腰和上底均为的等腰梯形，那么这个 1 平面 图形的面积是 )： ( 2 1 2 A、 2 2； B、 2 ；C、 1 1 ； 、 D 。 2 2 2
1 B 1 A 1 1 B
A
1
O G