双曲线定义与标准方程

M
（2）2a >0 ；
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; F1 o F2 ② |F1F2|=2c ——焦距.
双曲线定义与标准方程
思考：为什么要满足0<2a<2c呢？
（1）若2a=2c=|F1F2|,
又||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
则M的轨迹是两条射线.
P
Q
M F1
F2
M
（2）若2a>2c呢？
由三角形知识可知这样的点M不存在
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
F1
F2
M
轨迹为线段F1F2的垂直平分线
双曲线定义与标准方程
练一练:
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距 离之差的绝对值为8,则M点的轨迹是什么?
双曲线 (2)绝对值为10 ？
以点A,B为端点，方向指向AB外侧的两条射线．
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
双曲线定义与标准方程
(xc)2y2(xc)2y22a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
c xa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2a2b2
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园双曲线定义与标准方程
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
双曲线定义与标准方程
罗兰导航系统原理
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（大于0，小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做 双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
注意
（1）2a<2c ；
x2 a2
y2 b2
1(a0,bຫໍສະໝຸດ Baidu)
双曲线定义与标准方程
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
焦 点 上 在x
轴
F2 x
F1 O F2 x
O
焦
F1
点
x2 a2
y2 b2
1
上 在y 轴
y2 a2
x2 b2
1
c2=a2+b2
（ c>a>0 ， c>b>0 ） 双曲线定义与标准方程
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
试一试：观察下列双曲线的方程，写出焦点的坐标
1. x2 y2 1 2. 16x29y2-144
2、双1曲6线的标9 准方程与椭圆的标准方程有何区
别与联系?
（-5，0）（5，0）
（0，-5）（0，5）
双曲线定义与标准方程
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（大于0，小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做 双曲线.
2. 数学表达式：
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(0<2a<2c)
3. 如何由双曲线定义推导 双曲线的标准方程？
F1 o F2
双曲线图象
双曲线定义与标准方程
复习
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（大于0，小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做 双曲线.
2. 数学表达式：
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(0<2a<2c)
3. 如何由双曲线定义推导 双曲线的标准方程？
F1 o F2
双曲线图象
双曲线定义与标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
双曲线定义与标准方程
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
y
M
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
a.b.c的关 系
a2=b2+c2
c2=a2+b2
a>b>0 ，a双>曲c线>定0义与标准方a定程>大0，于bb>0，但a不一
例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程
①a=4,b=3，焦点在x轴上；
x2
y2
16
9
1
②焦距为12，a=3的双曲线标准方程；
x2 9
y2 27
1
y2 9
x2 27
（2）当| MF2 |-| MF1 |=2a时，点p的轨 迹为近F1的一支.
双曲线定义与标准方程
练习： 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲
线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值 等于8。 （1）若双曲线上有一点Ｐ， 且|ＰF1|=10,则 |ＰF2|=_2_或__1_8_
（2）若双曲线上有一点Ｐ， 且|ＰF1|=7,则 |ＰF2|=___1_5__
2.2.1 双曲线及其标准方程
双曲线定义与标准方程
【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)
双曲线定义与标准方程
(3)绝对值为12 ？
不存在
(4)绝对值为0 ？ 线段AB的垂直平分线
双曲线定义与标准方程
(1)已知A(-4,0),B(4,0),M点到A,B两点的距 离之差为6,则M点的轨迹是什么?
双曲线的一支 加上绝对值呢？
双曲线定义与标准方程
2a<2c时
注：（1）当|MF1|-|MF2|=2a时，点p的轨迹 为近F2的一支.
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义与标准方程
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
方程
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
焦点
F（±c，0）
F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
双曲线图象
双曲线定义与标准方程
拉链画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
双曲线定义与标准方程
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做 双曲线
双曲线定义与标准方程