重载工业机器人控制关键技术综述

重载工业机器人控制关键技术综述
游 玮1 孔民秀2
1 安徽埃夫特智能装备有限公司，安徽芜湖，241007
2 哈尔滨工业大学机器人技术与系统国家重点实验室，黑龙江哈尔滨，100107
摘 要：本文围绕影响重载工业机器人控制性能的关键技术进展进行了综述。

首先针对目前重载工业机器人
运动规划中关于规划空间选取、基函数选取、运动规划最优性问题及其所对应的算法进行了分析。

然后分析
了重载工业机器人所存在的不同类型的柔性环节，并对其相应的控制算法进行了分类综述。

最后给出了相应
结论。

关键字：重载工业机器人、机器人运动规划、柔性机器人控制
1 引言
重载搬运机器人是一种典型的重载工业机器人，所谓高速重载工业机器人，一般是指
腕部有效负载在100kg以上的工业机器人，为减少关节部件负荷，一般均带有平衡装置，
负载自重比在1:2～1:8之间，末端峰值线速度达到1m/s以上。

对其基本要求是重复精度
高、运行速度快，负载能力大，可靠性高、操作方便、且具有较高的通用性，适合柔性化
生产。

相对于轻载机器人，由于负载自重比增大（轻载机器人负载自重比在1:15～1:40之
间），在本体设计和高动态性能实现方面难度大幅增加。

目前，重载工业器人已广泛应用
于汽车制造业，冶金行业，重型机械制造业，码垛物流等行业。

世界范围内重载工业机器
人主要生产厂家有ABB，FANUC、Yaskawa，KUKA，COMAU等公司，如图1所示上述5家公司相
关产品已经代表了工业机器人行业的主流技术，市场占有率高，占据目前世界重载工业机
器人总装机容量的80%以上。

主流重载工业机器人一般具有4～6个自由度，负载范围100kg
～500kg，其中应用量较多的是负载范围在120kg～200kg之间，用于汽车生产线的点焊机器
人见图1(a),图1(b)；负载范围在250kg～500kg之间，用于冶金，物流行业的搬运机器人,
见图1(c),图1(d)。

随着实际应用需求的不断增加，重载工业机器人的负载能力不断加大，
继2009年KUKA推出负载1000kg的Titan重载机器人图1(e)之后，2010年上海世博会FANUC又
展出了其负载高达1350kg的重载机器人图1(f)。

为了保证重载工况下平稳运行，提高机器
人轨迹和定位精度的同时，降低对驱动部件的功耗，各品牌在控制系统架构以及运动规划
和伺服控制算法方面均有独到之处，但相关技术均是各机器人厂商的核心商业机密，公开
的文献技术资料相对较少。

国内在工业机器人和重载机器人领域的相关研究工作起步较晚，在二十世纪八十年
代，为了跟踪国际机器人技术，以原机械工业部为主，航天工业部等部委联合组织国内相
关研究单位开展了工业机器人的攻关研究，先后推出了弧焊、点焊、喷涂等多种工业机器
人，如北京机械工业自动化研究所研制的系列喷涂机器人用于长春机车厂和东风发动机厂
相关生产线，哈工大研制的华宇系列点焊弧焊机器人用于哈尔滨轻型车厂等。

八十年代中
国实现了国产工业机器人零的突破，但是由于受国外技术封锁和国家相关政策的影响，工
业机器人研究未能持续支持。

进入九十年代，863计划开始注重高科技如何推动国民经济发展。

1995年5月，863计划启动了汽车工业机器人特别是用于汽车生产线的重载点焊机器人产业化项目，首先开发两台负载为100kg的点焊机器人用于长春第一汽车厂生产线。

该项目由哈尔滨工业大学承担机械本体设计，中国科学院沈阳自动化研究所负责控制器开发，一汽集团负责机器人制造和应用工程，并成功用于一汽的汽车生产线上。

在863计划的进一步支持下，经过5年多的时间，先后又研制出HT120点焊机器人、HT10弧焊机器人、HT30搬运机器人等4个型号21台机器人用于一汽轿车的车身点焊和轻型车的车架弧焊，但最终由于当时劳动力价格相对低廉，市场需求较弱的问题，机器人自主研发与产业化进程又一次受阻。

进入2007年，随着中国成为世界制造业的中心，劳动力需求不断增大，用工荒问题凸显，劳动力成本不断提高。

且随着新劳动法的颁布，国家越来越关注人员的安全生产和安全防护问题，一些生产作业环境恶劣的场所，开始大规模应用工业机器人替代人工操作。

在这一大环境和刚性市场需求驱使下，奇瑞汽车为进一步降低生产成本，提高生产装备自主化水平，联合哈尔滨工业大学于2008年开发出国内首台165kg重载点焊机器人QH165，并在国家863计划和科技重大专项项目支持下，完成QH165机器人成线应用。

目前以奇瑞汽车机器人项目组为班底成立了安徽埃夫特智能装备有限公司，专门从工业机器人研发和产业化，以期早日打破国外产品的垄断。

目前国内工业机器人在底层运动规划和控制算法方面，理论研究成果较为丰富，但是和实际结合相对较少，工程可实现性考虑相对较少。

控制体系结构方面还很落后，尚以工控机加板卡结构为主（如QH165点焊机器人），处理器计算能力和通讯能力较弱，无法考虑
a) FANUC R-2000i 165kg b) Comau NH4 200kg c) Motoman UP350 350kg d) ABB IRB 7600 500kg e) KUKA TITAN 1000kg f) FANUC M-2000i 1350kg
图1 国际主流重载工业机器人品牌与产品
专题报道 S pecial R eports
系统的柔性和耦合性，在控制性能方面存在瓶颈。

因此对工业机器人特别是重载工业机器人相关基础理论和关键技术工程实现的研究已成为了必须解决的当务之急。

2 重载工业机器人控制关键技术综述
从控制系统设计角度来说，可以采用辩证法内外因基本原理来分析影响重载机器人控制品质的因素，首先，如果系统存在动力学耦合、柔性等非线性因素，仅仅采用传统的线性控制很难获得良好的控制品质，底层伺服回路的控制缺陷是影响机器人控制品质的内因。

第二，如果运动规划环节处理不当，传输给底层运动控制回路的运动指令不合理，即存在位置不连续，速度不连续，加速度跃变等情况，对系统会产生严重的冲击，即便底层伺服控制设计再优秀，同样也会严重影响系统控制品质，这就是所谓的外因。

下面就从内外因角度对目前在机器人运动规划和底层伺服控制方面的相关进展进行综述。

2.1 机器人运动规划方法
运动规划与轨迹规划是指根据一定规则和边界条件产生一些离散的运动指令作为机器人伺服回路的输入指令。

运动规划的输入是工作空间中若干预设点或其他运动学和动力学的约束条件；运动规划的输出为一组离散的位置、速度和加速度序列。

运动规划算法设计过程中主要需要考虑以下三个问题：
（1）规划空间的选取：通常情况下，机器人轨迹规划是在全局操作空间内进行的，因为在全局操作空间内，对运动过程的轨迹规划、避障及几何约束描述更为直观。

然而在一些情况下，通过运动学逆解，运动规划会转换到关节空间内完成。

在关节空间内进行运动规划优点如下：a.关节空间内规划可以避免机构运动奇异点及自由度冗余所带来种种问题[1-4]；b.机器人系统控制量是各轴电机驱动力矩，用于调节各轴驱动力矩的轴伺服算法设计通常情况也是在关节空间内的，因此更容易将两者结合起来进行统一考虑[5, 6]；c.关节空间运动规划可以避免全局操作空间运动规划带来的每一个指令更新周期内进行运动规划和运动学正逆计算带来的计算量，因为如果指令更新周期较短，将会对CPU产生较大的计算负荷。

（2）基础函数光滑性保证：至少需要位置指令C2和速度指令C1连续，从而保证加速度信号连续。

不充分光滑的运动指令会由于机械系统柔性激起谐振，这点对高速重载工业机器人更为明显。

在产生谐振的同时，轨迹跟踪误差会大幅度增加，谐振和冲击也会加速机器人驱动部件的磨损甚至损坏[7]。

针对这一问题，相关学者引入高次多项式或以高次多项式为基础的样条函数进行轨迹规划，其中Boryga利用多项式多根的特性，分别采用5次、7次和9次多项式对加速度进行规划，表达式中仅含有一个独立参数，通过运动约束条件，最终确定参数值，并比较了各自性能[8]。

Gasparetto采用五次B样条作为规划基础函数，并将整个运动过程中加速度平方的积分作为目标函数进行优化，以确保运动指令足够光滑[9]。

刘松国基于B样条曲线，在关节空间内提出了一种考虑运动约束的运动规划算法，将运动学约束转化为样条曲线控制顶点约束，可保证角度、角速度和角加速度连续，起始点和终止点角速度和角加速度可以任意配置[10]。

陈伟华则在Cartesian空间内分别采用三次均匀B样条，三次非均匀B样条，三次非均匀有理B样条进行运动规划[11]。

（3）运动规划中最优化问题：目前常用的目标函数主要为运行时间、运行能耗和加速度。

其中关于运行时间最优的问题，较为经典是Kang和Mckay提出的考虑系统动力学模型以及电机驱动力矩上限的时间最优运动规划算法，然而该算法加速度不连续，因此对于机器人来说力矩指令也是不连续的，即加速度为无穷大，对于真实的电驱伺服系统来说，这是无法实现的，会对系统产生较大冲击，大幅度降低系统的跟踪精度，对机械本体使用寿命也会产生影响[12]。

针对上述问题Constantinescu提出了解决方法，在考虑动力学特性的基础上，增加对力矩和加速度的约束，并采用可变容差法对优化问题进行求解[13]。

除了以时间为优化目标外，其他指标同样被引入最优运动规划模型中。

Martin采用B函数，以能耗最少为优化目标，并将该问题转化为离散参数的优化问题，针对数值病态问题，提出了具有递推格式的计算表达式[14]。

Saramago则在考虑能耗最优的同时，将执行时间作为优化目标之一，构成多目标优化函数，最终的优化结果取决于两个目标的权重系数，且优化结果对
专题报道S pecial R eports
于权重系数选择较为敏感[15]。

Korayem则在考虑机器人负载能力，关节驱动力矩上限和弹性
变形基础上，同时以在整个运行过程中的位置波动，速度波动和能耗为目标，给出了一种
最优运动规划方法[6]，然而该方法在求解时，收敛域较小，收敛性较差，计算量较大。

2.2 考虑部件柔性的机器人控制算法
机器人系统刚度是影响动态性能指标重要因素。

一般情况下，电气部分的系统刚度要远远大于机械部分。

虽然重载工业机器人相对于轻型臂来说，其部件刚度已显著增大，但
对整体质量的要求不会像轻型臂那么高，而柔性环节仍然不可忽略，原因有以下两点：
（1）在重载情况下，如果要确保机器人具有足够的刚度，必然会增加机器人部件质量。

同时要达到高速高加速度要求，对驱动元件功率就会有很高的要求，实际中往往是不
可实现（受电机的功率和成本限制）。

（2）即使驱动元件功率能够达到要求，机械本体质量加大会导致等效负载与电机惯量比很大，这样就对关节刚度有较高的要求，而机器人关节刚度是有上限的（主要由减速器
刚度决定）。

因此这种情况下不管是开链串联机构还是闭链机构都会体现出明显的关节柔
性[16, 17]，在重载搬运机器人中十分明显。

针对柔性部件带来的系统控制复杂性问题，传统的线性控制将难以满足控制要求[17-19]，目前主要采用非线性控制方法，可以分成以下几大类：
（1）基于奇异摄动理论的模型降阶与复合控制首先针对于柔性关节控制问题，美国伊利诺伊大学香槟分校著名控制论学者Mark W.Spong教授于1987年正式提出和建立柔性关节
的模型和奇异摄动降阶方法。

对于柔性关节的控制策略绝大多数都是在Spong模型基础上发
展起来的。

由于模型的阶数高，无法直接用于控制系统设计，针对这个问题，相关学者对
系统模型进行了降阶。

Spong首先将奇异摄动理论引入了柔性关节控制，将系统分成了慢速
系统和边界层系统[20]，该方法为后续的研究奠定了基础。

Wilson等人对柔性关节降阶后所
得的慢速系统采用了PD控制律，将快速边界层系统近似为二阶系统，对其阻尼进行控制，
使其快速稳定[21]。

针对慢速系统中的未建模非线性误差，Amjadi采用模糊控制完成了对非
线性环节的学习[22]。

彭济华在对边界层系统提供足够阻尼的同时，将神经网络引入慢速系
统控制，有效的克服了参数未知和不确定性问题。

连杆柔性会导致系统动力学方程阶数较
高，Siciliano 和Book将奇异摄动方法引入柔性连杆动力学方程的降阶，其基本思想与将
奇异摄动引入柔性关节系统动力学方程一致，都将柔性变形产生的振动视为暂态的快速系
统，将名义刚体运动视为准静态的慢速系统，然后分别对两个系统进行复合控制，并应用
于单柔性连杆的控制中[23]。

英国Sheffield大学A.S.Morris教授领导的课题组在柔性关节
奇异摄动和复合控制方面开展了持续的研究。

在2002年利用Lagrange方程和假设模态以及
Spong关节模型建立柔性关节和柔性连杆的耦合模型，并对奇异摄动理论降阶后的慢速和快
速子系统分别采用计算力矩控制和二次型最优控制[24]。

2003年在解决柔性关节机器人轨迹跟
踪控制时，针对慢速系统参数不确定问题引入RBF神经网络代替原有的计算力矩控制[25]. 随后
2006年在文献[24]所得算法和子系统模型的基础上，针对整个系统稳定性和鲁棒性要求，在
边界层采用Hinf控制，在慢速系统采用神经网络算法，并给出了系统的稳定性分析[26]。

随
着相关研究的开展，有些学者开始在奇异摄动理论与复合控制的基础上作出相应改进。

由
于奇异摄动的数学复杂性和计算量问题，Spong和Ghorbel提出用积分流形代替奇异摄动[27]。

针对奇异摄动模型需要关节高刚度假设，在关节柔度较大的情况下，刘业超等人提出一种
刚度补偿算法，拓展了奇异摄动理论的适用范围[28]。

（2）状态反馈和自适应控制在采用奇异摄动理论进行分析时，常常要同时引入自适应控制律来完成对未知或不精确参数的处理，而采用积分流形的方式最大的缺点也在于参数
的不确定性，同样需要结合自适应控制律[29, 30]。

因此在考虑柔性环节的机器人高动态性能
控制要求下，自适应控制律的引入具有一定的必要性。

目前对于柔性关节机器人自适应控
制主要思路如下：首先根据Spong模型，机器人系统阶数为4，然后通过相应的降阶方法获
得一个二阶的刚体模型子系统，而目前的大多数柔性关节自适应控制律主要针对的便是二
阶的刚体子系统中参数不确定性。

Spong等人提出了将自适应控制律引入柔性关节控制，其
基于柔性关节动力学奇异摄动方程，对降阶刚体模型采用了自适应控制律，主要采用的是
经典的Slotine-Li自适应控制律[31]，并通过与Cambridge大学Daniel之间互相纠正和修改，
确立一套较为完善的基于奇异摄动模型的柔性关节自适应控制方法[32-34]。

（3）输入整形控制 输入整形最原始的思想来自于利用Posicast Control提出的时滞滤波器，其基本思想可以概括为在原有控制系统中引入一个前馈单元, 包含一系列不同幅值和时滞的脉冲序列。

将期望的系统输入和脉冲序列进行卷积, 产生一个整形的输入来驱动系统。

最原始的输入整形方法要求系统是线性的，并且方法鲁棒性较差，因此其使用受到限制。

直到二十世纪九十年初由MIT的Signer博士大幅度提高该方法鲁棒性，并正式将该方法命名为输入整形法后[35]，才逐渐为人们重视，并在柔性机器人和柔性结构控制方面取得了一系列不错的控制效果[36-39]。

输入整形技术在处理柔性机器人控制时，可以统一考虑关节柔性和连杆柔性。

对于柔性机器人的点对点控制问题，要求快速消除残余振荡，使机器人快速精确定位。

这类问题对于输入整形控制来说是较容易实现的，但由于机器人柔性环节较多，呈现出多个系统模态，因此必须解决多模态输入整形问题。

相关学者对多模态系统的输入整形进行了深入研究。

多模态系统的输入整形设计方法一般有: a)级联法：为每个模态设计相应的滤波器，然后将所有模态的时滞滤波器进行级联,组合成一个完整的滤波器，以抑制所有模态的振荡；b)联立方程法:直接根据系统的灵敏度曲线建立一系列的约束方程，通过求解方程组来得到滤波器。

这两种方法对系统的两种模态误差均有很好的鲁棒性。

级联法设计简单，且对高模态的不敏感性比联立方程法要好；联立方程法比较直接，滤波器包含的脉冲个数少,减少了运行时间。

对于多模态输入整形控制Singer博士提出了一种高效的输入整形方法，其基本思想为：首先在灵敏度曲线上选择一些满足残留振荡最大幅值的频段，在这些特定的频带中分别选择一些采样频率，计算其残留振荡；然后将各频率段的残留振荡与期望振荡值的差平方后累加求和，构成目标函数，求取保证目标函数最小的输入整形序列。

将频率选择转化为优化问题，对于多模态系统，则在每个模态处分别选择频率采样点和不同的阻尼系数，再按上述方法求解[40]。

Sungsoo Rhim和Wayne Book在2004年针对多模态振动问题提出了一种新的时延整形滤波器，并以控制对象柔性模态为变量的函数形式给出了要消除残余振动所需最基本条件。

同时指出当滤波器项数满足基本条件时，滤波器的时延可以任意设定，消除任何给定范围内的任意多个柔性振动模态产生的残余振动，为输入整形控制器实现自适应提供了理论基础[41]，同时针对原有输入整形所通常处理的点对点控制问题进行了有益补充，M.C.Reynolds和P.H.Meckl等人将输入整形应用于关节空间的轨迹控制，提出了一种时间和输入能量最优的轨迹控制方法[42]。

（4）不基于模型的软计算智能控制针对含有柔性关节机器人动力学系统的复杂性和无法精确建模，神经网络等智能计算方法更多地被引入用于对机器人动力学模型进行近似。

Ge等人利用高斯径向函数神经网络完成柔性关节机器人系统的反馈线性化，仿真结果表明相比于传统的基于模型的反馈线性化控制，采用该方法系统动态跟踪性能较好，对于参数不确定性和动力学模型的变化鲁棒性较强，但是整个算法所用的神经网络由于所需节点较多，计算量较大，并且需要全状态反馈，状态反馈量获取存在一定困难[43]。

孙富春等人对于只具有关节传感器的机器人系统在输出反馈控制的基础上引入神经网络，用于逼近机器人模型，克服无法精确建模的非线性环节带来的影响，从而提高机器人系统的动态跟踪性能[44]。

A.S.Morris针对整个柔性机器人动力学模型提出了相应的模糊控制器，并用GA 算法对控制器参数进行了优化，之后在模糊控制器的基础上，综合了神经网络的逼近功能对刚柔耦合运动进行了补偿[45]。

除采用神经网络外，模糊控制也在柔性机器人控制中得以应用。

具有代表性的研究成果有V.G.Moudgal设计了一种具有参数自学习能力的柔性连杆模糊控制器，对系统进行了稳定性分析，并与常规的模糊控制策略进行了实验比较[46]。

Lin 和F.L.Lewis等人在利用奇异摄动方法基础上引入模糊控制器，对所得的快速子系统和慢速子系统分别进行模糊控制[47 48]。

快速子系统的模糊控制器采用最优控制方法使柔性系统的振动快速消退，慢速子系统的模糊控制器完成名义轨迹的追踪，并对单柔性梁进行了实验研究。

Trabia 和Shi提出将关节转角和末端振动变形分别设计模糊控制器进行控制，由于对每个子系统只有一个控制目标，所以模糊规则相对简单，最后将两个控制器的输出进行合成，完成复合控制，其思想与奇异摄动方法下进行复合控制类似[49]。

随后又对该算法进行改进，同样采用分布式结构，通过对输出变量重要性进行评估，得出关节和末端点的速度量要比位置量更为重要，因此将模糊控制器分成两部分，分别对速度和位置进行控制，
专题报道S pecial R eports
并利用Nelder and Mead Simplex 搜索方法对隶属度函数进行更新[50]。

采用基于软计算
的智能控制方法相对于基于模型的控制方法具有很多优势，特别是可以与传统控制方法相
结合，完成对传统方法无法精确建模的非线性环节进行逼近，但是目前这些方法的研究绝
大部分还处于仿真阶段，或在较简单的机器人（如单自由度或两自由度机器人）进行相关
实验研究。

其应用和工程实现受限的主要原因在于计算量大，但随着处理器计算能力的提
高，这些方法还有广泛的应用前景。

3 结 论
目前针对重载工业机器人所涉及的控制关键技术学术界已经做了大量的基础研究和理论储备，下一步的关键是如何将这些先进的算法与实际工程需求结合起来。

这一过程中将需
要解决算法效率提升、通讯，反馈方式和控制架构优化等一系列问题。

而在特殊工况和特
殊性能要求下、这些算法的工程化转化将成为未来各主流品牌工业机器人底层核心技术的
重要组成部分。

参考文献
[1] ATA A A, SA'ADAH M Y. Soft Motion Trajectory for Planar Redundant Manipulator; proceedings of the
Control, Automation, Robotics and Vision, 2006 ICARCV '06 9th International Conference on, F 5-8
Dec. 2006, 2006 [C].
[2] LIAN G Y,SUN Z Q,MU C D,et al.Optimal motion planning passing through kinematic singularities for
robot arms [M]. 2006.
[3] LIAN G Y, ZHAO Q J, SUN Z Q. Path-constrained trajectory planning of robot arm passing through
singularities [M]. 2002.
[4] ZEIN M, WENGER P, CHABLAT D, et al. Singular curves and cusp points in the joint space of 3-RPR
parallel manipulators; proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation
(ICRA), Orlando, FL, F May 15-19, 2006 [C].
[5] YAO C-M, CHENG W-H. Joint space trajectory planning for flexible manipulators [J]. J Robotic Syst,
1995, 12(5): 287-99.
[6] KORAYEM M, NIKOOBIN A. Maximum payload for flexible joint manipulators in point-to-point
task using optimal control approach [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing
Technology, 2008, 38(9): 1045-60.
[7] BARRE P-J,BEAREE R,BORNE P,et al.Influence of a Jerk Controlled Movement Law on the Vibratory
Behaviour of High-Dynamics Systems [J].Journal of Intelligent & Robotic Systems,2005,42(3):
275-93.
[8] BORYGA M, GRABOS A. Planning of manipulator motion trajectory with higher-degree polynomials use
[J]. Mech Mach Theory, 2009, 44(7): 1400-19.
[9] GASPARETTO A, ZANOTTO V. A new method for smooth trajectory planning of robot manipulators [J].
Mech Mach Theory, 2007, 42(4): 455-71.
[10] 刘松国.六自由度串联机器人运动优化与轨迹跟踪控制研究 [D]. 杭州; 浙江大学, 2009.
[11] 陈伟华.工业机器人笛卡尔空间轨迹规划的研究 [D]. 广州; 华南理工大学, 2010.
[12] KANG S,MCKAY N.Minimum-time control of robotic manipulators with geometric path constraints [J].
Automatic Control, IEEE Transactions on, 1985, 30(6): 531-41.
[13] CONSTANTINESCU D,CROFT E A.Smooth and time-optimal trajectory planning for industrial manipulators
along specified paths [J].J Robotic Syst, 2000,17(5): 233-49.
[14] MARTIN B J, BOBROW J E. Minimum-Effort Motions for Open-Chain Manipulators with Task-Dependent
End-Effector Constraints [J].The International Journal of Robotics Research,1999, 18(2): 213-24.
[15] SARAMAGO S F P, STEFFEN V. OPTIMIZATION OF THE TRAJECTORY PLANNING OF ROBOT MANIPULATORS TAKING
INTO ACCOUNT THE DYNAMICS OF THE SYSTEM [J]. Mech Mach Theory, 1998, 33(7): 883-94.
[16] IDER S K, KORKMAZ O. Trajectory tracking control of parallel robots in the presence of joint drive
flexibility [J]. J Sound Vibr, 2009, 319(1-2): 77-90.
[17] OZGOLI S,TAGHIRAD H D.A survey on the control of flexible joint robots [J].Asian J Control, 2006,
8(4): 332-44.
[18] BENOSMAN A, LE VEY G.Control of flexible manipulators: A survey [J].Robotica,2004, 22(533-45.
[19] 戴学丰, 孙立宁, 刘品宽, et al.柔性臂机器人控制算法综述 [J].电机与控制学报, 2002, 6(2): 4.
[20] SPONG M W, KHORASANI K, KOKOTOVIC P. An integral manifold approach to the feedback control of
flexible joint robots [J]. IEEE Journal of Robotics and Automation, 1987, 3(4): 291-300.
[21] WILSON G A, IRWIN G W. Tracking control of manipulators with elastic joints [M]. IEEE Conference。