本科毕业优秀论文参考模板

渭南师范学院
本科毕业论文
题目：实数完备性的应用
学院：数学与信息科学学院
专业班级：数学与应用数学专业2009级3班毕业年份： 2013 姓名：孙月
学号： 090741115 指导教师：杨倩利
职称：教授
渭南师范学院教务处制
目录
本科毕业论文任务书 (1)
本科毕业论文开题报告 (3)
本科毕业论文登记表 (5)
本科毕业论文文稿 (7)
本科毕业论文答辩记录…………………（论文最后页码+1）
渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书
注：1. 任务书由指导教师填写、经系主任及主管院长审批后，在第七学期末之前下达给学生。

2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅。

渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告
注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表
实数的完备性及其应用
孙月
（渭南师范学院 数学与信息科学学院 09数本三班）
摘 要：实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可以从不同的方面来刻画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.
关键词：完备性；反证法；连续性.
引言
众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集Q 上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,
单调有界的有理数列11n
n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.由于实
数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.
1.实数集的完备性
定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理3 (区间套定理） 设[]{},n n a b 为一区间套： 1.[][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃=L 2.()0lim n n n b a →∞
-=.
则存在唯一一点[],,1,2,n n a b n ξ∈=L .
定理4 (有限覆盖定理) 设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖,即
[],a b 中每一点都含于中至少一个开区间(),αβ内．则在H 中必存在有限个开区
间,它们构成[],a b 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ,即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ,也可以不属于S ）．
定理 6 (柯西准则) 数列{}n α收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈,只要
,n m N >, 恒有m n ααε-<．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本数列）
2. 实数完备性的应用
实数的完备性定理在闭区间上连续函数性质的证明以及数列收敛有着广泛的应用我们将通过一系列典型的例题来描述实数完备性定理的应用并且认识实数完备性定理在数学学习中的重要作用和地位.
2.1实数完备性在连续函数性质方面的应用
例1.设f 为],[b a 上的增函数，其值域为)](),([b f a f 。

证明f 在],[b a 上连续。

证明：反证法。

假设f 在],[b a 上某点0x 不连续，则存在00>ε，对任意的0>δ，存在
);(0δx U x ∈，使得00)()(ε≥-x f x f 。

又f 为],[b a 上的增函数，则有)()()(0b f x f a f ≤≤。

)](),([b f a f 是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述0ε，存在δ，当
δ+<<00x x x 时，有00)()(ε<-x f x f 成立。

由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。

即f 在],[b a 上连续。

例2. 证明 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则它在[],a b 上有界.
证明：用反证法.
若()f x 在[],a b 无界,将[],a b 等分为两个小区间,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
与,则()f x 至少在其中一个区间上无界,把它记为[]11,a b ；
再把[]11,a b 等分为两个小区间,同样()f x 至少在一个区间上无界,记为
[]22,a b .
如此进行下去,得到一个闭区间套[]{}n n ,a b ,且()f x 在任何一个区间上都是无界的.
根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[]n n ,a b ,并且
lim lim n n n n a b ξ→∞
→∞
==
因为[],a b ξ∈,而()f x 在点ξ连续,则0,0M δ∃>>对于一切
()[],,x U a b ξδ∈⋂有()f x M ≤.
由于lim lim n n n n a b ξ→∞
→∞
==对于充分大的n 有[]()[]n n ,,,a b U a b ξδ⊂⋂于是得到
()f x 在[]n n ,a b （n 充分大）上有界.矛盾.即证.
例3. 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()f a *()f b <0,则一定 存在ξ∈[],a b ,使得()0f ξ=.
证 不失一般性,设()f a <0, ()0f b >,定义集合V ：
[]{}
()0,,V x f x x a b =<∈.显然,集合V 有界,非空,所以必有上确界.令 sup V ξ=,
下面证明(),a b ξ∈且()0f ξ=
由()f x 的连续性及()f a <0,[]110,,:()0;x a a f x δδ∃>∀∈+<
再由()0f b >[]220,,:()0x b b f x δδ∃>∀∈->于是可知：12a b δξδ+≤≤-即
(),a b ξ∈
取()()1,2,,n n x V n x n ξ∈=→→∞L ,因为()0n f x <,可以得到
()lim ()0
n n f f x ξ→∞
=≤
若()0f ξ<,由()f x 在点ξ的连续性,()0,,:()0x U f x δξδ∃>∀∈<. 这就与sup V ξ=产生矛盾.于是必然有()0f ξ=.即证. 2.2实数完备性在证明函数一致连续方面的应用。

例4.设f 在),[+∞a 上连续,且)(lim x f x +∞
→存在. 证明f 在),[+∞a 上一致连续。

证明：因为)(lim x f x +∞
→存在，设A x f x =+∞
→)(lim ，则对任意的0>ε，存在0>M ，当M
x >时，有ε<-A x f )(。

又)(x f 在),[+∞a 上连续，从而可得，有)(x f 在],[M a 上一致连续。

对任意的
),[,+∞∈'''M x x ，有ε<-'A x f )(，ε<-''A x f )(。

从而有ε2)()()()()()(<-''+-'≤''-+-'=''-'A x f A x f x f A A x f x f x f 。

所以
)(x f 在),[+∞M 上一致连续。

由例10的结论可知)(x f 在),[+∞a 上一致连续。

例5.证明：2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。

证明：先证2)(x x f =在],[b a 上一致连续， 由
于
]
,[,b a x x ∈'''时，有
x x b a x x x x x x x x x x x f x f ''-'⋅≤''-'⋅''+'≤''-'⋅''+'=''-'=''-'},max{2)()()()()(22令},max{2b a c =，
所以对任给的0>ε，取c
ε
δ=
，当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，有
ε<''-')()(x f x f ，故)(x f 在],[b a 上一致连续。

再证)(x f 在),(+∞-∞上不一致连续。

取10=ε，无论正数δ多么小，存在2
,1
121δ
δ
+
==
x x x 满足：
δδ
<<
-2
21x x ，但02
212122
2
1
14
1εδ=>+
=-⋅+=-x x x x x x ，
所以2)(x x f =在),(+∞-∞上不一致连续。

例6.若函数f 在闭区间[],a b 上连续,则f 在[],a b 上一致连续.
证明：用反证法.
假设()f x 在[],a b 上非一致连续,则存在00ε>及两点列{}n
x '，{}n x '',[],,n n x x a b '''∈满足()()()01
1,2n
n n
x x f x f x n n
ε''''''-<-≥=L . 因为{}n
x '有界,由聚点定理的推论有,存在收敛子列{}
k n x '：[]lim ,,k n n x a b ξξ→∞
'=∈. 在点列{}n
x ''中取子列{}k n x '',其下标与{}
k n x '下标相同,则由1
,1,2k k n n k
x x k n '''-<=L ,又得到()
lim lim lim k k
k k k n
n n n n n n n x x x x x ξ→∞→∞→∞⎡⎤'''''''=+-==⎣⎦ 由于函数()f x 在点ξ连续,因而有()
()
()lim lim k k n
n n n f x f x f ξ→∞
→∞
'''== 于是得到： ()()
()lim lim k k n
n n n f x f x f ξ→∞
→∞
'''==但是这与()()0n f x f x ε'''-≥矛盾. 所以假设错误.即证. 2.3实数完备性在可测集上的应用。

例7. 证明实数集R 是不可列集
证明： 用反证法.
假如R 可列,即{}ΛΛ,,,,21n x x x R =.
先取区间[]11,b a ,使[]111,b a x ∉,然后将[]11,b a 三等分,则三等分的小区间中至少有一个不含2x ,将其记为[]22,b a ,又将[]22,b a 三等分,
同样必有一个小区间不含,将其记为[]33,b a ;
如此继续下去,我们得到一个闭区间套[]{}n n b a ,,满足[]),3,2,1(,Λ=∉n b a x n n n . 由闭区间套定理,存在惟一实数[]),3,2,1(,Λ=∈n b a n n ξ,而)(N n x n ∈∀≠ξ,这与集合{}ΛΛ,,,,21n x x x 表示实数集R 的全体实数产生矛盾,命题得证 2.4实数完备性在数列收敛性方面的应用。

例8.设11,b a 为任意正数，且11b a ≤，设1
11
12----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （Λ,3,2=n ）
，则{}n a ，{}n b 收敛，且极限相同． 证明：由≤+=----11112n n n n n b a b a a 1
11
122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，
知
≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b ． 则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．
又10b b a n n ≤≤<，且
=-+=-------111111
2n n n n n n n a b a b a a a =+---------1
1112
1112n n n n n n n b a b a a b a 0)(1111
1≥+------n n n n n b a a b a ， 所以{}n a 亦为单调有界数列．
由单调有界必有极限定理，n n a ∞
→lim 与n n b ∞
→lim 存在，且分别记为a 与b ．在
11112----+=
n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ，得b
a a
b a +=2与ab b =．
考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<． 即得0≠=b a ．
例9.证明:设{}n a 为数列,若对任意的0>ε,存在0>N ,使得N n m >,时,有
ε<-n m a a ,则数列{}n a 收敛.
分析： 由已知条件可得存在N N >0,当0N n >时,有ε<-0N n a a ,即在区间
],[00εε+-N N a a 内含有{}n a 中几乎所有项,由极限定义可知数列{}n a 收敛点必在其
内部.此时只需利用区间套定理证明该点的存在性.
证明： 由假设N N >0,当0N n >时,有ε<-0N n a a ,即在区间],[00εε+-N N a a 内含有{}n a 中几乎所有项.
令21=ε,则存在1N ,在区间[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=21,21,1111N N a a b a 内含有}{n a 中几乎所有项；
令221=
ε,则存在2N ,在区间[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-=222221,21,11N N a a b a 在区间内含有{}n a 中几乎所有项； 依次令Λ,21
,214
3=
ε,则得到区间列[]{}n n b a ,,满足:其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有项;[][])02
1
;,3,2,1(,,1
11→≤
-=⊃-++n n n n n n n a b n b a b a Λ, 显然[]{}n n b a ,构成闭区间套,
存在[]),3,2,1(,Λ=∈n b a n n ξ,且对任意的0>ε,存在0>N ,使得N n >,有 []()εξ,,U b a n n ⊂
由极限定义()εξ,U 内含有{}n a 中几乎所有项,即ξ=→∞
n n a lim .命题得证.
2.5实数完备性在点集收敛方面的应用。

例10. 用有限覆盖定理证明聚点定理。

证明：设E 为R 中一个有界无穷点集，a 与b 分别为E 的下界与上界，于是有E ⊂[a ,b] .
（用反证法）假如E 中无聚点，则∀x ∈[a ,b]，x 都不是E 的聚点，于是存在包含x 的开区间x I ，使得
x I 中仅有
E 中的有限多个点.显然，开区间集
H={x I |x ∈[a ,b]}是[a ,b]的一个开覆盖.根据有限覆盖定理，从H 中存在有限个区间1Ix ，2Ix ，3Ix ，…，n Ix 也覆盖[a ,b]，由于E=（1Ix I E ）Y （2Ix I E ）Y …
Y （n Ix I E ）.又由已知E 为无限集，显然等式右边为有限集，与已知E 为无限集矛盾. 这表明假设E 无聚点不成立.
∴E 中至少有一个聚点.
参考文献
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Completeness of the system of real numbers and applications
SunYue
(Wei Nan teacher Univercity Mathematics and information Science Class3 Gread 2009)
Abstract：Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. It contains six basictheorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makes us acquire more recognition and understanding.
Key Words:Completeness; Proof by contradiction; Continuous。