复合泊松过程.ppt

由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 N (t)
X (t) Yk , t 0
是复合泊松过程，则
k 1
(1)X(t)的矩母函数
X (t) (u)
et[Y
( u )1]
其中，是事件的到达率，Y (u) 是随机
变量 Yi 的矩母函数； (2)若 E(Y12 ) ，则
E[ X (t)] tE[Y1], D[ X (t)] tE[Y12 ]
第五节 复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Yk ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件：
（1）存在一个泊松过程和一个随机变量序列； （2）随机变量序列是相互独立，且服从同一分布； （3）随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1：假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数，每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否购买商品无关。
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1： N (t)
设 X (t) Yk , t 0 是复合泊松过程，则 k 1
{X(t),t0}是独立增量过程。
证明： 令 0 t0 t1 t2 tm，则
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi , k 1,2,, m
i N (tk1 )1
过程，每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列，并且索赔的金 额与发生的时刻无关。若每次赔付金额是 均值为30000元的正态分布，求：一年中 保险公司的平均赔付金额为多少？
全数学期望公式： E[X]=E[E()
N (t )
Yi
,
t
0}
是复合泊松过程，已
i 1
知 5,Yi 服从指数分布。
求：E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X (t)(u) ？
例2：假设在时间(0,t]内保险公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松