要重视数学思想方法的教学

要重视数学思想方法的教学

张家港市塘桥中学陈志君

苏州教育学院殿堰工

数学思想的方法是通过思维活动对数学认知结构形式的核心，包括作为知识内容的表象概念、概念体系，也包括掌握相应知识内容所必须具有思维能力。就中学数学而言，常用的数学思想方法有化归、分类、递推、模型、函数与方程、数形结合、对应等，这些数学思维方法是教师教学和学生学习数学知识不可缺少的。而这些数学思想方法又不象具体的教学基本方法，如代入法、配方法、换元法等有具体的操作方法步骤，可它们又是与具体的数学知识相结合的，是与数学知识共生的，是从数学知识归纳出来并应用于教学实践中。因此，教师在讲授数学知识的同时，更应注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力。下面试就上述数学思维方法及其在教学中的渗透谈点看法和体会。

一、化归思想

化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化直到化成已经解决或容易解决的问题的思想。即是以变化、运动、发展，以及事物间相互联系和制约的观点去看待问题，善于对所要解决的问题进行变形。学生一旦形成了化归意识，就能熟练地掌握各种转化，化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等等。例如，用化归思想可把多元方程化为一元方程，把高次方程化为低次方程，将钝角三角函数化为锐角三角函数；又如，解析几何是把几何问题化归为代数问题，函数图象是把代数问题化归为几何图形去解决问题。学生容易吸收所学的教学知识，能明确新知识是建立在旧知识之上的。即丰富了新知识，也巩固了原知识。教师有意识地逐步揭示出新旧知识的层次性，讲清楚旧知识的结合点，让学生在思考问题时能很好地将新旧知识有机地联系起来，对于培养学生的化归意识是有益的。教学中，教师还需注意为学生提供思维发生的背景材料，点明化归目标，展示化归脉络，寻找化归模式，培养化归意识，从而对知识熟解掌握。

二、分类思想

分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为具有一定从属关系的不同种类的数学思想方法。掌握分类思维，有助于学生提高理解知识，整理知识，和独立获得知识的能力，完善认知结构，形成严密的数学知识网络。为说明这一点，我们不妨从正方两方面举例。

正面的例子是自然数集研究。可以根据能否被2整除的标准把自然数集分为奇数与偶数；为了更好地认识自然数间的内在联系，则需按自然数所含质因数的个数把自然数分为质数（质因数个数为1）1（质因数个数为0）与合数（质因数个数>1）,在此分类的基础上，通过对质数、合数的进一步研究，可得到算术基本定理。

反面的例子是是非题：“从空间的一点引二面角（其平面角为锐角或直角）的两个半平面的垂线，则这两垂线所成的角与二面角的平面角互补。”学生由于没有空间P点的诸情况分类而仅考虑P点在二面角内部的情形，忽略了P点在半平面上、交线上、二面角外部等情况，导致了误判。从而使正确率低于20%。

前述二例足以看出加强分类思想教学之必要性。在教学中，教师必须向学生强调应正确选择分类的标准，分类要满足相称性和同一性。所谓相称性是保证分类对象既不重复又不遗漏；同一性是每次分类必须保持同一分类标准。而且还必须向学生指出，即使对同一数学对象，也可有不同的分类标准。象三角形，我们既可按角分类，也可按边分类，这需视实际问题的具体需要而定。

三、递推思想

递推思想是探索数学规律和解题思路的重要手段，其基础是归纳、通过归纳概括出共性；载体是递推法。这种方法的步骤是：（1）据实际问题建立递推关系；（2）解出递推关系；（3）解决实际问题。方法的关键是建立递推关系，从“数学教育是一个过程”及“数学教学是数学活动的教学”的观点来看，解题成为数学教学中的一项重要活动，递推思想为我们的数学教学活动提供了一种行之有效的思想方法。在电子计算机飞速发展并且越来越普及的今天，递推方法显得日益重要。

四、函数与方程的思想

函数与方程的思维是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。函数与方程是互相联系的。解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点；不等式可看作两个函数值的不等关系；证明不等式又离不开换元和函数的单调性。数列的通项a n可看成以自然数n为变元的函数；等差、等比数列则可认为是一次函数与指数函数的特例。在教学中必须强调函数与方程的区别与联系，首先应明确这是两个不同的概念，其次才能说明其中的互相转化和作用。比如，由函数→确定图象→方程的解（图象上的点）→解方程或方程组；又如，求方程的根→作出函数的图象。当然，还得向学生讲清两者之间的差别，主要体现在：（1）函数有定义域、值域及对应关系；（2）x,y的关系前者是从属，后者则是平等的；（3）函数式确定的显函数唯一。

函数与方程的思想实质是数学知识观念转换的重要思想，有助于对数学知识更深刻的理解，也是一种运动变化，相互联系的观点，这种思想在数学教学中具有特别重要的意义。

五、数形结合思想

数和形是数学的二大支柱，数形结合思想就是通过数与形的（用数解形，以形助数）处理数学问题，这是由客观世界和数学本身决定的。数形结合思想贯穿于全部中学数学之中，数轴、计算法证几何题、三角法、复数法、向量法、解析法、图解法等等都是这一思想的具体运用。应用数形结合思想，可以将复杂问题简单化，抽象总是具体化，从而使问题易于解决。

在数学教学中，教师应充分利用图形、图象使学生正确的理解和掌握所学的数学概念和知识，通过数形结合的思想方法分析，让学生逐步掌握数与形的对应并加以运用。

六、对应思想

笛卡尔坐标的方法，在点与有序实数对之间、曲线与议程之间建立起对应关系，形成了对应思想的稚型。对数的发明是建立了指数运算与对数运算之间的对应关系。推而广之，对应做为一种独立的数学思想是指；对某个系统中的一个问题，如能找到一种对应法则，通过该法则可把这个问题转化成另一个系统中的相应问题，且该问题转化成另一个系统中的相应问题，且该问题在新的系统中是易于解决并存在逆对应，再把新系统中的解答逆反回去，从而求得原问题的解答。徐利治教授创立的关系、映射、反演原理堪称是对应思想的一个良好典范。

中学数学中的数学思想还有许多，如符号化思想、优化思想、算法思想等等。掌握了数学思想方法也就找到了打开数学大门的金钥匙。在数学教学中，应把数学思想方法的教学放在优先考虑的位置，这是提高学生数学素养的一项重要而又紧迫的任务。也有克服题海战术，推进数学教学改革的一项有益举措。

参考资料：

（1）殷堰工：“数学思维方法与数学思想方法”《教育时报》1991年10月9日

（2）张奠宙等：《现代数学思想讲话》，江苏教育出版社，1991

（3）殷堰工：“模型与解题”《数学通报》1994（6）

（4）陈振宣：《中学数学思维方法》，上海科技教育出版社，1988

（5）殷堰工：《数学解题策略精编》，上海科技教育出版社，1994

出处：中学数学研究 1997年第2期 P3