最新离散数学第五版第一章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
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6
命题与联结词
一、命题
定义：能判断真假的陈述句，被称为命题。
说明：1) 命题的真值：作为命题所表达的判断只有两个结果：正确和
错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误的，称此 命题的真值为假。 真值为真的命题称为真命题 ；真值为假的命题称为假命题。 任何命题的真值都是唯一的。
在自然语言和数学中，有很多方式来描述蕴含，例如：“只 要p，就q”，”因为p，所以q”，”p仅当q”，”只有q 才p”，”除非q才p”，”除非q，否则非p”，q是p的必
要条件，因而所用的联结词应符号化为 ，各种描述方式
都应该符号化为p q。
在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具 有某种内在联系，而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联 系。 在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前 件p为真，后件q也为真的推理。但在数理逻辑中，作为一种
1. 否定 符号：
定义1.1：设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的
否定式，记作 p ，符号称为否定联结词。 规定 p为真
当且仅当p为假。
真值表： p p
0
1
1
0
性质： pp
说明： 1) 是一元联结词
2) 念作“等值”，表示该符号两边的两个命题在任
s
p:吴颖用功。 r:张辉是三好学生。
q:吴颖聪明。 s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
14
命题与联结词
3. 析取 符号：
定义1.3：设p，q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p q ，符号称为析取联结词。并规定pq为假当且仅当
p与q同事为假。
真值表：
PQ
00
含式，记作p q ，并称p是蕴含式的前件，q为蕴含式的后件， 符号 称为蕴含联结词。并规定p q为假当且仅当p为真q
为假。
真值表：
PQ 00 01 10 11
PQ
1 1 0 1
p q的逻辑关系为q是p的必要条件
p是q的充分条件。
17
命题与联结词
4. 蕴含 符号：
注意： 1)
2) 3)
3
学习目的
❖ 初步掌握现代数学的观点和方法； ❖ 初步掌握处理离散结构和方法，提高计算机系
统设计和程序设计的逻辑数字的能力； ❖ 初步掌握计算机在进行数的处理时的方法和计
算； ❖ 培养学习抽象思维和缜密思考的能力；
4
离散数学
第一章 命题逻辑
首都师范大学教育技术系
5
第一章 命题逻辑
一、 命题与联结词 二、 命题公式及其赋值 三、等值式 四、析取范式与合取范式 五、联结词的完备集 六、推理的形式结构 七、自然推理系统P
真命题
（2）北京是我们祖国的首都。
真命题
（3）雪是黑的。 （4）x大于y。 （5）向右看齐！ （6）你吃饭了吗？
假命题
真值不唯一 非命题 祈使句 非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题 疑问句 非命题
8
命题与联结词
例1： 判断下列句子是否为命题，真值如何？
（7）本命题是假的 。
悖论 非命题
（8）我正在说谎。
悖论 非命题
（9）2014年元旦是晴天。
离散数学
1
教材及参考书(1) 教材
耿素云，屈婉玲，张立昂：离散数学(第三版)，清 华大学出版社
2
教材及参考书(2)
参考书
耿素云：离散数学(修订版)， 高等教育出版社
屈婉玲，耿素云，张立昂：离散数学题解 （修订版），清华大学出版社
李盘林，李丽双，李洋，王春立：离散数学， 高等教育出版社
面……”等联结次可符号化为 。
2) 不要见到“与”或“和”就使用联结词 。
13
命题与联结词
例4：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。 （2）吴颖不仅用功而且聪明。 （3）吴颖虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学。
p q p q
p q
p q
2) 其它类型的句子，如疑问句、祈使句、感叹句均没有真假 意义，因为均不是命题。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用1和0来 表达，也有时分别用T和F来表达。
7
命题与联结词
如何判断命题：
1) 首先判断其是否为陈述句
2) 其次判断其是否有唯一真值
例1：判断下列句子是否为命题，真值如何？
（1）10是整数。
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳 pq 排斥或 p:李强是位排球队员。 q:李强是位足球队员 pq 相容或
p:张静挑选202房间。 q:张静挑选203房间 （ p q）（p q）
p q不正确
16
命题与联结词
4. 蕴含 符号：
定义1.4：设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q” 称为p与q的蕴
何情况下真值相同。
12
命题与联结词
2. 合取 符号：
定义1.2：设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称
为p与q的合取式，记作pq ，符号称为合取联结词。并规定 pq为真当且仅当p与q同时为真时为真。
真值表：
PQ
PQ
00
0
01
0
10
0
11
1
注意：1) 自然语言中的“既……，又……”，“不但……，而 且……”，“虽然……，但是……”，“一面……，一
10
命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题。
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）2不是合数。
复合命题
11
1.1 命题与联结词
五、命题联结词
是命题 真假未定
9
命题与联结词
二、命题符号化
本书中用小写字母p，q，r来表示命题。 例2: p:10是整数。
q：北京是我们祖国的首都。 r:雪是黑的。 三、原子命题（简单命题） 定义：不能被分解为更简单的命题的命题，称为原子命题。 四、复合命题
定义：由若干个原子命题用命题联结词联结而成的命题， 称为复合命题。
P Q
0
01
1
10
1
11
1
注意：1)
自然语言中的“或”具有二义性，用它做联结的命题有时具 有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或 和排斥或
15
命题与联结词
例5：将下列命题符号化。
（1）张明正在睡觉或游泳。 （2）李强是位排球队员或是足球队员。 （3）他昨晚做了二十或三十道题。 或表示约数，不能用析取 （4）张静只能挑选202或203房间。
命题与联结词
一、命题
定义：能判断真假的陈述句，被称为命题。
说明：1) 命题的真值：作为命题所表达的判断只有两个结果：正确和
错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误的，称此 命题的真值为假。 真值为真的命题称为真命题 ；真值为假的命题称为假命题。 任何命题的真值都是唯一的。
在自然语言和数学中，有很多方式来描述蕴含，例如：“只 要p，就q”，”因为p，所以q”，”p仅当q”，”只有q 才p”，”除非q才p”，”除非q，否则非p”，q是p的必
要条件，因而所用的联结词应符号化为 ，各种描述方式
都应该符号化为p q。
在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具 有某种内在联系，而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联 系。 在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前 件p为真，后件q也为真的推理。但在数理逻辑中，作为一种
1. 否定 符号：
定义1.1：设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的
否定式，记作 p ，符号称为否定联结词。 规定 p为真
当且仅当p为假。
真值表： p p
0
1
1
0
性质： pp
说明： 1) 是一元联结词
2) 念作“等值”，表示该符号两边的两个命题在任
s
p:吴颖用功。 r:张辉是三好学生。
q:吴颖聪明。 s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
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命题与联结词
3. 析取 符号：
定义1.3：设p，q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p q ，符号称为析取联结词。并规定pq为假当且仅当
p与q同事为假。
真值表：
PQ
00
含式，记作p q ，并称p是蕴含式的前件，q为蕴含式的后件， 符号 称为蕴含联结词。并规定p q为假当且仅当p为真q
为假。
真值表：
PQ 00 01 10 11
PQ
1 1 0 1
p q的逻辑关系为q是p的必要条件
p是q的充分条件。
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命题与联结词
4. 蕴含 符号：
注意： 1)
2) 3)
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学习目的
❖ 初步掌握现代数学的观点和方法； ❖ 初步掌握处理离散结构和方法，提高计算机系
统设计和程序设计的逻辑数字的能力； ❖ 初步掌握计算机在进行数的处理时的方法和计
算； ❖ 培养学习抽象思维和缜密思考的能力；
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离散数学
第一章 命题逻辑
首都师范大学教育技术系
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第一章 命题逻辑
一、 命题与联结词 二、 命题公式及其赋值 三、等值式 四、析取范式与合取范式 五、联结词的完备集 六、推理的形式结构 七、自然推理系统P
真命题
（2）北京是我们祖国的首都。
真命题
（3）雪是黑的。 （4）x大于y。 （5）向右看齐！ （6）你吃饭了吗？
假命题
真值不唯一 非命题 祈使句 非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题 疑问句 非命题
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命题与联结词
例1： 判断下列句子是否为命题，真值如何？
（7）本命题是假的 。
悖论 非命题
（8）我正在说谎。
悖论 非命题
（9）2014年元旦是晴天。
离散数学
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教材及参考书(1) 教材
耿素云，屈婉玲，张立昂：离散数学(第三版)，清 华大学出版社
2
教材及参考书(2)
参考书
耿素云：离散数学(修订版)， 高等教育出版社
屈婉玲，耿素云，张立昂：离散数学题解 （修订版），清华大学出版社
李盘林，李丽双，李洋，王春立：离散数学， 高等教育出版社
面……”等联结次可符号化为 。
2) 不要见到“与”或“和”就使用联结词 。
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命题与联结词
例4：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。 （2）吴颖不仅用功而且聪明。 （3）吴颖虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学。
p q p q
p q
p q
2) 其它类型的句子，如疑问句、祈使句、感叹句均没有真假 意义，因为均不是命题。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用1和0来 表达，也有时分别用T和F来表达。
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命题与联结词
如何判断命题：
1) 首先判断其是否为陈述句
2) 其次判断其是否有唯一真值
例1：判断下列句子是否为命题，真值如何？
（1）10是整数。
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳 pq 排斥或 p:李强是位排球队员。 q:李强是位足球队员 pq 相容或
p:张静挑选202房间。 q:张静挑选203房间 （ p q）（p q）
p q不正确
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命题与联结词
4. 蕴含 符号：
定义1.4：设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q” 称为p与q的蕴
何情况下真值相同。
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命题与联结词
2. 合取 符号：
定义1.2：设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称
为p与q的合取式，记作pq ，符号称为合取联结词。并规定 pq为真当且仅当p与q同时为真时为真。
真值表：
PQ
PQ
00
0
01
0
10
0
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注意：1) 自然语言中的“既……，又……”，“不但……，而 且……”，“虽然……，但是……”，“一面……，一
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命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题。
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）2不是合数。
复合命题
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1.1 命题与联结词
五、命题联结词
是命题 真假未定
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命题与联结词
二、命题符号化
本书中用小写字母p，q，r来表示命题。 例2: p:10是整数。
q：北京是我们祖国的首都。 r:雪是黑的。 三、原子命题（简单命题） 定义：不能被分解为更简单的命题的命题，称为原子命题。 四、复合命题
定义：由若干个原子命题用命题联结词联结而成的命题， 称为复合命题。
P Q
0
01
1
10
1
11
1
注意：1)
自然语言中的“或”具有二义性，用它做联结的命题有时具 有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或 和排斥或
15
命题与联结词
例5：将下列命题符号化。
（1）张明正在睡觉或游泳。 （2）李强是位排球队员或是足球队员。 （3）他昨晚做了二十或三十道题。 或表示约数，不能用析取 （4）张静只能挑选202或203房间。